高中數(shù)學(xué)必修二 天津市第一中學(xué)-2020學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

1、天津一中2019-2020-2高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科期末質(zhì)量調(diào)查試卷一、選擇題1. 若復(fù)數(shù)對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點，且，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知求出，即得復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題意，由得，復(fù)數(shù)的虛部為，故選：C.【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的虛部的概念，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.2. 設(shè)是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是（）A. 若,則B. 若，,則C. 若,則D. 若,則【答案】C【解析】【分析】在A中，與相交或平行；在B中，或；在C中，由線面垂直的判定定理得；在D中，與平行或【詳解】設(shè)是兩條不同的直

2、線，是兩個不同的平面，則：在A中，若，則與相交或平行，故A錯誤；在B中，若，則或，故B錯誤；在C中，若，則由線面垂直的判定定理得，故C正確；在D中，若，則與平行或，故D錯誤故選C【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，是中檔題3. 設(shè)R，向量且，則( )A. B. C. D. 10【答案】C【解析】試題分析: 向量且，從而，因此，故選C考點：1.向量的模；2.向量的平行與垂直4. 某社區(qū)組織“學(xué)習(xí)強國”的知識競賽，從參加競賽的市民中抽出40人，將其成績分成以下6組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，第6組，得到如圖所示的頻率分布直方圖現(xiàn)采用分層抽

3、樣的方法，從第2，3，4組中按分層抽樣抽取8人，則第2，3，4組抽取的人數(shù)依次為（ ）A. 1，3，4B. 2，3，3C. 2，2，4D. 1，1，6【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖可得第2，3，4組中頻數(shù)之比，結(jié)合分層抽樣的特點可得人數(shù).【詳解】由圖可知第2，3，4組的頻率之比為0.15:0.15:0.3，所以頻數(shù)之比為1:1:2，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從第2，3，4組中按分層抽樣抽取8人，所以第2，3，4組抽取的人數(shù)依次為2，2,4.故選：C.【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的解讀及分層抽樣方法，通過頻率分布直方圖可得出頻率是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).5. 雕塑

4、成了大學(xué)環(huán)境不可分割的一部分，有些甚至能成為這個大學(xué)的象征，在中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)校園中就有一座郭沫若的雕像雕像由像體和底座兩部分組成如圖，在中，在中，且米，求像體的高度（ ）（最后結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，）A. 4.0米B. 4.2米C. 4.3米D. 4.4米【答案】B【解析】【分析】在和中，利用正切值可求得，進而求得.【詳解】在中，（米），中，（米），（米）.故選：.【點睛】本題考查解三角形的實際應(yīng)用中的高度問題的求解，屬于基礎(chǔ)題.6. 如圖，O是ABC的重心，=，=，D是邊BC上一點，且=3，則（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由O為ABC的重心，則點E為BC的

5、中點，且，又由3，得：D是BC的四等分點，再利用平面向量的線性運算可得則，故得解【詳解】如圖，延長AO交BC于E，由已知O為ABC的重心，則點E為BC的中點，且由3，得：D是BC的四等分點，則，故選A【點睛】本題考查了平面向量的基本定理及重心的特征，屬中檔題7. 在中,=分別為角的對應(yīng)邊),則的形狀為A. 正三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形【答案】B【解析】由題可得=，所以.由此可知，該三角形是直角三角形，所以角C為直角.本題選擇B選項.8. 下列各對事件中，不互為相互獨立事件的是（ ）A. 擲一枚骰子一次，事件“出現(xiàn)偶數(shù)點”；事件“出現(xiàn)3點或6點”B. 袋中有3白、

6、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”C. 袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球，事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”D. 甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，事件“從甲組中選出1名男生”，事件“從乙組中選出1名女生”【答案】C【解析】【分析】利用相互獨立事件的定義直接判斷各選項，即可得到結(jié)果【詳解】對于選項A，事件發(fā)生與否與無關(guān)，同時，事件發(fā)生與否與無關(guān)，則事件與事件N是相互獨立事件； 對于選項B，袋中有3白、2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩球，

