量子力學教案7(新)

1、同是寒窗苦讀，怎愿甘拜下風！ 第七章自旋在較強的磁場下（sio2T），我們發(fā)現(xiàn)一些類氫離子或堿金屬原子有正常塞曼效應的現(xiàn)象，而軌道磁矩的存在，能很好的解釋它但是，當這些原子或離子置入弱磁場（sit）的環(huán)境中，或光譜分辨率提高后，發(fā)現(xiàn)問題并不是那么簡單，這就要求人們進一步探索。大量實驗事實證明，認為電子僅用三個自由度x，y,z來描述并不是完全的。我們將引入一個新的自由度自旋，它是粒子固有的。當然，自旋是Dirac電子的相對論性理論的自然結果。現(xiàn)在我們從實驗事實來引入。7.1電子自旋存在的實驗事實（1）Stern-Gerlach實驗（1922年）當一狹窄的原子束通過非均勻磁場時，如果原子無磁矩，它

2、將不偏轉；而當原子具有磁矩土，那在磁場中的附加能量為TOC o 1-5 h zU=附B=cosa如果經(jīng)過的路徑上，磁場在z方向上有梯度，即不均勻，則受力 HYPERLINK l bookmark12 o Current Document FV7TTdBF=VU=pcosa_dz從經(jīng)典觀點看cosa取值（從-11），因此，不同原子（磁矩取向不同）受力不同，而取值dBdBpp一dzdz所以原子分裂成一個帶。但Stern-Gerlach發(fā)現(xiàn)，當一束處于基態(tài)的銀原子通過這樣的場時，僅發(fā)現(xiàn)分裂成二束，即僅二條軌道（兩個態(tài)）。而人們知道，銀原子（z=47）基態(tài)1=0，所以沒有軌道磁矩，而分成二個狀態(tài)（二個

3、軌道），表明存在磁矩，而這磁矩在任何方向上的投影僅取二個值。這磁矩既然不是由于軌道運動產(chǎn)生的，因此，只能是電子本身的（核磁矩可忽），這磁矩稱為內稟磁矩巴，與之相聯(lián)系的角動量稱為電子自旋，它是電子的一個新物理量，也是一個新的動力學變量。（2）電子自旋存在的其他證據(jù)堿金屬光譜的雙線結構鈉原子光譜中有一譜線，波長為5893A,但精細測量發(fā)現(xiàn)，實際上，這是由兩條譜線組成。D=5895.93AD=5889.95A2這一事實，從電子僅具有三個自由度是無論如何不能解釋的。反常塞曼效應（AnomalousZeemaneffect）原子序數(shù)z為奇數(shù)的原子，其多重態(tài)是偶數(shù)，在弱磁場中分裂的光譜線條數(shù)為偶（如鈉D和

4、D2的兩條光譜線，在弱磁場中分裂為4條和6條）。這種現(xiàn)象稱為反常塞曼效應。不引入電子自旋也是不能解釋的。在弱磁場中，能級分裂出的多重態(tài)的相鄰能級間距，并不一定為色B，而是gD竺B。對于不同能級，gD可能不同，而不是簡單為1（gD稱Landeg因子）。D2卩根據(jù)這一系列實驗事實，G.Uhlenbeck）（烏倫貝克）和S.Goudsmit（古德斯密特）提出假設電子具有自旋S，并且有內稟磁矩企，它們有關系電子自旋在任何方向上的測量值僅取兩個值，所以TOC o 1-5 h zehueA=+z=-， HYPERLINK l bookmark26 o Current Document z2mSmezee為

5、單位，則gs=-2（而ge=-1）2me自旋的回磁比為gs一2現(xiàn)在很清楚，電子自旋的存在可由Dirac提出的電子相對論性理論自然得到?？紤]到輻射修正ng=-2（1+）=-2.00231922兀7.2自旋微觀客體的一個動力學變量既然電子有自旋，這表明描述電子運動的變量就不能僅取x，y,z，還應有第四個變量Sz，相應算符為Sz。1）電子的自旋算符和它的矩陣表示由于電子具有自旋，實驗發(fā)現(xiàn)，它也具有內稟磁矩所以，自旋這個動力學變量是具有角動量性質的量，當然它又不同于軌道角動量（僅取二個值，gs一2）對于這樣一個力學量，當然仍應用線性厄密算符來刻劃它。于是我們假設：自旋算符S有三個分量S.，并滿足角動量

