新課標(biāo)2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)52定點(diǎn)定值探索性問題

1、PAGE PAGE 8課時(shí)質(zhì)量評(píng)價(jià)(五十二)A組全考點(diǎn)鞏固練1橢圓eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的離心率eq f(r(3),2)，則雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1的離心率為()A2 Beq r(3)Ceq r(2) Deq f(r(5),2)D解析：橢圓離心率e1eq f(c,a)eq f(r(3),2)，所以eeq oal(2,1)1eq f(b2,a2)eq f(3,4)，即eq f(b2,a2)eq f(1,4)，所以雙曲線的離心率eeq f(c,a)eq r(1f(b2,a2)eq f(r(5),2)故選D2已知AB是過拋物線y24x焦點(diǎn)

2、F的弦，O是原點(diǎn)，則eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()()A2 B4 C3 D3D解析：設(shè)Aeq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,1),4)，y1)，Beq blc(rc)(avs4alco1(f(yoal(2,2),4)，y2)，故eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()eq f(yoal(2,1)yoal(2,2),16)y1y2易知直線斜率不為0，設(shè)AB：xmy1聯(lián)立方程eq blcrc (avs4alco1(xmy1，,y24x，)得到y(tǒng)24my40，故y1y24，故eq o(OA,sup7()eq o(OB,sup7()eq

3、 f(yoal(2,1)yoal(2,2),16)y1y23故選D3直線l與拋物線C：y22x交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，且滿足k1k2eq f(2,3)，則直線l過定點(diǎn)()A(3,0) B(0，3)C(3,0) D(0,3)A解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)閗1k2eq f(2,3)，所以eq f(y1,x1)eq f(y2,x2)eq f(2,3)又yeq oal(2,1)2x1，yeq oal(2,2)2x2，所以y1y26將直線l：xmyb代入拋物線C：y22x得y22my2b0，所以y1y22b6，得b3，即直線l的方程為xm

4、y3，所以直線l過定點(diǎn)(3,0)4已知直線l過拋物線C：x26y的焦點(diǎn)F，交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)P，若eq o(AF,sup7()eq o(FP,sup7()，則|AB|()A8 B9 C11 D16A解析：過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為H(圖略)，則|AF|AH|又eq o(AF,sup7()eq o(FP,sup7()，所以|AH|eq f(1,2)|AP|，所以kAPeq f(r(3),3)又f eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(3,2)，所以AB的方程為yeq f(r(3),3)xeq f(3,2)由eq blcrc (avs4alco1(yf(r(3),3)xf(

5、3,2)，,x26y，)得y25yeq f(9,4)0，所以yAyB5，所以|AB|yAyBp538故選A5已知雙曲線C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的右頂點(diǎn)為P，任意一條平行于x軸的直線交C于A，B兩點(diǎn)，總有PAPB，則雙曲線C的離心率為()Aeq r(2) Beq r(3) Ceq f(r(6),2) Deq f(2r(3),3)A解析：設(shè)A(x0，y0)，B(x0，y0)，則yeq oal(2,0)b2eq blc(rc)(avs4alco1(f(xoal(2,0),a2)1)又P(a,0)，eq o(PA,sup7()(x0a，y0)，eq o(PB,s

6、up7()(x0a，y0)由已知PAPB，則eq o(PA,sup7()eq o(PB,sup7()xeq oal(2,0)a2yeq oal(2,0)0，即(a2b2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(xoal(2,0),a2)1)0，對(duì)于x0a或x0a恒成立，故a2b2，即ab，所以eeq r(1f(b2,a2)eq r(2)故選A6(多選題)(2022青島調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1(eq r(3)，0)和F2(eq r(3)，0)連線的斜率之積等于eq f(1,3)，記點(diǎn)P的軌跡為曲線E，直線l：yk(x2)與E交于A，B兩點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的為(

7、)A曲線E的方程為eq f(x2,3)y21(xeq r(3)B曲線E的離心率為eq r(3)C曲線E的漸近線與圓(x2)2y21相切D滿足|AB|2eq r(3)的直線l僅有1條AC解析：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由已知得eq f(y,xr(3)eq f(y,xr(3)eq f(1,3)，整理得eq f(x2,3)y21，所以點(diǎn)P的軌跡即曲線E的方程為eq f(x2,3)y21(xeq r(3)，故A正確；又離心率eeq f(2,r(3)eq f(2r(3),3)，故B錯(cuò)誤；圓(x2)2y21的圓心(2,0)到曲線E的漸近線yeq f(r(3),3)x的距離為deq f(2,r(12(r(3)2)1

