高三數(shù)學復習立體幾何平行與垂直證明2

1、高三數(shù)學復習：立體幾何的平行與垂直證明高三數(shù)學復習：立體幾何的平行與垂直證明46/46高三數(shù)學復習：立體幾何的平行與垂直證明高三數(shù)學復習立體幾何中的平行與垂直的證明一、平面的基天性質公義1：公義2：推論1：推論2：推論3：公義3：二、空間中直線與直線的地點關系平行：訂交：異面：三、平行問題1直線與平面平行的判斷與性質定義判判定理性質性質定理圖形條件a結論abaab面面平行的判斷與性質判斷性質定義定理圖形條件，a?結論aba平行問題的轉變關系：四、垂直問題（一）、直線與平面垂直1直線和平面垂直的定義：直線l與平面內的都垂直，就說直線l與平面相互垂直2直線與平面垂直的判判定理及推論文字語言圖形語言

2、符號語言一條直線與一個平面內的兩條訂交直線都判判定理垂直，則該直線與此平面垂直假如在兩條平行直線中，有一條垂直于平推論面，那么另一條直線也垂直這個平面3直線與平面垂直的性質定理文字語言圖形語言符號語言垂直于同一個平面的性質定理兩條直線平行直線和平面垂直的常用性質直線垂直于平面，則垂直于平面內隨意直線垂直于同一個平面的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩平面平行（二）、平面與平面垂直1平面與平面垂直的判判定理文字語言圖形語言符號語言一個平面過另一個平判判定理面的垂線，則這兩個平面垂直2平面與平面垂直的性質定理文字語言圖形語言符號語言兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的性質定理直線垂直于另一個平面種

3、類一、平行與垂直例1、如圖，已知三棱錐ABPC中，APPC,ACBC,M為AB中點，D為PB中點，且PMB為正三角形。（）求證：DM平面APC；A（）求證：平面ABC平面APC；M（）若BC4，AB20，求三棱錐DBCM的體積。PCDB例2.如圖，已知三棱柱ABCABC中，AA1底面ABC，ACBC2，AA14，111AB22，M，N分別是棱CC1，AB中點.C1（）求證：CN平面ABB1A1；（）求證：CN/平面AMB1；A1B1MC（）求三棱錐BAMN的體積1ABN【變式1】.如圖，三棱柱ABC中，側棱AA1平面ABC，ABC為等腰A1BC11直角三角形，BAC90，且ABAA1，D,E,

4、F分別是B1A,CC1,BC的中點。（1）求證：DE/平面ABC；C1B1（2）求證：B1F平面AEF；（3）設ABa，求三棱錐DAEF的體積。A1EDFBCA二、線面平行與垂直的性質例3、如圖4，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD2AD4，AB2DC25（1）求證：BD平面PAD；（2）求三棱錐APCD的體積例4、如圖，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD為正方形，BC=PD=2，E1為PC的中點，.CGCB3（I）求證：PCBC；（II）求三棱錐CDEG的體積；（III）AD邊上能否存在一點M，使得PA/平面MEG。若存在，求

5、AM的長；不然，說明原由?！咀兪?】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.()求證：AC平面BB1C1C；()A1B1上能否存一點P，使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行？證明你的結論.三、三視圖與折疊問題2例5、如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖、側視圖、俯視圖。4若F為PD的中點，求證：AF面PCD；2（1）證明：BD面PEC；（2）求三棱錐EPBC的體積。44正視圖側視圖44俯視圖PEABCD例6.已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB3,DC1,BAD45,DEAB（如圖1）?，F(xiàn)將ADE沿DE折起，使得AEEB（如圖2），連結AC,

6、AB。（I）求證：平面ADE平面ACD；（II）試在棱AB上確立一點M，使截面EMC把幾何體分紅兩部分的體積比VADCME:VMECB2:1；（III）在點M滿足（II）的狀況下，判斷直線AD能否平行于平面EMC，并說明原由。AMAEBEBDC圖1DC圖2【變式3】一個四棱錐的直觀圖和三視圖以以下圖所示，E為PD中點.（I）求證：PB/平面AEC；（II）求四棱錐CPAB的體積；PF（）若F為側棱PA上一點，且，則為什么值時，F(xiàn)APA平面BDF.PEDCAB【變式4】如圖1所示，正ABC的邊長為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點?，F(xiàn)將ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面

7、BCD（如圖2）（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的地點關系，并說明原由；（2）求三棱錐C-DEF的體積。AAEECDDCFFBB圖（2）圖（1）四、立體幾何中的最值問題例7.圖4，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A，B的隨意一點，A1A=AB=2.(1)求證:BC平面A1AC；(2)求三棱錐A1-ABC的體積的最大值.A1ABC圖4例8.如圖，在ABC中，B=，ABBC2,P為AB邊上一動點，PD/BC交AC2于點D,現(xiàn)將PDA沿PD翻折至PDA使平面平面PBCD,PDA.,PDA.（1）當棱錐APBCD的體積最大時，求PA的長；（2）若點P為AB的中點，E