6、所具有的對易關系。iA.對易關系Si，Sj=血ijkskB.由于它在任意方向上的分量測量僅取二個數(shù)值，土-，所以2TOC o 1-5 h z八八八IS2=S2=S2=-2xyz411于是S2=3-2=1(1+1)-2是一常數(shù)22C.矩陣形式由于其分量僅取二個數(shù)值，也即本征值有二個，所以S,S,S可xyz用2X2矩陣表示。1.若選S作為力學量完全集，即取S表象，那S在自身表象中的表示自ZZZ然為對角矩陣，而對角元就是它的本征值相應的本征矢Is,sz)=2,2Sz|S,mJ=ms-|S,ms/2.Sx，Sy在Sz表象中的矩陣表示我們知道，這只要將S,S作用于S的基矢并以S基矢展開,xyzz從展開系

7、數(shù)來獲得由S,S=i-SzxyS,S=i-Szyx八八八S,S=-Sz因此SzS+|S,m；：-=S+(Sz+-)|S,mJ=(ms+1)-S+S,msS+Is,mJ-=A|S,ms+1由(S,m|S-S|S,m)=A2=(S,ms|S2-S2-Sz|S,ms)=力2一m2力2一m力24ss=(2一ms)(2+ms+1)立2A二h(S-ms)(S+ms+1)即S+|S,m=力J(S-ms)(S+ms+1)|S,ms+1同理可得S一|s,ms)二(S+ms)(S-ms+1)|S,ms-1)S怡吧/(S+ms)(S-ms+1)|S,m-1；+J(S-ms)(S+ms+1)|S,ms+1-：(S-m

8、s)(S+ms+1)|SSy|S,ms：=號G(S+ms)(S-ms+1)卜吧-1,m+1s112得系數(shù)矩陣為h轉置得(Sx)=211：=也2212ih21122系數(shù)矩陣為匚ih(02I-1入hr0轉置得(S)=2y2i對于Sn在0,9方向有S=sin0cosS+sin0sin9S+cos0SnxyzPauliOperator；為方便起見，引入泡利算符S=2b于是，在bz表象中有（或稱Pauli表象）則本征矢cos_e如22sine2I2丿sine-i22cose22丿10丿(bz)=0、1丿稱為泡利矩陣。bi的本征值為土。b.,b=2i.|b，b2=b2=b2=1ijijkkxyz由此得bb

9、+bb=(b2ib+2ibb)xyyx2ixyyx=丄(bb,b+b,bb)2ixzxzxx=b,b22iz=0于是有2bb=bbbb=2ibxyxyyxzbbb=ixyz為使我們對表象變換及算符矩陣表示以及由矩陣表示求本征值，本征矢有進步性認識，我們作一些例子。例1.求b的本征值，本征矢y因已知by在bz表象中矩陣形式為0丿二矩陣形式的本征方程為Z(b)k-mSkak=0ynksnkkk要ak不同時為0，系數(shù)行列式應為0mi.s=0m2=1m2=1imsss對于ms=1(-1-i-1人a2丿iYai、1卩、十2、i丿例2表象變換=0對于兩表象變換Sna2=1，a1=iba=:b|a)顯然，S

10、ba列，實為A表象基矢a在B表象中的表示(S)bzby遼我們知9y）在自身表象為0、-1所以，它在bz表象中表示為(by)bzi(1iYi72bJI0i、+(0y的變換矩陣Sbybz=S+=1(1J2、一i1丿(by)1(1一i、(021i1人i、+(10、丿_匸）-方程L|屮）=|吠在（r,Sz）表象中可表為J；r,SzL|匸,s；dt：i,s；|嘰=：r,szleSZL11（r,P）,L12（r,P）丫屮i2（r）申i2（r）L2i（r，p），L22（r，P）丿W_12（r）丿一J）丿L11Sz力八八八力=2l（r，P，Si）Sz=2）2122L12zhf“，二、c力2L（r，匕Si）Sz