8、，又圓(x2)2y21的半徑為1，故C正確；因?yàn)?2,0)為雙曲線eq f(x2,3)y21的右焦點(diǎn)，且x2時(shí)，yeq f(r(3),3)，所以過右焦點(diǎn)的雙曲線最短的弦(通徑)為eq f(2r(3),3)，又兩頂點(diǎn)間距離為2eq r(3)，所以滿足|AB|2eq r(3)的直線有3條，故D錯(cuò)誤故選AC7已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P是雙曲線上一點(diǎn)若PAB為等腰三角形，PAB120，則雙曲線的離心率為_eq r(2)解析：如圖所示，過點(diǎn)P作PDx軸，垂足為D因?yàn)镻AB為等腰三角形，所以|PA|AB|2a，又因?yàn)镻AB120，所

9、以PAD60|PD|PA|sin 60eq r(3)a，|AD|PA|cos 60a，故P(2a，eq r(3)a)因?yàn)辄c(diǎn)P(2a，eq r(3)a)在雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1上，所以eq f(4a2,a2)eq f(3a2,b2)1，即eq f(a2,b2)1eeq r(f(c2,a2)eq r(f(a2b2,a2)eq r(1f(b2,a2)eq r(2)8已知雙曲線eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(a0，b0)的離心率e2，過雙曲線上一點(diǎn)M作直線MA，MB交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，且斜率分別為k1，k2若直線AB過原點(diǎn)，則k1k2的值為_3解析：由題

10、意知，eeq f(c,a)eq r(1f(b2,a2)2b23a2，則雙曲線方程可化為3x2y23a2設(shè)A(m，n)，M(x，y)(xm)，則B(m，n)，k1k2eq f(yn,xm)eq f(yn,xm)eq f(y2n2,x2m2)eq f(3x23a23m23a2,x2m2)39(2021河北唐山質(zhì)檢)已知橢圓E：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的離心率為eq f(r(6),3)，直線l：xty1交E于A，B兩點(diǎn)當(dāng)t0時(shí)，|AB|eq f(2r(6),3)(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)A在直線x3上的射影為D，證明：直線BD過定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo)(1)解：由題意得

11、e2eq f(c2,a2)eq f(a2b2,a2)eq f(2,3)，整理得a23b2，由t0時(shí)，|AB|eq f(2r(6),3)，得eq f(1,a2)eq f(2,3b2)1，因此aeq r(3)，b1故橢圓E的方程是eq f(x2,3)y21(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則D(3，y1)，將xty1代入eq f(x2,3)y21得(t23)y22ty20，y1y2eq f(2t,t23)，y1y2eq f(2,t23)，從而ty1y2y1y2直線BD：yeq f(y2y1,x23)(x3)y1，設(shè)直線BD與x軸的交點(diǎn)為(x0,0)，則eq f(y2y1,x23)(

12、x03)y10，所以x0eq f(y1(3x2),y2y1)3eq f(y1(2ty2),y2y1)3eq f(2y1ty1y2,y2y1)3，將式代入上式可得x02，故直線BD過定點(diǎn)(2,0)B組新高考培優(yōu)練10已知橢圓和雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且F1PF2eq f(2,3)，記橢圓和雙曲線的離心率分別為e1，e2，則eq f(3,eoal(2,1)eq f(1,eoal(2,2)()A4 B2eq r(3) C2 D3A解析：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為a2，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義，得|PF1|PF2

13、|2a1，|PF1|PF2|2a2，所以|PF1|a1a2，|PF2|a1a2又|F1F2|2c，F(xiàn)1PF2eq f(2,3)，所以在F1PF2中，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cosF1PF2，即4c2(a1a2)2(a1a2)22(a1a2)(a1a2)cos eq f(2,3)，化簡(jiǎn)得3aeq oal(2,1)aeq oal(2,2)4c2，兩邊同除以c2，得eq f(3,eoal(2,1)eq f(1,eoal(2,2)4故選A11已知直線xy10與雙曲線eq f(x2,a)eq f(y2,b)1(ab0)相交于P，Q兩點(diǎn)，且OPOQ(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則eq

14、 f(1,a)eq f(1,b)()A1 Beq r(2) C2 Deq r(5)C解析：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)聯(lián)立方程eq blcrc (avs4alco1(xy10，,f(x2,a)f(y2,b)1，)整理得(ab)x22axaab0，所以x1x2eq f(2a,ab)，x1x2eq f(aab,ab)，y1y2(x11)(x21)x1x2(x1x2)1eq f(bab,ab)由OPOQ，得eq o(OP,sup7()eq o(OQ,sup7()0，得x1x2y1y20，所以eq f(aab,ab)eq f(bab,ab)0，即eq f(2ab,ab)1，則eq f(ab,a

