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1、學(xué)科教師輔導(dǎo)講義學(xué)員編號:年級:四年級課時(shí)數(shù):3學(xué)員姓名:輔導(dǎo)科目:奧數(shù)學(xué)科教師:授課主題第05講-最優(yōu)化問題授課類型T同步課堂P實(shí)戰(zhàn)演練S歸納總結(jié)教學(xué)目標(biāo)學(xué)習(xí)了解最優(yōu)化問題;能解決常見的最優(yōu)化問題;通過學(xué)生解決問題的過程,激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性和堅(jiān)韌 不拔、勇于探索的意志品質(zhì)。授課日期及時(shí)段T (Textbook-Based)同步堂知識梳理d一、最優(yōu)化問題在日常生活和生產(chǎn)中,我們經(jīng)常會遇到下面的問題:完成一件事情,怎樣合理安排才能做到用的時(shí)間 最少,效果最佳。這類問題在數(shù)學(xué)中稱為統(tǒng)籌問題。我們還會遇到“費(fèi)用最省”、“面積最大”、“損耗 最小”等等問題,這些問題往往可以從極端
2、情況去探討它的最大(小)值,這類問題在數(shù)學(xué)中稱為極值問 題。以上的問題實(shí)際上都是“最優(yōu)化問題” 二、時(shí)間最優(yōu)問題策略在進(jìn)行最佳安排時(shí),要考慮以下幾個(gè)問題:(1)要做哪幾件事;(2)做每件事需要的時(shí)間;(3)要弄清所做事的程序,即先做什么,后做什么,哪些事可以同時(shí)做。在學(xué)習(xí)、生產(chǎn)和工作中,只有盡可能地節(jié)省時(shí)間、人力和物力,才能發(fā)揮出更大的效率。典例分析考點(diǎn)一:燒水問題例1、明明早晨起來要完成以下幾件事情:洗水壺 1分鐘,燒開水12分鐘,把水灌入水瓶要 2分鐘,吃早點(diǎn)要8分鐘,整理書包2分鐘。應(yīng)該怎樣安排時(shí)間最少?最少要幾分鐘?【解析】經(jīng)驗(yàn)表明:能同時(shí)做的事盡量要同時(shí)去做,這樣節(jié)省時(shí)間。水壺不洗,
3、不能燒開水,因而洗水壺不能和燒開水同時(shí)進(jìn)行;而吃早點(diǎn)和整理書包可以和燒開水同時(shí)進(jìn)行。這一過程可用方框圖表示:沈水有從圖上可以看出,洗水壺要1分鐘,接著燒開水要12分鐘,在等水開的同時(shí)吃早點(diǎn)、整理書包,水開了就灌入水瓶,共需15分鐘。例2、媽媽讓小明給客人燒水沏茶。洗水壺需要1分鐘,燒開水需要 15分鐘,洗茶壺需要1分鐘,洗茶杯需要1分鐘。要讓客人喝上茶,最少需要多少分鐘?【解析】經(jīng)驗(yàn)表明,能同時(shí)做的事,盡量同時(shí)做,這樣可以節(jié)省時(shí)間。水壺不洗,不能燒開水,因此,洗水壺和燒開水不能同時(shí)進(jìn)行。而洗茶壺、洗茶杯和拿茶葉與燒開水可以同時(shí)進(jìn)行。根據(jù)以上的分析,可以這樣安排:先洗水壺用1分鐘,接著燒開水用1
4、5分鐘,同時(shí)洗茶壺、洗茶杯、拿茶葉,水開了就沏茶,共需要 16分鐘??键c(diǎn)二:煎餅問題例1、貼燒餅的時(shí)候,第一面需要烘 3分鐘,第二面需要烘 2分鐘,而貼燒餅的架子上一次最多只能放2個(gè)燒餅。要貼3個(gè)燒餅至少需要幾分鐘?【解析】先放第一、二兩個(gè)燒餅貼第一面,過3分鐘后,拿下第一個(gè),并把第二個(gè)翻過去,并放上第三個(gè)燒餅;過2分鐘拿下第二個(gè),并放第一個(gè)燒餅,過 1分鐘把第三個(gè)燒餅翻過來;再過 1分鐘取下第一個(gè)燒 餅,再過1分鐘三個(gè)燒餅全貼完了,只用了 8分鐘。3+2 + 1 + 1 + 1=8分鐘例2、用一個(gè)平底鍋烙餅,鍋上只能同時(shí)放兩個(gè)餅。烙第一面需要2分鐘,烙第二面需要 1分鐘?,F(xiàn)在在烙三個(gè)餅,最少