7、事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到白球”， 則事件發(fā)生與否與無關(guān)，同時，事件發(fā)生與否與無關(guān)，則事件與事件是相互獨立事件； 對于選項C，袋中有3白、2黑，5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩球， 事件“第一次摸到白球”，事件“第二次摸到黑球”， 則事件發(fā)生與否和事件有關(guān)，故事件和事件與不是相互獨立事件；對于選項D，甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲、乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，事件“從甲組中選出1名男生”，事件“從乙組中選出1名女生”， 則事件發(fā)生與否與無關(guān)，同時，事件發(fā)生與否與無關(guān)，則事件與事件是相互獨立事件；故選：C.【點睛】本題主要考查了相互獨立事件的概念和

8、對相互獨立事件的判斷，本題屬于基礎(chǔ)題.9. 已知S，A，B，C是球O表面上的點，平面ABC，則球O的體積等于A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線平面垂直的判定與性質(zhì)得出，為直角三角形，可得SC的中點O為球心，又可求得，求出球的半徑，即可得解【詳解】解：平面ABC，面SAB，面SAB，中AC的中點O，為球O的直徑，又可求得，球O的半徑，體積，故選B【點睛】本題綜合考查了空間幾何體的性質(zhì)，空間思維能力的運用，平面，立體問題的轉(zhuǎn)化，巧運用直角三角形的性質(zhì)10. 已知邊長為2的菱形中，點為上一動點，點滿足，則的最小值為（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，

9、根據(jù)線性運算進行變換可求得；以菱形對角線交點為原點，對角線所在直線為坐標(biāo)軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示出，得到關(guān)于的二次函數(shù)，求得二次函數(shù)最小值即為結(jié)果.【詳解】由題意知：，設(shè) 以與交點為原點，為軸，為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系：，設(shè) 則， 當(dāng)時，本題正確選項：【點睛】本題考查向量數(shù)量積的運算問題，涉及到利用定義的運算和數(shù)量積的坐標(biāo)運算，解題關(guān)鍵是能夠通過線性運算進行變換，通過數(shù)量積運算的定義求得夾角；再通過建立平面直角坐標(biāo)系的方式，將問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算，通過函數(shù)關(guān)系求解得到最值.二、填空題11. 是虛數(shù)單位，則的值為_.【答案】【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再利用復(fù)數(shù)模的定義求所給復(fù)

10、數(shù)的?！驹斀狻俊军c睛】本題考查了復(fù)數(shù)模的運算，是基礎(chǔ)題.12. 擲一枚骰子的試驗中，出現(xiàn)各點的概率均為，事件表示“出現(xiàn)小于5的偶數(shù)點”，事件表示“出現(xiàn)小于5的點數(shù)”，則一次試驗中，事件（表示事件的對立事件）發(fā)生的概率為_.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對立事件的概率公式以及互斥事件的概率的加法公式可得結(jié)果.【詳解】依題意可知，事件與事件為互斥事件，且，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了對立事件的概率公式，考查了互斥事件的概率的加法公式，屬于基礎(chǔ)題.13. 一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，這個圓柱的全面積與側(cè)面積的比是_【答案】【解析】【分析】利用側(cè)面展開圖是正方形得到圓柱的底面半徑與高的關(guān)系

11、后可得圓柱的表面積與側(cè)面積之比.【詳解】設(shè)正方形的邊長為，圓柱的底面半徑為，則，所以圓柱的全面積為，故全面積與側(cè)面積之比為，填.【點睛】圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，其一邊的長為母線長，另一邊的長為底面圓的周長，利用這個關(guān)系可以得到展開前后不同的幾何量之間的關(guān)系.14. 在中，是的中點，是上一點，且，則的值是_.【答案】【解析】【分析】用、表示向量、，然后利用平面向量數(shù)量積的運算律可求得的值.【詳解】為的中點，.故答案為：.【點睛】本題考查平面向量數(shù)量積的計算，解答的關(guān)鍵就是選擇合適的基底表示向量，考查計算能力，屬于中等題.15. 在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，則_.【答案】【解析】【分析】由，根據(jù)正

