線性代數(shù)課件

1、第 二 次 課1.3 行列式的性質(zhì)1.4 n階行列式的展開目的要求：1、掌握n階行列式的性質(zhì)，能用性質(zhì)計 算行列式。2、掌握余子式，代數(shù)余子式的概念及求法。3、理解行列式與代數(shù)余子式之間的關系。4、掌握行列式的展開方法（按某行、多 行展開），并會用于簡化行列式的計算。一、復習1、逆序數(shù)及其求法：2、二、三階行列式的對角線法則：3、n階行列式定義與計算注意：利用定義計算行列式，一般項取自不同的行、列的n元之積，符號由下標排列的逆序數(shù)確定，正負號各半；展開式一共有n！項。4、有沒有形如 用定義計算行列式是很困難的，還常利用性質(zhì)化簡為上（下）行列式或?qū)切辛惺健?的行列式？二、行列式的性質(zhì)性質(zhì)1：行

2、列式與它的轉(zhuǎn)置行列式 相等例如：證明：令由定義注：性質(zhì)表明：行列式的行與列有相同的地位。例如：性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式變號證明：換行后 每一項由換成符號全部反號 ，故D反號例如規(guī)定：推論：若行列式兩行（列）相等，則行列式為零。證：交換兩行（列）性質(zhì)3：行列式某一行（列）的公因子可以提到行列式符號的前面，即推論1：行列式中有一行（列）的元素全為零，則行列式為零。推論2：行列式中有兩行（列）元素，對應成比例，則行列式為零。例如：性質(zhì)4：行列式中某行（列）的元素，可以表成兩項之和，則行列式可寫成兩個行列式之和。注：此性質(zhì)有可推廣的情形性質(zhì)5：行列式的某行（列）的每個元素乘以數(shù)K后，加到

3、另一行（列）的對應元素上去，行列式的值不變。此性質(zhì)又稱為乘加法則：實質(zhì)是 “虛乘”“實加”即被加行改變，被乘行不變。注：對換（互換）變換規(guī)定：用r表示行， 用c表示列倍法變換消法變換計算行列式最常用性質(zhì)2、3、5進行性質(zhì)變形三、利用性質(zhì)計算行列式1、目標：化行列式為上（下）三角形，對角形 行列式計算。2、手段：利用行列式性質(zhì)，植樹“1”造林“0”3、原則：靈活運用行、列的各種變換，化簡行 列式要 點注意：用性質(zhì)計算行列式，應盡量做加法不做減法，避免分數(shù)運算，以減少運算過程中的錯誤例1：計算下列行列式解：注：本例也可用“列”變換簡化運算，還可以用更簡單的其他各種變換進行計算。也不必拘泥于植“樹”

4、造“林”。但無論用哪種方法計算，行列式的結果是唯一的。2.特點：各行各列元素都相等解：例3. 解方程解得：解：四、n階行列式的展開定義1.6：在n階行列式D中，任選定k行和k列 (1kn)，由這些行、列相交處的元素按原來的相對位置所構成的k階行列式N，稱為n階行列式D的一個k階子式，將原行列式D劃去所選定的k行、k列的元素，所剩下的元素按原來的相對位置構成的n-k階行列式M，稱為k子式N的余子式。 若N中的元素在D中所在的行、列標分別為i1, i2, , ik，及j1, j2, , jk， 當k=1時，則D中每一元素aij是D的一個一階子式，而aij的余子式是一個n-1階行列式，記為Mij，它

5、的代數(shù)余子式為(-1)i+jMij,記為Aij.比如，四階行列式中，選定第二行與第四行、第三列與第四列，得到二階子式N的代數(shù)余子式A為：若選定第二行、第三列，得一階子式則a23的余子式M23為a23的代數(shù)余子式為例如：劃去a12=2所在的行和列為元素a12=2的余子式而配上(-1)1+2也就是(-1)1+2M12稱元素a12=2的代數(shù)余子式定理1.3：n階行列式D等于它的任一行（列）的各元素與和它對應的代數(shù)余子式的乘積之和按行展開按列展開可以看出：1.按行（列）展開可將行列式 降階。 2.若一行（列）中零元素較多， 更簡捷。例4. 計算先復習一下余子式解：選擇零元素較多的行（列）展開（按第四列

6、）例5：計算解：按第一列展開例6：用兩種方法計算行列式解：一、化上三角形解二：定理1.4：n階行列式D中某一行（列）的各元素與另一行（列）對應元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零定理1.3與1.4結合起來就是：將D中的第j行元素換成第i行元素，得另一個行列式D1 因為D1=0，又因為D1與D只有第j行不同，所以D1中j行元素的代數(shù)余子式與D中j行對應元素的代數(shù)余子式相同，均為Aj1,Aj2,Ajn把D1按j行展開得 D1=ai1Aj1+ai2Aj2+ainAjn=0 (ij)同理可證 a1kA1s+a2kA2s+ankAns=0 (ks)例7：已知求：A41+A42+A43+A44求：A41+A42+A43+A44例8：設四階行列式計算：解（1）將D按第四行展