三角函數(shù)輔助角公式化簡

1、三角函數(shù)輔助角公式化簡一、解答題1.已知函數(shù)f(x)=sin2xcos2xH，3丿(1)求f(x)的對稱中心;(2)討論f(x)在區(qū)間二3才上的單調(diào)性.2.已知函數(shù)f(x)=4sinxcosIx+|+由.k3丿將f(x)化簡為f(x)=Asin(x+0)的形式，并求f(x)最小正周期;求f(x)在區(qū)間-?,?上的最大值和最小值及取得最值時x的值.463已知函數(shù)f(x)5)xcosx12丿13丿=4tanxsin(1)求f(x)的最小正周期;求f(x)在區(qū)間送,1上的單調(diào)遞增區(qū)間及最大值與最小值.精選文庫精選文庫(1)(1)(II)討10.已求I若關7.已知函數(shù)f(x)=4cosxsinx+-1

2、，求6丿求f(x)的最小正周期；求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間求f(x)在區(qū)間-2?上的最大值和最小值.648.設函數(shù)/(x)=tanx(1)求f(x)的最小正周期;(2)討論f(x)在區(qū)間上的單調(diào)性.11.設求銳12.已9.已知函數(shù)f(x)二23sinxcosx-2cos2x+1,(I)求f(x)的最大值和對稱中心坐標;5的內(nèi)角角，,所對的邊分別是若飛I一，且.31:的面積為點，求.的值.5的內(nèi)角角，,所對的邊分別是若飛I一，且.31:的面積為點，求.的值.3313.設函數(shù)I厶L.；:：:：.：(1)求隈:的最大值，并寫出使I:心取最大值時紺勺集合;3已知5中角的邊分別為-，若I.：，求啲最小

3、值.14.已知f(x)-(3sinx+cosx)cosx-2其中0，若f(x)的最小正周期為4兀.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(2)銳角三角形ABC中，(2a-c)cosB=bcosC，求f(A)的取值范圍rr2、15.已知a=(sinx,cosx),b=(cos,sin巾)(|巾|/5cosx(1)求f(x)的最小正周期和最大值;(2)討論f(x)在上的單調(diào)性.44cosx已(1)(2)已(1)(2)若單位長21.已矢口f(x)=2u3cos2x+sin2x-、；3+1(xgR)，求:(1)f(x)的單調(diào)增區(qū)間;兀兀當xG-時求f(x)的值域.精選文庫精選文庫參考答案1（1）對稱中心

4、為(k兀兀J+,0I212丿,_64_，減區(qū)間為一一3一6_keZ；2）增區(qū)間為【解析】試題分析：利用降冪公式和輔助角公式將已知函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)來求對稱中心,其對稱中心能使函數(shù)值為0，從而角的終邊在x軸上；（2）首先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)自變量的取值范圍來求落在給定范圍上的的單調(diào)區(qū)間f(x)=1一觀x-(2+cos2x+I3丿2-sin2x一丄cos2x=丄sin2x442k(k令2x一2=k，得x=+TT，keZ，對稱中心為,06212I212(kJkeZ212丿(2)令2k-12x62k-+|,keZ,兀，兀得k兀一xk兀+63,keZ，增區(qū)間為k,k+,

5、keZ633令2k+2x2k+,keZ625得k+xk+,keZ，增區(qū)間為k+6757,k+,keZ36一一了疋，減區(qū)間為L36-上的增區(qū)間為2.(1)f(x)(、=2sin2x+I3丿T=兀；(2)x二-時，f(x)=-14minx=-12時，f(x)=2max【解析】試題分析：（1）由三角函數(shù)的公式化簡可得f（x）二2sin（2x+-3丿，由周期公式2可得答案；（2）由x的范圍可得-72x+的范圍，可得f（x）的范圍，結合二633角函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性，可得最值及對應的x值.試題解析：(1)f(x)=4sinx(.)cosxcossinxsm+33丿=2sinxcosx2空3sin2x+3

