高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)立體幾何平行與垂直證明2

1、高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：立體幾何的平行與垂直證明高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：立體幾何的平行與垂直證明46/46高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：立體幾何的平行與垂直證明高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)立體幾何中的平行與垂直的證明一、平面的基天性質(zhì)公義1：公義2：推論1：推論2：推論3：公義3：二、空間中直線與直線的地點(diǎn)關(guān)系平行：訂交：異面：三、平行問(wèn)題1直線與平面平行的判斷與性質(zhì)定義判判定理性質(zhì)性質(zhì)定理圖形條件a結(jié)論abaab面面平行的判斷與性質(zhì)判斷性質(zhì)定義定理圖形條件，a?結(jié)論aba平行問(wèn)題的轉(zhuǎn)變關(guān)系：四、垂直問(wèn)題（一）、直線與平面垂直1直線和平面垂直的定義：直線l與平面內(nèi)的都垂直，就說(shuō)直線l與平面相互垂直2直線與平面垂直的判判定理及推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言

2、符號(hào)語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條訂交直線都判判定理垂直，則該直線與此平面垂直假如在兩條平行直線中，有一條垂直于平推論面，那么另一條直線也垂直這個(gè)平面3直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言垂直于同一個(gè)平面的性質(zhì)定理兩條直線平行直線和平面垂直的常用性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)隨意直線垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行垂直于同一條直線的兩平面平行（二）、平面與平面垂直1平面與平面垂直的判判定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平判判定理面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直2平面與平面垂直的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的性質(zhì)定理直線垂直于另一個(gè)平面種

3、類一、平行與垂直例1、如圖，已知三棱錐ABPC中，APPC,ACBC,M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且PMB為正三角形。（）求證：DM平面APC；A（）求證：平面ABC平面APC；M（）若BC4，AB20，求三棱錐DBCM的體積。PCDB例2.如圖，已知三棱柱ABCABC中，AA1底面ABC，ACBC2，AA14，111AB22，M，N分別是棱CC1，AB中點(diǎn).C1（）求證：CN平面ABB1A1；（）求證：CN/平面AMB1；A1B1MC（）求三棱錐BAMN的體積1ABN【變式1】.如圖，三棱柱ABC中，側(cè)棱AA1平面ABC，ABC為等腰A1BC11直角三角形，BAC90，且ABAA1，D,E,

4、F分別是B1A,CC1,BC的中點(diǎn)。（1）求證：DE/平面ABC；C1B1（2）求證：B1F平面AEF；（3）設(shè)ABa，求三棱錐DAEF的體積。A1EDFBCA二、線面平行與垂直的性質(zhì)例3、如圖4，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三角形，已知BD2AD4，AB2DC25（1）求證：BD平面PAD；（2）求三棱錐APCD的體積例4、如圖，四棱錐PABCD中，PD平面ABCD，底面ABCD為正方形，BC=PD=2，E1為PC的中點(diǎn)，.CGCB3（I）求證：PCBC；（II）求三棱錐CDEG的體積；（III）AD邊上能否存在一點(diǎn)M，使得PA/平面MEG。若存在，求

5、AM的長(zhǎng)；不然，說(shuō)明原由?！咀兪?】直棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD是直角梯形，BADADC90，AB2AD2CD2.()求證：AC平面BB1C1C；()A1B1上能否存一點(diǎn)P，使得DP與平面BCB1與平面ACB1都平行？證明你的結(jié)論.三、三視圖與折疊問(wèn)題2例5、如圖是一幾何體的直觀圖、正視圖、側(cè)視圖、俯視圖。4若F為PD的中點(diǎn)，求證：AF面PCD；2（1）證明：BD面PEC；（2）求三棱錐EPBC的體積。44正視圖側(cè)視圖44俯視圖PEABCD例6.已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB3,DC1,BAD45,DEAB（如圖1）?，F(xiàn)將ADE沿DE折起，使得AEEB（如圖2），連結(jié)AC,

