高中數(shù)學必修二 6.4.3 第2課時 正弦定理學案

1、6.4.3 余弦定理、正弦定理第2課時 正弦定理【學習目標】素 養(yǎng) 目 標學 科 素 養(yǎng)1.了解正弦定理的推導過程，掌握正弦定理及其基本應用；2.能用正弦定理解三角形，并能判斷三角形的形狀1.數(shù)學運算;2.數(shù)學抽象；3.邏輯推理.【自主學習】一正弦定理條件在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c結論eq f(a,sin A) 文字描述在一個三角形中，各邊和它所對角的 的比相等二正弦定理的變形 aeq f(bsinA,sinB)eq f(csinA,sinC)， beq f(csinB,sinC)eq f(asinB,sinA)， ceq f(asinC,sinA)eq f(bsinC,

2、sinB)；sin Asin Bsin Cabc；R為ABC外接圓的半徑: asinA=bsinB=csinC=a+b+csinA+sinB+sinC=2R思考:1.正弦定理的變形公式的作用是什么？正弦定理的適用范圍是什么？2.利用正弦定理能解什么條件下的三角形？3.在ABC中，AB與sinAsinB的關系怎樣？【小試牛刀】思維辨析(對的打“”，錯的打“”)(1)正弦定理不適用于直角三角形()(2)在一確定的三角形中，各邊與它所對角的正弦的比是一定值()(3)在ABC中必有asin Absin B()(4)在ABC中，若ab，則必有sin Asin B()(5)在ABC中，若sin Asin

3、B，則必有AB.()【經典例題】題型一 已知兩角及一邊解三角形點撥： (1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對的邊，再由三角形內角和定理求出第三個角(2)若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內角和定理求出第三個角，再由正弦定理求另外兩邊 例1 在ABC中，已知A15，B45，c=3+3,解這個三角形【跟蹤訓練】1 在ABC中，A60，sin Beq f(1,2)，a3，求三角形中其他邊與角的大小題型二 已知兩邊及其中一邊的對角解三角形點撥：首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值；如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正

4、弦值可求銳角；如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論，由“三角形中大邊對大角”來判定設A為銳角，若ab，則AB，從而B為銳角，有一解；若ab，則A1，無解；sinB1，一解；sinB0)，得aksinA，bksinB，cksinC等結論，利用它們來解決三角形中的比值問題例3在ABC中，已知A60，a3，則eq f(abc,sinAsinBsinC)_.【跟蹤訓練】3 在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且ABC123，則abc()A123 B321C2eq r(3)1 D1eq r(3)2題型四 正弦定理的應用-判斷三角形的

5、形狀點撥：判斷三角形的形狀，可以從三邊的關系入手，也可以從三個內角的關系入手，從條件出發(fā)，利用正弦定理進行代換、轉化，呈現(xiàn)出邊與邊的關系或求出角與角的關系，從而作出準確判斷.要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別.例4 已知a，b，c分別是ABC的內角A，B，C所對的邊，滿足eq f(a,cosA)eq f(b,cosB)eq f(c,cosC)，則ABC的形狀是( )A等腰三角形 B直角三角形C等邊三角形 D等腰直角三角形【跟蹤訓練】4在ABC中，已知a2tan Bb2tan A，則ABC的形狀是()A銳角三角形 B直角三角形C鈍角三角形 D等腰三角形或直角三角形【當

6、堂達標】1.在ABC中，若eq r(3)a2bsin A，則B()A.eq f(,3) B.eq f(,6)C.eq f(,3)或eq f(2,3) D.eq f(,6)或eq f(5,6)2.在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，那么下列給出的各組條件能確定三角形有兩解的是()Aa10，b8，A30Ba8，b10，A45Ca10，b8，A150Da8，b10，A603.在ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若cacos B(2ab)cos A，則ABC的形狀是()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形4.在ABC中，aeq r(6)，b2，

7、B45，則C .5.在ABC中，ABeq r(6)，A75，B45，則AC_.6.已知ABC中角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acos Ceq f(r(3),2)cb.(1)求角A的大??；(2)若a1，beq r(3)，求c的值【課堂小結】1.正弦定理的結構形式正弦定理實際上是邊角連等式：eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC) ，描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關系2. 正弦定理的主要功能：實現(xiàn)三角形中邊角關系的轉化3.三角形解的個數(shù)的確定當三角形的兩角和任一邊確定時，三角形唯一確定；當三角形中已知兩邊和其中一邊的對角時，三角形不能唯一確定，可能出現(xiàn)