5、需要多少分鐘?【解析】一共需要5分鐘。第一次:同時(shí)放兩張大餅烙 2分鐘;第二次:將其中的一張反過來再烙 1分鐘, 把另外一張取出,把第三張放入烙 1分鐘;第三次:將烙熟的一張拿出,把取出的那張放入另外一面烙 1 分鐘,第三張也烙1分鐘:第四次:將第三張的另外一面再烙 1分鐘??键c(diǎn)三:收割問題例1、甲、乙、丙、丁四人各有一塊麥地,他們同時(shí)用一臺收割機(jī)進(jìn)行收割,甲的麥地需要收割4小時(shí),乙的麥地需要收割1小時(shí),丙的麥地需要收割 3小時(shí),丁的麥地需要收割 2小時(shí)。怎樣安排四人的順序,他 們花的總時(shí)間最少?最少時(shí)間是多少?【解析】所用的時(shí)間是指他們四個(gè)各自收割時(shí)間與等的時(shí)間的總和,因?yàn)楦髯允崭畹臅r(shí)間不變
6、,所以在安 排收割的順序時(shí),應(yīng)該使等的時(shí)間盡可能少,即應(yīng)該安排收割時(shí)間少的人先用,順序是:乙、丁、丙、甲, 過程可用下表表示:乙敝制 的時(shí)阿丁收割 的時(shí)間兩收割的時(shí)間甲收割的時(shí)間乙領(lǐng)時(shí)間1等的時(shí)間12丙等的時(shí)間123甲等的時(shí)間1234從表中可以看出,四人收割的時(shí)間為:1+2+3+4=10小時(shí),三人等的時(shí)間為:1X3+2X 2+3=10小時(shí),所以,最少時(shí)間為 10+10=20小時(shí)。例2、五(1)班趙明、孫勇、李佳三位同學(xué)同時(shí)到達(dá)學(xué)校衛(wèi)生室,等候校醫(yī)治病。趙明打針需要5分鐘,孫勇包紗布需要 3分鐘,李佳點(diǎn)眼藥水需要 1分鐘。衛(wèi)生室只有一位校醫(yī),校醫(yī)如何安排三位同學(xué)的治病次序,才能使三位同學(xué)留在衛(wèi)生
7、室的時(shí)間總和最短?【解析】校醫(yī)應(yīng)該給治療時(shí)間最短的先治病,治療時(shí)間長的最后治療,才能使三位同學(xué)在衛(wèi)生室的時(shí)間總和最短。這樣,三位同學(xué)留在衛(wèi)生室的時(shí)間分別是:李佳 1分鐘,趙1+3=4分鐘,趙明1+3+5=9分鐘。時(shí) 間總和是1+4+9=14分鐘??键c(diǎn)四:過河問題例1、小明騎在馬背上趕馬過河,共有甲、乙、丙、丁四匹馬,甲馬過河需 2分鐘,乙馬過河需 3分鐘, 丙馬過河需6分鐘,丁馬過河需7分鐘。每次只趕兩匹馬過河, 要把4匹馬都趕到對岸去, 最少要幾分鐘?【解析】要使過河時(shí)間最少,應(yīng)抓住以下兩點(diǎn):(1)同時(shí)過河的兩匹馬相差時(shí)間盡可能小些,才能使花時(shí)間少的馬在過河時(shí)少浪費(fèi)時(shí)間;(2)過河后應(yīng)騎時(shí)間
8、少的那匹馬回來。因此,趕馬的順序是:小明先騎甲馬趕乙馬一起過河,再騎甲馬返回,共需3+2=5分鐘;然后騎丙馬趕丁馬一起過河后,再騎乙馬返回,7+3=10分鐘;最后騎在甲馬背上趕乙馬一起過河,不再回來,共需3分鐘。所以,4匹馬都趕到對岸去最少時(shí)間是5+ 10+3=18分鐘。例2、明明騎在牛背上趕牛過河,共有甲、乙、丙、丁 4頭牛,甲牛過河需1分鐘,乙牛過河需 2分鐘,丙 牛過河需5分鐘,丁牛過河需6分鐘。每次只能趕兩頭過河, 要把4頭占都趕到對岸去, 最少要多少分鐘?【解析】此題較復(fù)雜,應(yīng)抓住每次時(shí)間接近的兩頭牛過河,同時(shí)回來盡量騎時(shí)間短的牛返回這兩個(gè)關(guān)鍵, 進(jìn)而分析解答即可.先騎 1分鐘的,帶