6、AB。（I）求證：平面ADE平面ACD；（II）試在棱AB上確立一點(diǎn)M，使截面EMC把幾何體分紅兩部分的體積比VADCME:VMECB2:1；（III）在點(diǎn)M滿足（II）的狀況下，判斷直線AD能否平行于平面EMC，并說(shuō)明原由。AMAEBEBDC圖1DC圖2【變式3】一個(gè)四棱錐的直觀圖和三視圖以以下圖所示，E為PD中點(diǎn).（I）求證：PB/平面AEC；（II）求四棱錐CPAB的體積；PF（）若F為側(cè)棱PA上一點(diǎn)，且，則為什么值時(shí)，F(xiàn)APA平面BDF.PEDCAB【變式4】如圖1所示，正ABC的邊長(zhǎng)為2a，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC，BC的中點(diǎn)。現(xiàn)將ABC沿CD翻折，使翻折后平面ACD平面

7、BCD（如圖2）（1）試判斷翻折后直線AB與平面DEF的地點(diǎn)關(guān)系，并說(shuō)明原由；（2）求三棱錐C-DEF的體積。AAEECDDCFFBB圖（2）圖（1）四、立體幾何中的最值問(wèn)題例7.圖4，A1A是圓柱的母線，AB是圓柱底面圓的直徑，C是底面圓周上異于A，B的隨意一點(diǎn)，A1A=AB=2.(1)求證:BC平面A1AC；(2)求三棱錐A1-ABC的體積的最大值.A1ABC圖4例8.如圖，在ABC中，B=，ABBC2,P為AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，PD/BC交AC2于點(diǎn)D,現(xiàn)將PDA沿PD翻折至PDA使平面平面PBCD,PDA.,PDA.（1）當(dāng)棱錐APBCD的體積最大時(shí)，求PA的長(zhǎng)；（2）若點(diǎn)P為AB的中點(diǎn)，E

8、為.AC的中點(diǎn)，求證：ABDE【變式5】如圖3，已知在ABC中，C90，PA平面ABC，AEPB于E，AFPC于F，APAB2，AEF，當(dāng)變化時(shí)，求三棱錐PAEF體積的最大值。高三文科數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí):立體幾何平行、垂直問(wèn)題（答案）【典例研究】A例1解：（）M為AB中點(diǎn),D為PB中點(diǎn),MDAP，又MD平面APCMDM平面APCPCD（）PMB為正三角形,且D為PB中點(diǎn)，MDPBB又由（1）知MDAP,APPB又已知APPCAP平面PBC，APBC，又ACBCBC平面APC,平面ABC平面PAC,（）AB20，MB10,PB10又BC4，PC1001684221111SSPC?BCBDCPBC244

9、422122111又MDAP222220105311VVS?DMDBCMMBCDBDC3322153107例2.（）證明：因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1中，AA1底面ABC又因?yàn)镃N平面ABC，所以AACN.1分1因?yàn)锳CBC2，N是AB中點(diǎn)，所以CNAB.2分C1因?yàn)锳A1IABA，3分所以CN平面ABBA4分11A1B1M（）證明：取AB的中點(diǎn)G，連結(jié)MG，NG，1CGABN因?yàn)镹，G分別是棱AB，AB中點(diǎn)，11NGBB，NGBB1./所以121又因?yàn)镃M/BB，CMBB，112所以CM/NG，CMNG.所以四邊形CNGM是平行四邊形.6分所以CN/MG.7分因?yàn)镃N平面AMB1，GM平面A

10、MB1，8分所以CN/平面AMB19分（）由（）知GM平面ABN.10分1所以1124VV42.13分B1AMNMAB1N3223變式1.（1）依據(jù)中點(diǎn)找尋平行線即可；（2）易證AFBF，在依據(jù)勾股定理的逆定理證1明BFEF；（3）因?yàn)辄c(diǎn)D是線段AB1的中點(diǎn)，故點(diǎn)D到平面AEF的距離是點(diǎn)B1到平11面AEF距離的，求出高依據(jù)三棱錐的體積公式計(jì)算即可。2【分析】（1）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)CO,DO1DO/AA1,DOAA1,DO/CE,DOCE,平行四邊形DOCE，2DE/CO,DE平面ABC，CO平面ABC，DE/平面ABC。（4分）（2）等腰直角三角形ABC中F為斜邊的中點(diǎn)，AFBC又直三棱柱