8、一解、兩解或無解的情況可由“三角形中大邊對大角”來判定 【參考答案】【自主學習】 eq f(b,sin B) eq f(c,sin C) 正弦1.由正弦定理的變形公式可以實現(xiàn)三角形中邊與角之間的相互轉化，正弦定理對任意的三角形都成立2.知兩角及一邊可解三角形；知兩邊及一邊的對角也可解三角形3.在ABC中，若AB，則ab.由正弦定理得2RsinA2RsinB，即sinAsinB.若sinAsinB，則2RsinA2RsinB(R是ABC的外接圓半徑)由正弦定理得ab.綜上所述，在ABC中，AB與sinAsinB等價【小試牛刀】(1)(2) (3)(4)(5)【經典例題】例1 解：由三角形內角和定

9、理，得 由正弦定理，得 【跟蹤訓練】1 解：因為sin Beq f(1,2)，所以B30或150.當B30時，由A60得C90；所以由正弦定理eq f(b,sin B)eq f(c,sin C)eq f(a,sin A)，得beq f(sin B,sin A)aeq f(sin 30,sin 60)3eq r(3)，ceq f(sin C,sin A)aeq f(sin 90,sin 60)32eq r(3).當B150時，不合題意，舍去例2 解：由正弦定理，得 因為c b，B30，所以30C180.于是C45，或C135.（1）當C45時，A105此時（2）當C105時，A15此時【跟蹤訓練

10、】2(1)a7，b8，a90，本題無解(2)b10，c5eq r(6)，bc，C6090，本題有一解sinBeq f(bsinC,c)eq f(10sin60,5r(6)eq f(r(2),2)，B45，A180(BC)75.aeq f(bsinA,sinB)eq f(10sin75,sin45)eq f(10f(r(6)r(2),4),f(r(2),2)5(eq r(3)1)(3)a2eq r(3)，b6，ab，A30bsinA，本題有兩解由正弦定理得：sinBeq f(bsinA,a)eq f(6sin30,2r(3)eq f(r(3),2)，B60或120，當B60時，C90，ceq f

11、(asinC,sinA)eq f(2r(3)sin90,sin30)4eq r(3)；當B120時，C30，ceq f(asinC,sinA)eq f(2r(3)sin30,sin30)2eq r(3).B60，C90，c4eq r(3)或B120，C30，c2eq r(3).例3 2eq r(3) 解析：由正弦定理eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)eq f(abc,sinAsinBsinC)，可得eq f(abc,sinAsinBsinC)eq f(3,sin60)2eq r(3). 【跟蹤訓練】3 D 解析：在ABC中，因為ABC123，所以B2A，C

12、3A，又ABC180，所以A30，B60，C90，所以abcsin Asin Bsin Csin 30sin 60sin 901eq r(3)2.例4 C 解析：方法一：由正弦定理得eq f(a,sinA)eq f(b,sinB)eq f(c,sinC)，又eq f(a,cosA)eq f(b,cosB)eq f(c,cosC)，得eq f(sinA,cosA)eq f(sinB,cosB)eq f(sinC,cosC)，即tanAtanBtanC，所以ABC，即ABC為等邊三角形【跟蹤訓練】4 D 解析：選D.將a2Rsin A，b2Rsin B(R為ABC外接圓的半徑)代入已知條件，得si

13、n2Atan Bsin2Btan A，則eq f(sin2Asin B,cos B)eq f(sin Asin2B,cos A).因為sin Asin B0，所以eq f(sin A,cos B)eq f(sin B,cos A)，所以sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，所以AB或ABeq f(,2)，故ABC為等腰三角形或直角三角形【當堂達標】1.C 解析：由正弦定理，得eq r(3)sin A2sin Bsin A，所以sin A(2sin Beq r(3)0.因為0A，0Bb可判斷只有一解；對于D,810sin 605eq r(3)可知無解；對于B,10sin 455eq r(2)8b，A60或A120，C75或15.5. 2 解析：由三角形內角和定理，得C60，根據(jù)正弦定理，得eq f(AB,sin C)eq f(AC,sin B)，所以ACeq f(r(2),2)eq f(r(6),f(r(3),2)2.6.解析：(1)由acos Ceq f(r(3),2)cb和正弦定理，得sin Acos Ceq f(r(3),2)sin Csin B.sin Bsin (AC)sin Acos Ccos Asin