9、著2分鐘的過去,用時(shí) 2分;然后騎一分鐘的回來,用時(shí) 1分;然 后騎5分鐘的帶著6分鐘的過去,用時(shí) 6分;然后騎2分鐘的回來,用時(shí) 2分;最后騎著1分鐘帶著2分 鐘的過去,用時(shí)2分;一共13分鐘.考點(diǎn)五:其他最優(yōu)問題例1、在一條公路上每隔 50千米有一個(gè)糧庫,共 4個(gè)糧庫。甲糧庫存有10噸糧食,乙糧庫存有 20噸糧食, 丁糧庫存有50噸糧食,還有一個(gè)糧庫是空的?,F(xiàn)在想把所存的糧食集中放在一個(gè)糧庫中,如果每噸糧食運(yùn)1千米要1元的運(yùn)費(fèi),那么最少要花多少運(yùn)費(fèi)才行?回 區(qū) 甫 廳10HL20 嘩50 噸【解析】 這種運(yùn)輸問題,運(yùn)的貨物越重路程越遠(yuǎn),花費(fèi)就越多。反之,如果移動的貨物重量小路程近,花 費(fèi)的
10、費(fèi)用就少。在本題中,各糧庫之間的距離相等都是50千米,一般原則是“少往多處靠”。集中存在糧食較多的庫房比較節(jié)約,甲、乙兩倉庫糧食合起來是30噸,還不如丁糧庫的糧食多,所以應(yīng)將甲、乙糧庫的糧食集中放在丁糧庫。 甲糧庫需用1X 10X 50X 3=1500元,乙糧庫需要1X 20 X 50X 20=2000元,共用1500+ 2000=3500 元。例2、用18厘米長的鐵絲圍成各種長方形,要求長和寬的長度都是整厘米數(shù)。圍成的長方形的面積最大是多少?【解析】根據(jù)題意,圍成的長方形的一條長與一條寬的和是18+ 2=9厘米。顯然,當(dāng)長與寬的差越小,圍成的長方形的面積越大。又已知長和寬的長度都是整厘米數(shù),
11、因此,當(dāng)長是5厘米,寬是4厘米時(shí),圍成的長方形的面積最大:5X 4=20平方厘米。例3、用36這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù),使這兩個(gè)兩位數(shù)的乘積最大?!窘馕觥拷鉀Q這個(gè)問題應(yīng)考慮兩點(diǎn):(1)盡可能把大數(shù)放在高位;(2)盡可能使兩個(gè)數(shù)的差最小。所以應(yīng)把 6和5這兩個(gè)數(shù)字放在十位,4和3放在個(gè)位。根據(jù)“兩個(gè)因數(shù) 的差越小,積越大”的規(guī)律,3應(yīng)放在6的后面,4應(yīng)放在5的后面。63 X 54=3402.RPractice-Oriented)實(shí) 戰(zhàn)演練實(shí)戰(zhàn)演練課堂狙擊1、玲玲想給客人燒水沏茶。洗水壺要2分鐘,燒開水要12分鐘,買茶葉5分鐘,洗茶杯要1分鐘,沖茶要1分鐘。要讓客人盡早喝上茶,你認(rèn)為最合理的安
12、排需要多少分鐘客人就能喝上茶了?【解析】洗水壺和燒開水要一起,沖茶要等燒完后,也就是 2+12,之后再加上要沖茶的一分鐘(燒開水同時(shí)可買茶葉洗茶杯)12+2+1=152、烤面包的架子上一次最多只能放兩個(gè)面包,烤一個(gè)面包每面需要 2分鐘,那么烤三個(gè)面包最少需要多少分鐘?【解析】6分鐘,把兩片面包放入烤架烤 2分鐘,烤好一面后拿出一片,另一片翻過來,放入沒烤的一片22分鐘,分鐘。等烤好后,把烤好的拿出來,放入剛才拿出來的那片,和架子上的另一片面包一起烤另一面 搞定收工。3、甲、乙、丙三人到商場批發(fā)部洽談業(yè)務(wù),甲、乙、丙三人需要的時(shí)間分別是10分鐘、16分鐘和8分鐘。怎樣安排,使3人所花的時(shí)間最少?