11、=_2方八八八_尹（r,P,si）Sh八八_2l（r，P，Si）S事實上，直接由L（r,p,S.）在Sz表象中表示來獲得/八八、L11（r，P），L12（r,P）IL21（r，P），L22（r，p）丿對任一算符的平均值為ZAL=j屮+L屮di（屮*2，忙1L11VL21L12YL22丿I-12丿dr=W；2L11屮112屯+W*2L12屮-12屯+W-12L21屮12+W-12L22屮-12屯例：求g+=2（ax+ij）在態(tài)矢量b）中的平均值解：6+在（r,Sz）表象中表示(6+)2(0(0+iVi0丿0V0而（申）=他2Or2（r）丿6+=f；2(r),9*-12(r)01丫2(r)V00丿

12、b-1；2(r)dr丿=J9*2（r），92（r）dr（3）考慮自旋后，電子在中心勢場中的薛定諤方程動能項在非相對論極限下，電子的動能為八p2T=-2p當計及電子的自旋后，波函數(shù)是兩分量。并注意到（6A）（bB）=AB+ib（AxB）b,A丄我們有1E八丄八T=pbbp2y_而置于電磁場中時，則1T=(p+eA)b6(p+eA)2g一(p+eA)2+丄6(p+eA)x(p+eA)2g2p_1e軍(P+eA)2+詰B(tài)自旋一軌道耦合項由Dirac方程可以證明，當電子在中心力場中運動，哈密頓量(在非相對論極限下)中將出現(xiàn)自旋一軌道耦合項(Thomas項)(核提供的庫侖屏敝場和自旋的作用導致)g(r)

13、S-L，g(r)=11dV(r)2m2c2rdre等(aB)2g電子置于電磁場中的哈密頓量HH=丄(P+eA)2聞+V(r)+g(r)SL+2g處于中心場中的電子，并置于電磁場中的薛定諤方程為3屮1eh邊=(P+eA)2屮一e甲屮+V(r)屮+g(r)S0+(aB)屮2卩-2g_應該注意，在(r,S丿表象中，這時屮是兩分量的，即屮12_Z屮I半-12丿ihQf屮Jat3-12丿rHuH2112屮12H22人W-12丿1，2，3項是對角矩陣)7.3堿金屬的雙線結構引進電子自旋后，我們就能夠利用量子力學理論來解釋原子光譜中的復雜結構及在外電磁場中的現(xiàn)象。(1)總角動量A.總角動量引入：當考慮電子具

14、有自旋后，電子在中心力場中的Hamiltonian為+V(r)+g(r)L-S12H=P22p_g(r)=11dV(r)2m2c2rdr由于自旋一軌道耦合項，L和都不是運動常數(shù)例：L,L-S=sL,L+sL,LzxzxyzAAAA=ihSLihSLxyyx八八八八八八八卜八IS,L-S=LS,S+LS,Szxzxyzy=ihLSihLSxyyx因此，(H,L2,L,S)不能構成力學量完全集。zz(S,L與HH不對易)ZZ但S+L,L-S=0ZZ一即L+S,L-S=0八八八引入J=L+S八八八、/X/X/XJ，L-S=0T當然J2，L-S=0而J丄2=0TJ2丄2=0八八CJ,J2=0由于有心勢

15、U八八、八八CH,J=0=H,J2=0可證：J.,J.=i方.kJkijijkk由上述可見，當計及自旋一軌道耦合后，L,S不再是運動常數(shù)，代之ZZAc/XJ2,J是運動常數(shù)（在中心場下）_Z所以，可選（H,L2,j2,jz）為力學的完全集（如無LS項，可選/X/X/X/X（H,L2,L,S）zzB.（L2,J2,Jz）的共同本征矢的表示（在0,9,Sz表象中）e（e,卩Sz）=（力、機0,機0，卩2）k2丿（0,申）婦0,申）丿(Jz)(Lz)八它是Jz的本征函數(shù)%b2%(mj_12)力、(mj+1/2)帥2丿這表明L6=(m.-12)h6=mh“/1j11取m.=m+1/2Lz62=(m.+

16、12)知2=(m+1)知2j它們是L2的本征函數(shù)=1(1+1刃因此33,9,Sz)=(aY1)1mIbY1m+1丿3.由J2（e（e,9，SZ）二九方2（b,pSz）/八c八c八八八八八八而(J2)=(L+S)-=L2+S2+2SL+2SL+2SLzzyyxxL2+-力2+力L-4力(L+iL)Ixy在0,9，Sz表象中矩陣表示,力(L-iL)xy,L2+3h2-力L-4z丿于是有(31(1+1)+丁+m,4寸(1-m)(1+m+1),|l(1+m+1)(1m1+1)(a(a=九1(1+1)+3-m-14丿要求a，b不同時為0，則其系數(shù)行列式為,1(1+1)+m一九，m-1-1(-Jl-mYl

