線性代數(shù) 矩陣(ch1.1)

1、線性代數(shù)聯(lián)系方式: 電話:8616189 Email:8/31/20221課程簡(jiǎn)介:線性代數(shù)是討論代數(shù)學(xué)中線性關(guān)系經(jīng)典理論的課程，它具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性，是高等學(xué)校經(jīng)管類各專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)理論課。對(duì)線性方程組的討論，在理論上和歷史上都是線性代數(shù)這門學(xué)科的起點(diǎn)。由于線性問題廣泛存在于科學(xué)技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，而某些非線性問題在一定條件下，可以轉(zhuǎn)化為線性問題，因此本課程所介紹的思想和方法廣泛地應(yīng)用于各個(gè)學(xué)科。 8/31/20222本學(xué)期課程包括以下內(nèi)容：矩陣、行列式、向量、線性方程組、矩陣的特征值與特征向量、 二次型。8/31/20223課程特點(diǎn):1、是一門基礎(chǔ)課程，為后續(xù)課程做準(zhǔn)備.2、定義、

2、定理、推論繁多，必須理解記 憶和區(qū)別.3、具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性.8/31/20224參考書目 ：線性代數(shù)(第三版)趙樹嫄編 中國(guó)人民大學(xué)出版社 實(shí)用線性代數(shù) 鄭昌明編 中國(guó)人民大學(xué)出版社 8/31/20225第1章 矩陣1.1 矩陣的概念1.2 矩陣的運(yùn)算1.3 方陣的行列式1.4 矩陣的分塊1.5 可逆矩陣1.6 矩陣的初等變換1.7 矩陣的秩1.8 矩陣應(yīng)用的兩個(gè)例子8/31/20226 引 言 矩陣是線性代數(shù)的一個(gè)最基本的概念，也是數(shù)學(xué)的最基本的一個(gè)工具。它在二十世紀(jì)得到飛速發(fā)展，成為在經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)、地理學(xué)等中有大量應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，現(xiàn)在矩陣比行列式在數(shù)學(xué)中占有更重要的位置。

3、矩陣這個(gè)詞是英國(guó)數(shù)學(xué)家西勒維斯特在1850年首先使用的，但歷史非常久遠(yuǎn)，可追溯到東漢初年（公元一世紀(jì)）成書的九章算術(shù)，其方程章第一題的方程實(shí)質(zhì)上就是一個(gè)矩陣，所用的解法就是矩陣的初等變換。 本章首先引入矩陣概念，繼而介紹幾個(gè)特殊矩陣，矩陣的基本運(yùn)算、方陣的行列式、可逆陣和矩陣的初等變換、矩陣的秩等關(guān)于矩陣的基本理論。8/31/202271.1 矩陣的概念例1 某商場(chǎng)三個(gè)分廠的兩類商品一天的營(yíng)業(yè)額（萬(wàn)元）第一分廠第二分廠第三分廠彩電865冰箱423用矩形陣列表簡(jiǎn)明地表示為一、引例8/31/20228例2 線性方程組的解取決于系數(shù)常數(shù)項(xiàng)8/31/20229對(duì)線性方程組的研究可轉(zhuǎn)化為對(duì)這張表的研究.

4、線性方程組的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)按原來(lái)位置可排為矩形陣列這就是矩陣8/31/202210二、矩陣概念定義1.2由 個(gè)數(shù)aij(i=1,2,m;j=1,2,n)排成一個(gè)m行n列的矩形表，即注：1數(shù)主要指實(shí)數(shù)，實(shí)數(shù)的全體稱為實(shí)數(shù) 域，記為R.8/31/2022114方陣： m=n 時(shí),稱 A 為 n 階方陣,也稱為 n 階矩陣.5行(列)矩陣:只有一行( 列 )的矩陣.也稱為行( 列) 向量.m=1n=16零矩陣O:元素都是零的矩陣.2實(shí)(復(fù))矩陣: 元素均為實(shí)(復(fù))數(shù)的矩陣.3矩陣一般用大寫字母A、B 、 等表示.主對(duì)角線7主對(duì)角線（方陣）副對(duì)角線8/31/202212例如是一個(gè) 實(shí)矩陣,是一個(gè) 復(fù)矩陣

5、,是一個(gè) 矩陣,是一個(gè) 矩陣,是一個(gè) 矩陣.8/31/202213練習(xí)1從定義可以看出,確定一個(gè)矩陣的要素是行數(shù)列數(shù)及元素.8/31/202214三、幾種特殊矩陣（均為方陣）1、對(duì)角矩陣定義 所有非主對(duì)角線元素全等于零的n階矩陣稱為 對(duì)角矩陣(diagonal matrix).是一個(gè)四階對(duì)角矩陣。n階對(duì)角矩陣常記為或這里當(dāng)然允許主對(duì)角線上的元為零.或 diag(a11, a22, ann)8/31/2022152、數(shù)量矩陣定義 如果n階對(duì)角矩陣所有主對(duì)角線上的元都相等，則稱 此矩陣為n階數(shù)量矩陣 (scalar matrix).即或 diag(a, a, a)特別地，如果n階數(shù)量矩陣A中的元素

6、a=1時(shí)，則稱A 為n階單位矩陣，記作 ，有時(shí)簡(jiǎn)記為E.即8/31/2022163、三角形矩陣定義 如果n階矩陣主對(duì)角線下方的元素都等于零， 則稱此矩陣為上三角形矩陣. 如果n階矩陣主對(duì)角線上方的元素都等于零， 則稱此矩陣為下三角形矩陣.A為n階上三角形矩陣；B為n階下三角形矩陣.對(duì)角矩陣既是上三角形矩陣又是下三角形矩陣.注8/31/202217練習(xí)1在下列矩陣中,指出三角形矩陣、對(duì)角矩陣、數(shù)量矩陣、單位矩陣：練習(xí)2根據(jù)所討論的特殊形式的矩陣的概念，指出其有從屬關(guān)系者.8/31/2022184、對(duì)稱矩陣和反對(duì)稱矩陣定義 如果n階矩陣A= （aij）的元滿足aij = aji (i,j=1,2,n), 則稱矩陣A為對(duì)稱矩陣.注：A中元素關(guān)于主對(duì)角線為對(duì)稱.如是一個(gè)三階對(duì)稱矩陣.它的元素關(guān)于A的主對(duì)角線對(duì)稱對(duì)稱矩陣8/31/202219反對(duì)稱矩陣定義 如果n階矩陣A= (aij)的元滿足aij = -aji (i,j=1,2,n),