12、弦定理“邊化角”，可得，根據(jù)余弦定理，結(jié)合已知聯(lián)立方程組，即可求得角.【詳解】根據(jù)正弦定理：可得根據(jù)余弦定理：由已知可得：故可聯(lián)立方程：解得：.由故答案為：.【點睛】本題主要考查了求三角形一個內(nèi)角，解題關(guān)鍵是掌握由正弦定理“邊化角”的方法和余弦定理公式，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.16. 在中，則_；設(shè)，且，則的值為_.【答案】 (1). 3 (2). 【解析】【分析】由可得，然后兩邊平方處理，結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算，解方程即可；把和代入，化簡整理后，代入已知數(shù)據(jù)，解關(guān)于的方程即可得解【詳解】解：，、三點共線，兩邊平方得：，解得：（舍去），化簡整理，得，解得故答案為：3，【點睛】本

13、題考查平面向量的模、向量的加減法運算以及向量的數(shù)量積運算，利用到了平面向量基本定理，還采用了平方法解決模長問題，考查學(xué)生的分析能力和運算能力三、解答題17. 在中，內(nèi)角、的對邊分別為，（1）求角的大小；（2）若，求：（）邊長；（）的值【答案】（1）； （2）（）；（ii）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，求得的值，由此求得角的大小.（2）（）已知兩邊和夾角，用余弦定理求得邊；（）由兩角差的正弦公式求得的值.【詳解】解：（1）由已知及正弦定理得， （2）（）因為，由余弦定理得，（）由，因為為銳角，所以，【點睛】本題考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，還考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

14、，二倍角公式以及兩角差的正弦公式.18. 某校參加夏令營的同學(xué)有3名男同學(xué)和3名女同學(xué)，其所屬年級情況如下表：高一年級高二年級高三三年級男同學(xué)女同學(xué)現(xiàn)從這6名同學(xué)中隨機選出2人參加知識競賽（每人被選到的可能性相同）（1）用表中字母寫出這個試驗樣本空間；（2）設(shè)為事件“選出的2人來自不同年級且恰有1名男同學(xué)和1名女同學(xué)”，寫出事件的樣本點，并求事件發(fā)生的概率.【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；.【解析】【分析】（1）根據(jù)樣本空間的概念寫出即可；（2）利用列舉法寫出樣本點，然后根據(jù)古典概型的概率公式求出概率即可得.【詳解】（1）這個試驗的樣本空間為：.（2）選出的2人來自不同年級且恰有1

15、名男同學(xué)和1名女同學(xué)的所有可能結(jié)果為；，共6種，因此事件發(fā)生的概率.【點睛】本題考查了樣本空間的概念，考查了用列舉法求古典概型的概率，屬于基礎(chǔ)題.19. 如圖，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，垂直于底面，.（1）求證；（2）求平面與平面所成二面角的大?。唬?）設(shè)棱的中點為，求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由線面垂直證線線垂直，再根據(jù)線面垂直判定定理，證明線面垂直，再證線線垂直.（2）由（1）中線面垂直，可知所求二面角平面角為，根據(jù)題意可求角度.（3）利用中位線將異面直線平移，則或其補角是異面直線與所成角，根據(jù)勾股定理，即可求解

16、.【詳解】（1）底面是正方形， ，底面，底面，又， 平面，平面，.（2）由（1）知，又，為所求二面角的平面角，在中，.（3）取中點，連結(jié)，在，由中位線定理得 ，或其補角是異面直線與所成角，所以中，有，.【點睛】本題考查（1）垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化證明（2）二面角的求法（3）異面直線所成角，考查邏輯推理能力，考查計算能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中等題型.20. 如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面 OBEF平面ABCD，點G為AB的中點， AB=BE=2. （）求證：EG平面ADF； （）求二面角OEFC的正弦值； （）設(shè)H為線段AF上的點，且 AH=HF，求直線BH和平面 CEF所成角的正弦值.【答案】（）詳見解析；（）；（）.【解析】 【詳解】試題分析：（）利用空間向量證明線面平行，關(guān)鍵是求出平面的法向量，利用法向量與直線方向向量垂直進行論證；（）利用空間向量求二面角，關(guān)鍵是求出平面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出法向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與二面角相等或互補關(guān)系求正弦值；（ ）利用空間向量求線面角，關(guān)鍵是求出平面的法向量，再利用向量數(shù)量積求出向量夾角，最后根據(jù)向量夾角與線面角互