8、為.AC的中點，求證：ABDE【變式5】如圖3，已知在ABC中，C90，PA平面ABC，AEPB于E，AFPC于F，APAB2，AEF，當變化時，求三棱錐PAEF體積的最大值。高三文科數(shù)學專題復習:立體幾何平行、垂直問題（答案）【典例研究】A例1解：（）M為AB中點,D為PB中點,MDAP，又MD平面APCMDM平面APCPCD（）PMB為正三角形,且D為PB中點，MDPBB又由（1）知MDAP,APPB又已知APPCAP平面PBC，APBC，又ACBCBC平面APC,平面ABC平面PAC,（）AB20，MB10,PB10又BC4，PC1001684221111SSPC?BCBDCPBC244

9、422122111又MDAP222220105311VVS?DMDBCMMBCDBDC3322153107例2.（）證明：因為三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC又因為CN平面ABC，所以AACN.1分1因為ACBC2，N是AB中點，所以CNAB.2分C1因為AA1IABA，3分所以CN平面ABBA4分11A1B1M（）證明：取AB的中點G，連結MG，NG，1CGABN因為N，G分別是棱AB，AB中點，11NGBB，NGBB1./所以121又因為CM/BB，CMBB，112所以CM/NG，CMNG.所以四邊形CNGM是平行四邊形.6分所以CN/MG.7分因為CN平面AMB1，GM平面A

10、MB1，8分所以CN/平面AMB19分（）由（）知GM平面ABN.10分1所以1124VV42.13分B1AMNMAB1N3223變式1.（1）依據(jù)中點找尋平行線即可；（2）易證AFBF，在依據(jù)勾股定理的逆定理證1明BFEF；（3）因為點D是線段AB1的中點，故點D到平面AEF的距離是點B1到平11面AEF距離的，求出高依據(jù)三棱錐的體積公式計算即可。2【分析】（1）取AB中點O，連結CO,DO1DO/AA1,DOAA1,DO/CE,DOCE,平行四邊形DOCE，2DE/CO,DE平面ABC，CO平面ABC，DE/平面ABC。（4分）（2）等腰直角三角形ABC中F為斜邊的中點，AFBC又直三棱柱

11、ABCA1BC，面ABC面BB1C1C，11AF面C1B，AFB1F設633222ABAA11,BF,EF,BE,BFEFBE,B1F1111222又AFEFF,B1F面AEF。（8分）EF（3）因為點D是線段AB的中點，故點D到平面AEF的距離是點B1到平面AEF距離的1122262BFaaa，所以三棱錐DAEF的高為。12264a；在RtAEF中，32EFa,AFa，所以三棱錐DAEF的底面面積為22682a，故三棱錐DAEF的體積為166123aaa。（12分）38416二、線面平行與垂直的性質例3.（1）證明：在ABD中，因為AD2，BD4，AB25，222ADBDAB.2分ADBD又

12、平面PAD平面ABCD，平面PADI平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.4分（2）解：過P作POAD交AD于O.又平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD6分PAD是邊長為2的等邊三角形，PO3.P由（1）知，ADBD，在RtABD中，斜邊AB邊上的高為hADBD45AB.8分5DC1145SCDh52ACD225.AOABDC，B10分1123VVSPO23APCDPACDACD333.14分例4、（I）證明：PD平面ABCD，PDBC又ABCD是正方形，BCCD，PDICE=D，BC平面PCD又PC面PBC，PCBC（II）解：BC平面PCD，GC是三棱錐GDEC的高。11

13、11E是PC的中點，SEDCSS(22)1EDCPDC22221VCVGCSDEGGDEC3DEC1323129（III）連結AC，取AC中點O，連結EO、GO，延伸GO交AD于點M，則PA/平面MEG。下邊證明之E為PC的中點，O是AC的中點，EO/平面PA，又EO平面MEG,PA平面MEG，PA/平面MEG在正方形ABCD中，O是AC中點，OCGOAM22AMCG,所求AM的長為.33變式2.證明：()直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BAD=ADC=90，AB=2AD=2CD=2，AC=2，CAB=45，BC=2，BCAC.又BB1BC=B，BB1，B

14、C平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.()存在點P，P為A1B1的中點。證明：由P為A1B1的中點，有PB1AB，且PB1=12AB.又DCAB，DC=12AB，DCPB1，且DC=PB1，DCB1P為平行四邊形，從而CB1DP.又CB1ACB1,DP面ACB1，DP面ACB1.同理，DP面BCB1.2例5、4P244E正視圖側視圖AB44CD俯視圖（1）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形，PA面ABCD，PAEB，PA2EB4.QPAAD,F為PD中點，PDAF.又QCDDA,CDPA,CDAF,AF面PCD。（2）取PC的中點M，AC與BD的交點為N，1MNPA,MN