6、=sin2x+V3cos2x=2sin2x+I3所以T=兀.2TOC o 1-5 h z2(2)因為一x，所以一一2x+6633所以-1f(x)2,所以-1sin2x+11,I3丿當2x+=一，即x=一時，fx丿=一1,364min當2x+=，即x=時，fx丿=2.3212min2根據(jù)T=空=求3.(2)f(x丿最大值為-2，最小值為1.【解析】試題分析：(1)化簡函數(shù)的解析式得f(x)=2sin2x-?V3丿周期；(2)先求出函數(shù)f(x丿的單調(diào)遞增區(qū)間，再求其與區(qū)間-4,；4的交集即可；根據(jù)2x-3的取值范圍確定函數(shù)在上的最大值與最小值。試題解析：(1)f(x)=(1=4tanxcosxco

7、sx-V3丿=4sinxcos卜一寧JV(1朽1=4sinxcosx+sinx-J3=2sinxcosx+2j3sin2x-J32V丿1=sin2x+羽(1cos2x)73=sin2x-V3cos2x=2sin2x一二.3丿所以f(x丿的最小正周期T=22)函數(shù)y=2sinz的單調(diào)遞增區(qū)間是由-+2k2x一y+2k5得一一+kx+k1212kgZ.5B=x1一12+kx12+kkGZ易知AnB=精選文庫精選文庫精選文庫122122f(x)的單調(diào)增區(qū)間為12+如專+如(kgz)兀兀所以，當xG時,f(x)兀兀在區(qū)間一邁肓上單調(diào)遞增。兀兀TOC o 1-5 h z一x，44兀亠兀5兀2x一,636

8、.1sinf2x叫1,I3丿.12sin2x-丿2I3丿:,f(x)最大值為2,最小值為T.點睛:解題的關鍵是將函數(shù)化成f(x)二Asin(ex+0)的形式后，把wx+申看成一個整體去處理,特別是在求單調(diào)區(qū)間的時候，要注意復合函數(shù)單調(diào)性規(guī)律“同增異減”，如果e0,那么一定先借助誘導公式將e化為正數(shù)，防止把單調(diào)性弄錯.4.(1)T=兀，最大值為1(2)-12+kn,12+k(kgz)(kgZ)，解得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.試題解析f(x)=止歸+2sin2x亭【解析】試題分析:(1)先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)形式，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最小正周期T及最大值；(2)根據(jù)

9、正弦函數(shù)性質(zhì)列不等式兀兀兀一+2k兀2x+2k兀23cos2x=sin2x+I3丿(1)T=兀c兀?！爱?x+=+2k兀2即x=+k兀(kgZ)時12f(x)取最大值為1兀兀兀/、令一I+2kK2x+1I+2kK(kgz)5(1)答案見解析；(2)解析】試題分析：(1)整理函數(shù)的解析式可得f(x)二sin1；對(兀in2x-，則函數(shù)的最小正周期為T=I6丿稱軸方程為x二(kgz)；(2)結合函數(shù)的定義域和(1)中整理的函數(shù)的解析式可得函數(shù)的值域為試題解析：/)cos2x+2sinxsinx+13丿14丿14丿(1)Qf(x)二=丄cos2x+sinx一cosx)(sinx+cosx)22二丄c

10、os2x+sin2x+sin2x一cos2x22=丄cos2x+sin2x一cos2x=sin2221.周期T二蘭=兀2由2x一1二ki+-(kgZ),得x二k1+-(kgZ)6223函數(shù)圖象的對稱軸方程為x二ki+(kgZ)(2)Qxg1一1235一1，6()sin2x一一在區(qū)間上單調(diào)遞增在區(qū)間16丿L123L32上單調(diào)遞因為f(x)二減，所以x七時f(x)取最大值1又Qf-x一吉時f(x)取最小值一*精選文庫精選文庫C兀5兀0,冗L3L6故所求單調(diào)區(qū)間為,1(k兀兀_c兀5兀6.(1)+,-1,kgZ(2),卞1212丿L3L6所以函數(shù)f(x)在區(qū)間-12,|上的值域為1【解析】試題分析：