11、ABCA1BC，面ABC面BB1C1C，11AF面C1B，AFB1F設(shè)633222ABAA11,BF,EF,BE,BFEFBE,B1F1111222又AFEFF,B1F面AEF。（8分）EF（3）因?yàn)辄c(diǎn)D是線段AB的中點(diǎn)，故點(diǎn)D到平面AEF的距離是點(diǎn)B1到平面AEF距離的1122262BFaaa，所以三棱錐DAEF的高為。12264a；在RtAEF中，32EFa,AFa，所以三棱錐DAEF的底面面積為22682a，故三棱錐DAEF的體積為166123aaa。（12分）38416二、線面平行與垂直的性質(zhì)例3.（1）證明：在ABD中，因?yàn)锳D2，BD4，AB25，222ADBDAB.2分ADBD又

12、平面PAD平面ABCD，平面PADI平面ABCDAD，BD平面ABCD，BD平面PAD.4分（2）解：過(guò)P作POAD交AD于O.又平面PAD平面ABCD，PO平面ABCD6分PAD是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，PO3.P由（1）知，ADBD，在RtABD中，斜邊AB邊上的高為hADBD45AB.8分5DC1145SCDh52ACD225.AOABDC，B10分1123VVSPO23APCDPACDACD333.14分例4、（I）證明：PD平面ABCD，PDBC又ABCD是正方形，BCCD，PDICE=D，BC平面PCD又PC面PBC，PCBC（II）解：BC平面PCD，GC是三棱錐GDEC的高。11

13、11E是PC的中點(diǎn)，SEDCSS(22)1EDCPDC22221VCVGCSDEGGDEC3DEC1323129（III）連結(jié)AC，取AC中點(diǎn)O，連結(jié)EO、GO，延伸GO交AD于點(diǎn)M，則PA/平面MEG。下邊證明之E為PC的中點(diǎn)，O是AC的中點(diǎn)，EO/平面PA，又EO平面MEG,PA平面MEG，PA/平面MEG在正方形ABCD中，O是AC中點(diǎn)，OCGOAM22AMCG,所求AM的長(zhǎng)為.33變式2.證明：()直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，BB1平面ABCD，BB1AC.又BAD=ADC=90，AB=2AD=2CD=2，AC=2，CAB=45，BC=2，BCAC.又BB1BC=B，BB1，B

14、C平面BB1C1C，AC平面BB1C1C.()存在點(diǎn)P，P為A1B1的中點(diǎn)。證明：由P為A1B1的中點(diǎn)，有PB1AB，且PB1=12AB.又DCAB，DC=12AB，DCPB1，且DC=PB1，DCB1P為平行四邊形，從而CB1DP.又CB1ACB1,DP面ACB1，DP面ACB1.同理，DP面BCB1.2例5、4P244E正視圖側(cè)視圖AB44CD俯視圖（1）由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，PA面ABCD，PAEB，PA2EB4.QPAAD,F為PD中點(diǎn)，PDAF.又QCDDA,CDPA,CDAF,AF面PCD。（2）取PC的中點(diǎn)M，AC與BD的交點(diǎn)為N，1MNPA,MN

15、PA，2MNEB,MNEB，故BEMN為平行四邊形，EMBN，BD面PEC。（3）1116VVg(gBEgAB)gBCEPBCCPBE323例6.答案略變式3.解：（）由三視圖得，四棱錐底面ABCD為菱形,棱錐的高為3,設(shè)ACBDO,則PO即是棱錐的高,底面邊長(zhǎng)是2，連結(jié)OE，QE,O分別是DP,DB的中點(diǎn)，OEBP，QOE面AEC,BP面AECPB面AEC（2）1111V三棱錐C-PABV三棱錐P-ABCV四棱錐P-ABCD(223)332232（3）過(guò)O作3OFPA,在RtVPOA中,PO3,AO3,PA23AF10分2Q時(shí)即=3時(shí)PF:FA3,OFPA,POBDACBDPOACOBDPA