15、b)eq f(1,2)，所以eq f(1,a)eq f(1,b)eq f(ba,ab)2故選C12已知F為橢圓C：eq f(x2,25)eq f(y2,16)1的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上且位于x軸上方，點(diǎn)A(3,4)若直線OA平分線段PF，則PAF的大小為()A60 B90C120 D無法確定B解析：設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為B(0,4)，因?yàn)锳(3,4)，F(xiàn)(3,0)故AFx軸，ABy軸則四邊形ABOF為矩形，所以當(dāng)P在點(diǎn)B處時(shí)滿足直線OA平分線段PF故PAFBAF9013已知橢圓C：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A，B分別為橢圓的

16、上、下頂點(diǎn)，直線AF1與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為E若F1AF260，則直線BE的斜率為_eq f(r(3),4)解析：由F1AF260，得a2c，beq r(a2c2)eq r(3)c設(shè)E(m，n)，則有eq f(m2,a2)eq f(n2,b2)1，則eq f(n2b2,m2)eq f(b2,a2)因?yàn)锳(0，b)，B(0，b)，所以kEAkEBeq f(nb,m)eq f(nb,m)eq f(n2b2,m2)eq f(b2,a2)eq f(3,4)又kEAkAF1eq f(b,c)eq r(3)，所以kEBeq f(r(3),4)14直線l與拋物線y24x交于不同兩點(diǎn)A，B，其中A(x1，y1

17、)，B(x2，y2)若y1y236，則直線l恒過點(diǎn)的坐標(biāo)是_(9,0)解析：設(shè)直線l的方程為xmyn，則由eq blcrc (avs4alco1(xmyn，,y24x，)得y24my4n0，所以eq blcrc (avs4alco1(y1y24m，,y1y24n.)又y1y236，所以4n36，所以n9，所以直線l的方程為xmy9，恒過點(diǎn)(9,0)15已知橢圓C的方程為eq f(x2,4)eq f(y2,2)1，A是橢圓上的一點(diǎn)，且A在第一象限內(nèi)，過A且斜率等于1的直線與橢圓C交于另一點(diǎn)B，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為D(1)證明：直線BD的斜率為定值；(2)求ABD面積的最大值(1)證明：設(shè)D(x

18、1，y1)，B(x2，y2)，則A(x1，y1)，直線BD的斜率keq f(y2y1,x2x1)，由eq blcrc (avs4alco1(f(xoal(2,1),4)f(yoal(2,1),2)1，,f(xoal(2,2),4)f(yoal(2,2),2)1，)兩式相減得eq f(y2y1,x2x1)eq f(1,2)eq f(x1x2,y1y2)因?yàn)閗ABeq f(y1y2,x1x2)1，所以keq f(y2y1,x2x1)eq f(1,2)，故直線BD的斜率為定值eq f(1,2)(2)解：連接OB(圖略)，因?yàn)锳，D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以SABD2SOBD，由(1)可知BD的斜率keq f

19、(1,2)，設(shè)BD的方程為yeq f(1,2)xt因?yàn)镈在第三象限，所以eq r(2)t1且t0，O到BD的距離deq f(|t|,r(1f(1,4)eq f(2|t|,r(5)由eq blcrc (avs4alco1(yf(1,2)xt，,f(x2,4)f(y2,2)1，)整理得3x24tx4t280，(4t)243(4t28)0(eq r(2)t1且t0)，所以x1x2eq f(4t,3)，x1x2eq f(4(t22),3)，所以SABD2SOBD2eq f(1,2)|BD|deq f(r(5),2)eq r(x1x2)24x1x2)eq f(2|t|,r(5)|t|eq r(x1x2)24x1x2)|t|eq f(r(9632t2),3)eq f(4r(2),3)eq r(t2(3t2)2eq r(2)所以當(dāng)且僅當(dāng)teq f(r(6),2)時(shí)，SABD取得最大值2eq r(2)16已知曲線C1：x2y2r2(r0)和C2：eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)都過點(diǎn)P(0，2)，且曲線C2的離心率為eq f(r(3),2)(1)求曲線C1和曲線C2的方程；(2)設(shè)點(diǎn)A，B分別在曲線C1，C2上，PA，PB的