11、f(x)=”3sinxcosx-cos2x-一二sin(2x-仝-1，令2x-2二k兀解得x即可(II)求f(x)在0,262222k兀2x2k兀+解得x,對k賦值得結果.262試題解析：上的單調(diào)區(qū)間，則令(I)f(x)上sin2x-1+cos2x-1222:八二sin2x一-16丿兀T,k兀兀令2x一二k兀，得x二+-,6212(k兀兀J,故所求對稱中心為帀+擊，-1,kEZI212丿兀亠兀兀，兀，(II)令2kn-2x-2E+2，解得kn6-X-kn+亍kGZ又由于xwo,兀，所以xG0,二5兀3點睛：三角函數(shù)的大題關鍵是對f(x)的化簡，主要是三角恒等變換的考查，化簡成y=Asin(wx

12、+申)類型，把WX+9看成整體進行分析.3)f(x)=-1minTOC o 1-5 h z兀兀7.(1)T=2；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為k兀一,k兀+,kgZ6 HYPERLINK l bookmark32 o Current Document f(x)=2.miax()(兀)【解析】試題分析：(1)由和差角公式及二倍角公式化簡得：f(x)2sin2x+7，進而I6丿得最小正周期；22(2)由2k兀2x+2k兀+一,kgZ可得增區(qū)間；62兀兀兀兀2兀(3)由x=得.：2x+，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象可得最值.64663試題解析：(1)Qf(x)=4cosxsin一1=4cosx亙sinx+丄cosx22

13、一1=2p3sinxcosx+2cos2x一1=73sin2x+cos2x=2sin2x+-.I6丿.f(x)的最小正周期T=兀.兀兀(2)由2k兀2x+2k兀+,kgZ62,兀，兀，解得k兀一xk兀+,kgZ36兀兀Q一三x64兀兀2x32 HYPERLINK l bookmark8 o Current Document 兀兀2兀2x+663兀兀當2x+=時,66兀兀當2x+=時，.函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為f(x)=Tmin兀x=一一6當2x+=時，X=，f(x)=2.626miax點睛：三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則1)一看“角”，這是最重要的一環(huán)，通過看角之間的區(qū)別和聯(lián)系，把角進

14、行合理的拆分，從而正確使用公式；2)而看“函數(shù)名稱”看函數(shù)名稱之間的差異，從而確定使用公式，常見的有“切化弦”；3)三看“結構特征”，分析結構特征，可以幫助我們找到變形的方向，如“遇到分式通分”等.仃r()(c兀)(兀兀)8.(1)T=n(2)f(x)在區(qū)間|，百上單調(diào)遞增，在區(qū)間tt-，牙上單調(diào)遞減.k12丿k122丿【解析】試題分析：(1)先根據(jù)誘導公式、二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得f(x)的最小正周期；(2)根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求0,2)上單調(diào)2區(qū)間，即得f(x)在區(qū)間0,牛上的單調(diào)性.試題解析：(1)=sinf2x+f+I3丿f(x)=(inx+J3

15、cosx)?cosx=sinxcosx+J3cos2x1+cos2x=sm2x+*32fff5ff令-+22x+-込+2，解得-+knx邁+k(eZ)(x)在區(qū)間f0,二上單調(diào)遞增，在區(qū)間(二,上單調(diào)遞減.12丿122丿,0(kgZ)丿小兀(II)遞增區(qū)間：0,丁和5兀兀5兀,冗；遞減區(qū)間：6_36_9.(1)最大值為2，對稱中心為:【解析】試題分析：(1)由正弦的倍角公式和降幕公式，f(x)可化簡為ffff(x)=2sin2x一二，可知最大值為2，對稱中心由2x一丁=k兀，解得x可求。(2)先6丿6求得f(x)最大增區(qū)間與減區(qū)間，再與兀做交，即可求得單調(diào)性。試題解析：(I)f(x)=2sin