17、mm-1由此可見，J取確定值m力，而S,L不具有確定值，它們取值為zzh2mh-1h2(m+1)h可見，由自旋為態(tài)和軌道角動量為1的態(tài)可以耦合為總角動量為（1+丄）和2(1-丄)的態(tài)2顯然，態(tài)的數(shù)目是一樣多的2(21+1)=41+2(2(1+2)+1)+(2(1-2)+1)=41+2事實上，上述就是L2，S2，J2，Jz基矢以L2，S2，Lz，Sz基矢展開，即1+m+11，S，j，mrC：i1，mS，2+f旦|l,m+21+111s，-2卜m|l，m）S，11：ml|1，m+221+110s，-2即從（L2,S2,j2,jz）表象-B表象（L2,Lz，S2，Sz）表象A表象a,b就是平常稱的幺

18、正變換系數(shù)（S+）ABIBuY|A；(S+)ABA入11SBAN21，j，mj1，m1，2，m人們習慣稱:j1，m1，j2，m2,m1；j2，m2|j1；j2,j,m為clebsch-Gordancoefficients(它們形成(2j1+1)(2j2+1)維的幺正矩陣)。自旋和軌道角動量的耦合是兩角動量耦合的特例。于是在中心勢中，考慮了電子的自旋，則其特解=R6n1jmjjn1j1jmjjL2屮n1jmjj=1(1+1)力2屮vn1jmjJ2jn1jmjj=j(j+助2咒1jmjAJ=m.方屮vzn1jmjjn1jmjjHH匕.=E乂.n1jmjjn1jn1jmjj例：電四極矩電四極矩算符Q

19、ij=qQij=q(3xixj-氓)在原子物理和原子核物理中，測量的電四極矩給出的值的定義為Q=!,n,1,j,mjQzzn,1,j,m；j，m.=jj對于一個電荷均勻分布的帶電體，其大小，符號，反映了體系的形狀)先看Qlm=；n丄mQzzln,l,m；=q：n,lf2|n,l；G.l,m|cos20|l,m-1)由cos0|1,m)=a1m|1+l,m+a11m|1一l,m)=|(1+1)2m2咕=(21+1)(21+3)Q1m=qr23(a12m+a12-1m)-1221(1+1)-6m2=qr2(2l-1)(21+3)而(r,Szn,1,j,m；P=Rn1j1jm.=Rn1j(aY1m+

20、bY1m+P注意到Qzz與自旋無關，而a,p是正交的n,1,j,m;jm=jj=qr2|ap1,m|(Qzz|1,m+|b|2f1,m+1|Qzz|1,m+1)q02l(l+1)-6m2+b22l(l+1)-6(m+1)2(2l-1)(21+3)(2l-1)(21+3)零42(j+1)注意州=j/.j=1+1/2m=1而m.=m+1/2j=1一12m=1一1vj丿1由此可見，j=1時，Q=0。這是由于Q算符是角動量為2的算符。當2zz它作用于|j,mj后，態(tài)將從j，mJT|lj-2|，mJj+2,mj1當j=2，則Qzz將2,jl，mj；所以與2，mJ正交。因此，這時在帶電體外，顯示“電荷”是

21、球形分布。2)堿金屬的雙線結構堿金屬原子有一個價電子，它受到來自原子核和其他電子提供的屏蔽庫侖場V(r)的作用。-價電子的哈密頓量為入P2入入H=+V(r)+g(r)L-S11dV(r)2卩2c2rdrH屮=E屮如選力學量完全集(H,L2,J2,Jz)(運動常數(shù)的完全集)則屮n1jm=Rn1j(叫m(0，jj1由于(S丄)怙廣2(J2-L2-S2)恤13=尹+1)-1(1+1)-卩-力2林21jmj1+1t2In2.21jmj11j=1+2j12H柿m=En17n1jm可表為jj巴1竺(rRJ+心2r2prdr2n1j2屮2nlj+V(r)Rnlj=En1jRn1j11j=1+2i12-n2g