16、C,面12分BDPA,由OFPA且BDOFOPA面BDF14分變式4.解：（1）判斷：AB/平面DEF.2分證明：A因在ABC中，E，F(xiàn)分別是AAC，BC的中點(diǎn)，有EEF/AB.5分E又因CAB平面DEF，DDCEF平面DEF.6分M所以AB/平面DEF.7分（2）過(guò)點(diǎn)E作EMDC于點(diǎn)M，面ACD面BCD，面ACDI面BF圖（1）BF圖（2）BCDCD，而EM面ACD故EM平面BCD于是EM是三棱錐E-CDF的高.9分又CDF的面積為11113222SSCDBD(2a)aaaCDFBCD22244EM11ADa11分22故三棱錐C-DEF的體積為1131323VVSEMaaa14分CDEFEC

17、DFCDF334224四、立體幾何中的最值問(wèn)題例7.證明:C是底面圓周上異于A，B的隨意一點(diǎn)，AB是圓柱底面圓的直徑，BCAC,2分AA1平面ABC，BC平面ABC，A1AA1BC，4分AA1AC=A，AA1平面AA1C，AC平面AA1C，BC平面AA1C.6分(2)解法1：設(shè)AC=x，在RtABC中，AB222BC=ABAC4x(0 x2),7分C圖4故11112V=SAAACBCAAx4xA-ABCABC11V(0 x2),133239分即11122222V=x4xx(4x)(x2)4A-ABC1333.11分0 x2，0 x24，當(dāng)x2=2，即x=2時(shí)，三棱錐A1-ABC的體積的最大值為

18、23.14分解法2:在RtABC中，AC2+BC2=AB2=4，7分111V=SAAACBCAAA-ABCABC11V9分133222211ACBC1AB2ACBC332323.11分當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC時(shí)等號(hào)建立，此時(shí)AC=BC=2.211x例8.解：（1）設(shè)PAx，則(2)VA-PBCDPAS底面PDCBx33x令f(x)13x(22x2)2x33x6,(x0)則f(x)232x223x)(0,3223,)3(33f0(x)單一遞加極大值單一遞減f(x)由上表易知：當(dāng)23PAx時(shí)，有VA-PBCD取最大值。3證明：（2）作AB得中點(diǎn)F，連結(jié)EF、FP1由已知得：EF/BC/PDED/FP2A

19、PB為等腰直角三角形，ABPF所以ABDE.變式6.解：因?yàn)镻A平面ABCBC平面ABC，所以PABC又因?yàn)锽CAC,PAACA，所以BC平面PAC，又AF平面PAC，所以BCAF，又AFPC,PCBCC，所以AF平面PBC，即AFEF。EF是AE在平面PBC上的射影，因?yàn)锳EPB，所以EFPB，即PE平面AEF。在三棱錐PAEF中，APABA2,EPB，所以PE2,AE2，AF2sin,EF2cos，1VPAEFSAEFPE313122sin2cos226sin2因?yàn)?，2所以02，0sin21所以，當(dāng)4時(shí)，V獲得最大值為PAEF26。課后練習(xí)：1、（廣東卷8）設(shè)l為直線，,是兩個(gè)不一樣的平

20、面，以下命題中正確的選項(xiàng)是()A若l/，l/，則/B若l，l，則/C若l，l/，則/D若，l/，則l2、（湖南卷7）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為2的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于()A32B.1C212D.23、（遼寧卷10）已知三棱柱ABCA1B1C1的6個(gè)極點(diǎn)都在球O的球面上若.AB3，AC4，ABAC,AA112，則球O的半徑為A3172B210C132D3104、（浙江卷4）設(shè)m、n是兩條不一樣的直線，、是兩個(gè)不一樣的平面，（）A、若m，n,則mnB、若m，m,則C、若mn，m,則nD、若m，,則m5、（重慶卷8）某幾何體的三視圖如題（8）所示，則該幾何體的表面積為（）（A）180（B）200（C）220（D）2406、（安徽18）如圖，四棱錐PABCD的底面AB