16、f2x一斗I6丿f，所以最大值為2，由2x-=k兀，解得6kffx二丁+12，r所以對稱中心為:fff仃I)先求f(x)的單調(diào)增區(qū)間，由-=+2k兀2x-+2k兀,kgZ，解得2625兀和3一殳+k兀，叟+k兀,kgZ，在【0,兀上的增區(qū)間有|。,二同理可求得f(x)的單調(diào)減區(qū)間f+k兀,5f+k兀,kgZ,在【0,兀上的減速區(qū)間有_36_兀5兀亍百C兀5兀兀5兀0,可和r,冗；遞減區(qū)間：L3_L6_36_遞增區(qū)間：|TL10.(1)-；(2)的取值范圍為J1-/：，【解析】試題分析：(1)由題意結合誘導公式和同角三角函數(shù)基本關系整理函數(shù)的解析式為f(x)=2sin；，結合三角函數(shù)的周期公式可

17、知T=n.(2)原問題等價于，結合函數(shù)的圖象可得汚，丨或，求解不等式可得a的取值范圍為J丨二試題解析：H(1)f(x)=2cosxcos(xL：),-sin2x+sinxcosxsin2x+sinxcosx嚴cos2x+sinlxT=n.I-八I-1IT0j畫出函數(shù)f)在xL刃的圖像,由圖可知川丨-或.：丨故a的取值范圍為TOC o 1-5 h z11.(1)-+k兀上+k兀(kgZ)(2)b+c=73+1_44_1【解析】試題分析：(1)由三角恒等變換化簡得f(x)=sin2x-,由 HYPERLINK l bookmark18 o Current Document 兀兀(A-+2kn2x+

18、2k兀,kgZ可解得增區(qū)間(2)由f=0得sinA,cosA，由余2212丿弦定理得3bc=b2+c2-1，即(3+2)bc=(b+c)2-1即得b+c試題解析：(1)由題意知f(x)=巴竽1+cos2x+2丿2TOC o 1-5 h zsin2x1-sin2x1=一=sm2x一，2 HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 由一一+2k2x+2k,kgZ可得一一+kxir由；當1時等號成立，最小為1.點睛：（1）要求三角函數(shù)的最值，就要化成，一次一角一函數(shù)的形式；（2）巧妙利用三角函數(shù)值求得角A,再利余弦定理得邊的關系，得到最值;14.(1)4kK-

19、竺,4kK+竺,kgZ(2)纟332、:f（小斗解析】試題分析：（1）先根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)：f（x）=sinf2x+2，再根據(jù)正弦函數(shù)周期性質(zhì)求，并根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)求單調(diào)增區(qū)間6丿（2）先根據(jù)正弦定理將邊化為角，由誘導公式及兩角和正弦公式化簡得cosB二2，即得B=葺，根據(jù)銳角三角形得A取值范圍，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求f（A）的取值范圍.試題解析：（1）f（x）=帀-21(兀sin2x+cos2x=sin2x+，最小正周期為4兀,f(x)=sinx+2ky-一x+2kK+l，即22624兀2兀4kn3-X-4加+亍kGZ:,f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為4k兀竺,43(2)

20、7(2a-c)cosB=bcosC，.:(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,兀整理得：2sinAcosB=sinA，cosB=一，B=一，7銳角三角形ABC,.：0A32精選文庫精選文庫17.JA1，注1A+1迺，.邁f(A)v2624261224115.(I)f(x)二sin(x+),35兀兀2刼-_6,2刼+-,keZ；(II)71Q【解析】試題分析：(1)利用向量的坐標運算得到f(x)二sin(x+9),再由f(=-x)=f7ZITTT兀(x)可知函數(shù)f(x)的圖象關于直線x二二對稱，所以二+巾二-+kn,進而得到巾二,利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解單調(diào)區(qū)間即可；1(2)將f(x