22、(r)R1j+2MJ凹n2g(r)R1j2n1j因V(r)為吸引勢F=-VV(r)所以V(r)0。V(r)隨r匸而一單調上升)于是詈0g(r)0因此，V(r)+丄力2g(r)V(r)1+122根據(jù)Hellmann-Feynman定理可證如1=1,力運(r)Enlj=l+12Enlj=112則Ej=32E13)j=J2,2j=12丿原來能級Em7E：1+：這即觀測到納光譜的雙線結構17.4兩自旋為2的粒子的自旋波函數(shù)。1A.(s1z,s2z)表象中兩自旋為2的粒子的自旋波函數(shù)設：兩粒子的自旋分別為S1S，顯然，如選(S1z,s2z)表象則可能的態(tài)為a(1)a(2),a(1)P(2),卩(1)a(

23、2),卩(1)卩(2)21B.(S2,sz)表象中兩自旋為2的粒子的自旋波函數(shù)如令S=S1+S2則Sj,Sj=is承nsk滿足角動量的對易關系AQA并有S2,Sz=0八C八可選表象（S2,S）_Z八八八八C八C由S2=(峯+芻)2=S2+S2+2S1-芻3=2力2+2S1-S2八AvJ八八八八八八S4=-力4+4(S-ys-%)+6力2S-芻丿S4可化為根據(jù)9-A)(g-B)=A-B+ig-(AxB)(a,b與g對易)、則有(5-)(乞-空)二g2+ii-(gx空)=32g1-g（推論：無論多少（當皂）幕次，都能化為A+B（當玉），A+BS2)31(S1-S2)魚-SP=正力4-2力2S1魚9

24、3-S4=力4+力42力2S-Sc+6力2S-Sc441212=3方4+S-S方2=2S2方2令x是S2的本征態(tài)則S2x=九力2x(S)4咒=九2力4x=2九力4x(九2)九x=0咒工0九=2=1-(1+1)，九=0=0-(1+0)于是有S2Xim=1-(1+助2Xim=22XimsssS妝00=0Szx1m=ms%msm=1,0,1sSzx00=0這時有x11x004個態(tài)a(1)a(2)卩(1)卩而Sza(1)卩(2)=0Sz卩(l)a(2)=03右21由S2二才+2生，芻(對于S,s2=2)11P12(1+a-CT)=S2-12-1力2因此P12Xsms=S(S+1)-1xsmP12X1m

25、=X1msp12是交換算符因此x10=ja(l)0(2)+p(1)a(2)X00=吉a(l)|3(2)-卩a(2)我們稱X1m為自旋三重態(tài)（對稱的）1ms咒00為自旋單態(tài)（反對稱的）當兩自旋為2的全同粒子其相互作用對空間坐標和自旋變量是變量可分離時，則特解為屮沁，沁）=uOrA%）但是，這并不是體系可處的狀態(tài)。微觀世界還有一重要規(guī)律使體系波函數(shù)不可任意選擇，這就是微觀粒子的全同性問題。o，可選Ab）的Bell基若A=CT1z2z，B=CT1xCT2x。因共同本征態(tài)作為兩自旋為2粒子的自旋波函數(shù)XAiBj=X=+a(1)a(2)+P(1)P(2)v2XAiBj=X+_=12a(1)a(2)_P(

26、1)P(2)XAiBj=X_+=12a(1)P(2)+p(1)a(2)XAiBjij=X_=1=a(1)B(2)_P(1)a(2)7.5全同粒子交換不變性波函數(shù)具有確定的置換對稱性各種微觀粒子有一定屬性，具有一定質量、電荷、自旋，人們根據(jù)它的屬性的不同分別稱為電子，質子，介子，A+，+等等。實驗證明，每一種粒子，都是完全相同的（如兩個氫原子中的質子或電子都一樣）經(jīng)典物理中，我們習慣稱這是電子1，那是電子2，它們在外力作用下，按自己的軌道運動，我們在任何時刻都能跟蹤它，我們不會誤認電子1為電子2。即按軌道來區(qū)分同一類粒子。但從量子力學的觀點來看，情況就發(fā)生變化。它的描述不能用軌道概念，而只能用波