13、最少時(shí)間是多少?【解析】按時(shí)間從短到長,即丙、甲、乙的次序安排談話,才能使3人所花的總時(shí)最短。當(dāng)丙在談的時(shí)候,甲和乙在等待,所以 3個(gè)人都在,一共花費(fèi) 8X3分鐘;當(dāng)甲在談的時(shí)候,乙在等待,丙走了,所以 2個(gè)人在,一共花費(fèi)10X2分鐘;當(dāng)乙在談的時(shí)候,丙和甲都走了,所以只有1個(gè)人在,一共花費(fèi)16X1分鐘;可得:3人所花的總時(shí)間最短為 8X 3+10X 2+16X1=60分鐘。4、衛(wèi)生室里有四名同學(xué)等候醫(yī)生治病,甲打針要3分鐘,乙換紗布需要 4分鐘,丙涂紅藥水需要 2分鐘,丁點(diǎn)眼藥水需要1分鐘。怎樣安排,他們在醫(yī)院等候的時(shí)間和最少?最少是多少分?【解析】醫(yī)生治的順序是:丁、丙、甲、乙。等候的時(shí)間
14、和為:1+ (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+4) =20 分鐘5、一條公路有四個(gè)儲油站,它們之間都相隔 100千米。甲儲油站有 50噸油,乙儲油站儲有 10噸油,丙儲 油站有20噸油,丁儲油站是空的?,F(xiàn)在如果想把所存的油集中于一個(gè)儲油站, 每噸油運(yùn)1千米要2元運(yùn)費(fèi), 那么最少要花多少運(yùn)費(fèi)?5(臟10注2D噸【解析】應(yīng)該將乙、丙的集中去甲,所花的運(yùn)費(fèi)最少。丙需用2X20X 200=8000元,乙糧庫需要 2X 10X 100=2000元:最少共用 8000+2000=10000 元。6、小剛騎在馬背上過河,共有甲、乙、丙、丁 4匹馬,甲馬過河需 7分鐘,乙馬過河要 2分鐘,丙馬
15、過河要3分鐘,丁馬過河要 8分鐘。每次只能兩匹馬過河,要把 4匹馬都趕到對岸去,最少要多少分鐘?【解析】趕馬的順序是:先騎乙馬趕丙馬一起過河,再騎乙馬返回,共需3+2=5分鐘;然后騎甲馬趕丁馬一起過河后,再騎丙馬返回,3+8=11分鐘;最后騎在乙馬背上趕丙馬一起過河,不再回來,共需 3分鐘。所以,4匹馬都趕到對岸去最少時(shí)間是5+ 11 + 3=19分鐘。7、一個(gè)長方形的周長是 20分米,它的面積最大是多少?【解析】一個(gè)四邊形,周長一定的條件下,以正方形的形式出現(xiàn),其面積最大。那么一個(gè)周長為20的正方形,面積非常簡單:5 X 5=25平方分米.8、用58這四個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)兩位數(shù),使這兩個(gè)兩位
16、數(shù)的乘積最大?!窘馕觥浚?)盡可能把大數(shù)放在高位;(2)盡可能使兩個(gè)數(shù)的差最小。所以85乘76,首先最高位越大越好,個(gè)位數(shù)小的和十位數(shù)大的在一起,這樣可以使積最大? 課后反擊1、小李阿姨要出門,出門之前她要完成以下幾件事:整理房間5分鐘,把衣服和水放入洗衣機(jī)要1分鐘,洗衣服自動洗滌要12分鐘,擦鞋要3分鐘。怎樣合理安排,小李阿姨在多少分鐘后就可以出發(fā)了?【解析】把衣服和水放入洗衣機(jī)的時(shí)間1分鐘加上洗滌的12分鐘就是所需要花的時(shí)間。整理房間和擦鞋可以在洗衣服的12分鐘內(nèi)完成。所以13分鐘后可以出發(fā)。2、小紅媽媽要小紅用平底鍋烙餅,鍋中每次最多放4個(gè)餅。烙一個(gè)餅一面要 2分鐘,另一面要1分鐘,可小