21、)的圖象向右平移一單位得g(x)二sinx,即sinx+lWax+cosx在xw0,3斗上恒成立，利用數(shù)形結合分別研究h(x)二sinx-cosx和巾(x)=axl即可.試題解析：Vf(x)二J-gsinxcos+cosxsin二sin(x+),7171再由f(-x)=f(x)可知函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=對稱，TLTL7T兀+二+瓦n,kZ，又|1,.二=?1f(x)=sin(x+),371TUIT-5兀7T由2kn2Wx+已W2kn+?可得2kn白x2kn+&,呂兀函數(shù)的遞增區(qū)間為2kn-二，2kn+，kZ；77：4由圖象平移易知g(x)=sinx,即sinx+lWax+cosx在xw

22、0,上恒成立.7Tr”4一，、也即sinx-cosxWax-1在xw0,上恒成立.兀兀4.4-令h(x)二sinx-cosx=Wsin(x-),xwO,；(x)=ax-1如下圖：h(x)的圖象在巾(x)圖象的下方，16(1)f(x)=2sin根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)列不等式：W則函數(shù)f(x)=已b=2cos2n=解得3=2,兀.*.f(x)=2sin(2x+&)7T(2)令-殳+2knW2x+&7T?+knWxW&+kn.+1;兀7TW殳+2kn,kWZ,kZ,兀：f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為-彳+kn,+kn,kWZ.ak=TOC o 1-5 h z兀.nn(2x+)+1；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為-+kn,

23、+kn,kWZ.636【解析】試題分析：(1)先根據(jù)向量數(shù)量積得函數(shù)關系式，再根據(jù)二倍角公式以及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù)，最后根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求3(2)nnn-+2kn2x+：0),Qx7Tcos殳二cos3x+1+3sinsx=2sin(3x+&)Vf(x)的最小正周期為n,(1)f(x)二=2sin2x+I6丿(2)見解析(3)882?！窘馕觥吭囶}分析：(1)直接由函數(shù)圖象求得A和周期，再由周期公式求得3，由五點作圖的第三點求9;一(a1.(a1.5)3)由f一求出sin+丁，然后把sin-a14丿2k26丿4k6丿2)由先平移后改變周期和先改變周期后平移兩種方法給出答案；轉(zhuǎn)化為余弦

24、利用倍角公式得答案試題解析:解：(1)f(x)=兀(2)法1：先將y二2sinx的圖象向左平移一個單位，再將所得圖象縱坐標不變，橫坐62x+壬丿的圖象.I6丿1標壓縮為原來的-倍，所得圖象即為f(x)二2sin法2：先將y二2sinx的圖象縱坐標不變，橫坐標壓縮為原來的二倍，再將所得圖象向兀/(兀的圖象.左平移12個單位，所得圖象即為f(x)2sin2x+丄厶得：而sin(冗)(a-acosa+1-2sin2+16丿13丿、I6丿點睛：圖象變換(1)/序f冊柏聞主為mi就簡血應mi訶衛(wèi)対加儁fy=Asin旺工丘R(2)圧祁點的播州h期蛇kwL戒忡罰血”“丹廉配旳悄g/?變L治v兩仃趙已左I蘆種