27、函數(shù)。根據(jù)波函數(shù)來描述出現(xiàn)在ri-ri+dr的體積之中幾率大小；或根據(jù)一些力學量完全集來描述粒子所處狀態(tài)。即片個粒子處于昭態(tài)；n2個粒子處于92態(tài)，或這些態(tài)的疊加態(tài)上。但它不可能告訴你，那一個粒子處于9態(tài)，那一個粒子處于92態(tài)。如9&(r1)9e(r2)129（劌4）12是可能的二種態(tài)，對它進行測量是分不清兩者的差別。它們每一個都不能用于對二個全同粒子的描述。全同粒子交換是不可觀測的。（1）交換不變性設：氦原子的兩個質子固定不動，那么描述氦原子中的兩個電子組成的體系，其哈密頓量為e2仏ok-rP2P2_竺_2e22m*2mrir2若P12為粒子交換算符，將1T2，2T1則P12，H=0p12H

28、i（r1,rz,t）v（r1，r2，t）二出仝,仝。屮（仝込,t）A=h（r2，r1,t）p12v（rL，r2，t）由于屮（仝仝江）任意，所以P12H（山）=H（仝，仝叫2若h是交換不變，即h（r2，r1,t）=h（r1，r2,t）則P2，HH（ri，r2，t）=0:p12是運動常數(shù)（若hh（r1，r2）是交換不變）或如此看，由于體系具有交換不變性，所以t0經(jīng)交換后演化到t應等于演化到t再進行交換，即P12屮（gt）=U（t-t）Pi2屮（心0）=P12U（t-t0）屮（仝吵0）由于屮的任意性，所以P12U（t）=U（t）P12U（t）=e-iH（r，p）t/由于t任意p12,HH=0即H（仝

29、昭邑）=H（仝邑，仝則P12是運動常數(shù)若（r1，r2，t）是p12的本征態(tài)，貝yPn匕（仝仝，t）=九2匕（仝仝,t）=屮九（仝仝,t）九2=1，九二1因此，有兩種態(tài)，一種是交換下不變，貝為對稱態(tài)；另一種是交換下改號，貝為反對稱態(tài)。p129s（r1，r2,t）=9s（r2，r1，t）=0（r1，r2，t）p129a（r1，r2,t）=9A（仝，仝t）=-9A（r1，r2，t）顯然9s（r1，r2）=c（i+卩12）9（59A（r1，r2）二c（i-p12）9（rL，r2）由于它是運動常數(shù)，因此，一開始，體系處于置換對稱態(tài)時，那以后任何時候都處于這態(tài)下與其他運動常數(shù)有本質不同之處是：體系要么處于

30、對稱態(tài)，要么處于反對稱態(tài)。這是粒子本身所固有的特性。而不是人們能夠人為地給一個初條件，讓體系處于一個沒有確定的置換對稱性的狀態(tài)下。所以，下面一些結論是重要的：由于Pij是一運動常數(shù)，因此一開始體系處于某種交換對稱態(tài)下，則以后任何時刻都處于這態(tài)下；與其他運動常數(shù)有本質不同之處在于，體系要么處對稱態(tài)，要么處于反對稱態(tài)。這是粒子固有的屬性，而不是人為地給初條件所致；實驗表明：具有自旋為半整數(shù)的粒子體系，當兩粒子交換，波函數(shù)反號，即處于反對稱態(tài)；而自旋為整數(shù)的粒子，兩者交換，波函數(shù)不變，即處于對稱態(tài)。在統(tǒng)計物理學中，具有自旋為方的半整數(shù)的粒子作為單元構成的體系，遵守Fermi-Dirac統(tǒng)計（稱為Fe

31、rmion）。具有自旋為方的整數(shù)倍的粒子作為單元構成的體系，遵守Bose-Einstain統(tǒng)計（稱為Boson）.（2）全同粒子的波函數(shù)結構，泡利原理：忽略粒子間的相互作用，則N個全同粒子的哈氏量為單粒子哈氏量之和HH（rL,r2屈）=方（匚屈）+（r2,p2）+顯然，對任何一粒子，其哈氏量的形式完全相同單粒子的能量本征方程為h(f,p)9e(r)=ek咒(r)kk-HHC,Pi，L)UE(&，&二EUE(仝&)HH(1,2,)=Zh(r.,p.)i它的一個特解為ue(1,2,N)=9e(r1)9&(仝)9e12NE=e1H但它不能作為體系的態(tài)函數(shù)，因體系真正的態(tài)函數(shù)必須滿足一定的交換對稱性。