15、PA，2MNEB,MNEB，故BEMN為平行四邊形，EMBN，BD面PEC。（3）1116VVg(gBEgAB)gBCEPBCCPBE323例6.答案略變式3.解：（）由三視圖得，四棱錐底面ABCD為菱形,棱錐的高為3,設ACBDO,則PO即是棱錐的高,底面邊長是2，連結OE，QE,O分別是DP,DB的中點，OEBP，QOE面AEC,BP面AECPB面AEC（2）1111V三棱錐C-PABV三棱錐P-ABCV四棱錐P-ABCD(223)332232（3）過O作3OFPA,在RtVPOA中,PO3,AO3,PA23AF10分2Q時即=3時PF:FA3,OFPA,POBDACBDPOACOBDPA

16、C,面12分BDPA,由OFPA且BDOFOPA面BDF14分變式4.解：（1）判斷：AB/平面DEF.2分證明：A因在ABC中，E，F(xiàn)分別是AAC，BC的中點，有EEF/AB.5分E又因CAB平面DEF，DDCEF平面DEF.6分M所以AB/平面DEF.7分（2）過點E作EMDC于點M，面ACD面BCD，面ACDI面BF圖（1）BF圖（2）BCDCD，而EM面ACD故EM平面BCD于是EM是三棱錐E-CDF的高.9分又CDF的面積為11113222SSCDBD(2a)aaaCDFBCD22244EM11ADa11分22故三棱錐C-DEF的體積為1131323VVSEMaaa14分CDEFEC

17、DFCDF334224四、立體幾何中的最值問題例7.證明:C是底面圓周上異于A，B的隨意一點，AB是圓柱底面圓的直徑，BCAC,2分AA1平面ABC，BC平面ABC，A1AA1BC，4分AA1AC=A，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，BC平面AA1C.6分(2)解法1：設AC=x，在RtABC中，AB222BC=ABAC4x(0 x2),7分C圖4故11112V=SAAACBCAAx4xA-ABCABC11V(0 x2),133239分即11122222V=x4xx(4x)(x2)4A-ABC1333.11分0 x2，0 x24，當x2=2，即x=2時，三棱錐A1-ABC的體積的最大值為

18、23.14分解法2:在RtABC中，AC2+BC2=AB2=4，7分111V=SAAACBCAAA-ABCABC11V9分133222211ACBC1AB2ACBC332323.11分當且僅當AC=BC時等號建立，此時AC=BC=2.211x例8.解：（1）設PAx，則(2)VA-PBCDPAS底面PDCBx33x令f(x)13x(22x2)2x33x6,(x0)則f(x)232x223x)(0,3223,)3(33f0(x)單一遞加極大值單一遞減f(x)由上表易知：當23PAx時，有VA-PBCD取最大值。3證明：（2）作AB得中點F，連結EF、FP1由已知得：EF/BC/PDED/FP2A

19、PB為等腰直角三角形，ABPF所以ABDE.變式6.解：因為PA平面ABCBC平面ABC，所以PABC又因為BCAC,PAACA，所以BC平面PAC，又AF平面PAC，所以BCAF，又AFPC,PCBCC，所以AF平面PBC，即AFEF。EF是AE在平面PBC上的射影，因為AEPB，所以EFPB，即PE平面AEF。在三棱錐PAEF中，APABA2,EPB，所以PE2,AE2，AF2sin,EF2cos，1VPAEFSAEFPE313122sin2cos226sin2因為0，2所以02，0sin21所以，當4時，V獲得最大值為PAEF26。課后練習：1、（廣東卷8）設l為直線，,是兩個不一樣的平

20、面，以下命題中正確的選項是()A若l/，l/，則/B若l，l，則/C若l，l/，則/D若，l/，則l2、（湖南卷7）已知正方體的棱長為1，其俯視圖是一個面積為1的正方形，側視圖是一個面積為2的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于()A32B.1C212D.23、（遼寧卷10）已知三棱柱ABCA1B1C1的6個極點都在球O的球面上若.AB3，AC4，ABAC,AA112，則球O的半徑為A3172B210C132D3104、（浙江卷4）設m、n是兩條不一樣的直線，、是兩個不一樣的平面，（）A、若m，n,則mnB、若m，m,則C、若mn，m,則nD、若m，,則m5、（重慶卷8）某幾何體的三視圖如題（8）所示，則該幾何體的表面積為（）（A）180（B）200（C）220（D）2406、（安徽18）如圖，四棱錐PABCD的底面AB