25、唱FH訶球屮耐牛*1祗尺準(4)y=san(x+)saeR(a、(a兀、(a兀)2sin2+2sin一+、才丿I46丿126丿3)由f精選文庫精選文庫1010陽首畑出h輸和仙:或忡hMliiilft-ffi,P三SJM血斗護hJT/用ff或曲貼電K井K忖泊值簡加脈*1洞世Jfc片迪舟PM沖或則瞰卓卩)X在Fm5n3m-4T(n)18.(1)=和n。(2)丄【解析】試題分析：f(x)=sin(2x-)整理函數(shù)的解析式為卜,m利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)7!：在上的單調(diào)遞增區(qū)間是和(2)由題意可得n4nnn3$_4，則試題解析：f(x)-sin(2xn5n所以函數(shù)m在卜討上的單調(diào)遞增區(qū)間為和Gn3

26、rt4f(a=sin(2a-co&(2a因為；所以-、所以n7ikk7inn334135-4f(a+)-sin2cc=$in(2a-)+=sin2a-)cDS-+COS(2a-_)引nx-v-二1匚精選文庫精選文庫k-5,k+121219.(1)k兀一叟，k兀+竺36(kgz)；(2)a.=、：4一23=、：31min【解析】試題分析：利用和差角及二倍角公式對函數(shù)化簡可得f(x)二2sin717E樂兀+互,解不等式可得答案；(2)由及0VAVn可得.,利用向量數(shù)量積的定義可得,bc=2,利用余弦定理可得可得又ABC中a2=b2+c2bccosA.=b2+c)比，從而可求題_解f(k)=2gos

27、5cco&龍氐兀+2寸二XZk7T+匚-上兀兀FTOC o 1-5 h z由：-得，k兀耳辺+刊舊)故所求單調(diào)遞增區(qū)間為fA)二0WAC兀A=v(2)由得*石=匚，即宀心2：4=2,又Aabc中，$+匚2譏；2人:+g(2-的)尿n5k5k3h20.(1)n,1、(2)在，”上單調(diào)遞增；在W,“上單調(diào)遞減.【解析】試題分析：(1)整理函數(shù)的解析式f(x)=sinf2x斗I3丿-牛，則函數(shù)的最小正周期為兀，最大值為2(2)結合(1)中函數(shù)的解析式和三角函數(shù)的性質(zhì)可得函數(shù)在兀5兀7,12上單調(diào)遞增；12,3上單調(diào)遞減.124試題解析：(1)f(x)=cosxsinx.彳cos2x=cosxsinx

28、?(l+cos2x)丄晅晅=sin2x?cos2x/=sin(2x)?,1?因此f(x)的最小正周期為n最大值為nnn(2)當xe4，-i時，杠2x.nnnn5ir易知當U2x，即4x丿時，f(x)單調(diào)遞增,5irnn7n當/2x,n所以f(x)在4,即I七xl時，f(x)單調(diào)遞減.5k5iv3hI門上單調(diào)遞增；在I丿，上單調(diào)遞減.21.(1)k兀一竺裁兀+1212,(kgZ)(2)0,3【解析】試題分析：(1)根據(jù)二倍角公式及配角公式將函數(shù)化為基本三角函數(shù),再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求單調(diào)增區(qū)間；(2)根據(jù)自變量范圍求2x+33范圍,再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求值域試題解析：f(x)=sin2x+3Gcos

29、2x1)+1=sin2x+p3cos2x+1TOC o 1-5 h z兀1=2sin2x+1I3丿 HYPERLINK l bookmark30 o Current Document 5(1)由2k-2x+2k+，得2k-2x2k+23266k-x-1試題解析：解：(l)T為偶函數(shù),sini-wx+-1對門恒成立，卩=sin/ux+-ujx=+n-即：、nn申=又故、f(x)-2$injwx+勻2nn=2由題意得-丁，所以一故一,J（2）將I的圖象向右平移個單位后,6的圖象，再將所得圖象橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到的圖象.精選文庫精選文庫=J2cos2x+環(huán)丿=J2cos2x+環(huán)丿2rt3n4krt+x4kn+(kEZ)即；時，匸單調(diào)遞減,因此人乂的單調(diào)遞減區(qū)間為2応4kn+r4kn+點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握無論是