17、紅烙6個(gè)餅只用了 5分鐘,她是怎么做的?【解析】先放4個(gè)一起烙2分鐘后翻面,取出其中兩個(gè),放兩個(gè)新的再烙1分鐘,一開始的兩個(gè)餅就烙好了,然后翻面,把之前取出的 2個(gè)反面放入烙1分鐘可以取出,再烙一分鐘剩下的2個(gè)。一共花費(fèi)5分鐘。3、三個(gè)顧客到同一個(gè)柜臺去買東西,甲需要用 4分鐘,乙需要用6分鐘,丙需要用2分鐘。怎樣安排他們 購買的順序,使他們所花的總時(shí)間最少?最少是多少?【解析】這個(gè)問題主要是找出減少三人總等待時(shí)間的方法,所以用的時(shí)間少,就可以減少別人的等待時(shí)間,就是說他們的順序應(yīng)該是丙、甲、乙.總共用時(shí)是2+2 (甲、乙等待時(shí)間)+4+4 (乙等待時(shí)間)+6=18。4、一條公路有三所小學(xué)分別
18、為 A、B、C,在什么地方設(shè)一個(gè)汽車站,才能使用三個(gè)學(xué)校的學(xué)生上學(xué)放學(xué)所行的總路程最少?【解析】設(shè)在B站。5、小強(qiáng)騎在牛背上過河,共有甲、乙、丙、丁、戊、己六頭牛,甲牛過河要1分鐘,乙牛過河要 2分鐘,丙牛過河要3分鐘,丁牛過河要 4分鐘,戊牛過河要 5分鐘,己牛過河要 6分鐘。每次只能三頭牛過河,要把6頭牛都趕到對岸去,最少要幾分鐘?【解析】 分析:要想用時(shí)最少,先讓過河用時(shí)多的先過,首先騎甲趕戊和己,騎甲回:6+1=7 (分鐘),再騎甲趕丙和丁,騎甲回需:4+1=5分鐘,最后再騎甲趕乙需 2分鐘.最少:7+5+2=14分鐘。6、甲、乙、丙、丁四人同時(shí)到一水龍頭處用水,甲洗托把需要3分鐘,乙
19、洗抹布需要 2分鐘,丙洗衣服需要10分鐘,丁用桶注水需要 1分鐘。怎樣安排四人用水的次序,使他們所花的總時(shí)間最少?最少時(shí)間是多 少?【解析】順序是丁、乙、甲、丙;一共所花時(shí)間:1+ (1+2) + (1+2+3) + (1+2+3+10) =26 分鐘。7、一個(gè)長方形的面積是 36平方厘米,并且長和寬的長度都是整厘米數(shù)。這個(gè)長方形的周長最長是多少厘米?【解析】36=36X 1=18X 2=12X 3=9X 4=6X 6;所以長方形的長和寬分別是:長36厘米、寬1厘米;長18厘米、寬2厘米;長12厘米、寬3厘米;長9厘米、寬4厘米;長6厘米、寬6厘米.這個(gè)長方形的周長最長是:(36+1) X 2
20、=37X 2=74 (厘米),8、用38這六個(gè)數(shù)字分別組成兩個(gè)三位數(shù),使這兩個(gè)三位數(shù)的乘積最大。【解析】864X 753=650592, 854X 763=651602, 853X 764=651692 ;可知853X 764最大,值為 651692規(guī)律:首位分別取最大,兩個(gè)數(shù)差距越小,積越大,得 853X 764最大直擊賽場1、有157噸貨物要從甲地運(yùn)往乙地,大卡車的載重量是5噸,小卡車的載重量是 2噸,大卡車與小卡車每車次的耗油量分別是 10公升與5公升.問如何選派車輛才能使運(yùn)輸耗油量最少?這時(shí)共需用油多少公升?(上海市數(shù)學(xué)競賽試題)【解析】 大卡車每噸耗油量為 10+5=2 (公升);小卡車每噸耗油量為5+2=2.5 (公升).為了節(jié)省汽油應(yīng)盡量選派大卡車運(yùn)貨,又由于 157=5X
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