32、N個費米子的波函數(shù)，泡利原理由于費米子的波函數(shù)交換一對費米子是反對稱的，因此，它可以如此來構成：取咒（土）咒（仝）申&（云）作為標準排列。12N咒（ra觀（ra）S（ra）是經(jīng)過某一置換112a1a2來實現(xiàn)由于對換（transposition）對粒子，波函數(shù)改號。而對某一置換（Permutation）它相應的對換數(shù)的奇偶性是一定的。因此，置換后的這一項的符號與標準排列項的符號差別取決于該置換的對換數(shù)的奇偶性。12345678、23451768丿(12345)67)T（15）（4）（3）（2）67）所以有5個對換，其符號為負號。（123、/、對3個粒子：某一置換（12），即有一個對換，所以為負1

33、213丿號。當然可經(jīng)三個對換（L2）（3）（3）設一個置換Pg對應的對換數(shù)為8，則真正的波函數(shù)應為論AK-1）Pg竹（r1）H對所有1N置換求和這即行列式定義e1=A2(rP1(G2-e182()E(rP()NNN例如：對N=29（r）（r）=Ae1（）e1（）=A%（2）%（5）-%（r2）F（）9e（r1）9e（r2）e1e2e2422可以看出，任意兩個粒子交換（即兩列交換）屮改號；若與態(tài)是完全12相同的態(tài)，那屮二0（即兩行交換）。這表明，對兩個全同的費米子不能處于這種態(tài)中。于是我們有下面的原理：泡利原理（pauliexclusionprinciple）：在客觀實際的體系中，沒有兩個或多個

34、全同費米子可處于一個完全相同的單態(tài)中（或：全同費米子體系的態(tài)中，具有同樣量子數(shù)的單態(tài)不大于1）對于N個粒子，有N!項（有N!個置換），而每一項中，費米子處于這N個單態(tài)上的分布是不同的，因此各項之間是正交的。f|2dr1d&=A2N!所以，對于N個無相互作用的全同費米子體系的歸一化反對稱波函數(shù)為屮A&12BN個全同玻色子的波函數(shù)由于玻色子波函數(shù)相對兩全同玻色子對換是對稱的，即不變號：:咒（圧）=A2P咒（卯咒（）1】2N所有置換】2N由于玻色子不受泡利原理限制，因此處于同一單態(tài)上的玻色子可以是任意多個。所以，如果2，N態(tài)中具有相同的有ni個；具有相同單態(tài)2有n2個；具有N單態(tài)中的玻色子有nN個。

35、ni+n2+nN=Nni1+n22+nNN=E于是上述置換雖具有N!項，但有些項是相同的。如ni個代態(tài)的粒子進行置換，所得項是相同的，而這相同項有1ni!，同理n2個咒態(tài)的粒子置換，所得項相同，而這有n2!項2N!所以，N個玻色子的某一種排列有珀中？!】個相同項。所以，不同單態(tài)交換的排列的數(shù)應為,N!片!nN訓2曲=A2(ni!n2!nN!)2n!nn12N邨12N仏TNnx-所總見叭）:N!njn2!nN!(ni!n2!n!）Y僅對處于不同單態(tài)間粒子置換PS咒咒鼻)iN.n!n!nN!工不同單態(tài)間-r粒子置換例如：N二3有二個在1態(tài)，一個在2態(tài)。所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。所謂的光輝歲月，并不是以后，閃耀的日子，而是無人問津時，你對夢想的偏執(zhí)。同是寒窗苦讀，怎愿甘拜下風！ 1同是寒窗苦讀，怎愿甘拜下風！ N!3!3有個不同分布n1!n2!%2!1!0!鯊=罟YP機（嘰（央（叨3!不同態(tài)112間置換T訥5EM代（卯（劌（D+%（嘰（邑di112112112另一種寫法：N!二3有6項7麗叫匕叫匕2+乜匕勒）上）+咒Eg（腳+代（帆EV）112112+%（3%（叭+代（腳（嘰（叨112112123、123、/123、123、123、123、J23丿213丿3