高數(shù)總復(fù)習(xí)課件

1、C8、空間解析幾何與向量代數(shù)（一）向量代數(shù)（二）空間解析幾何向量的線性運(yùn)算向量的表示法向量積數(shù)量積混合積向量的積向量概念C8、向量代數(shù)直 線曲面曲線平 面參數(shù)方程旋轉(zhuǎn)曲面柱 面二次曲面一般方程參數(shù)方程一般方程對稱式方程點(diǎn)法式方程一般方程空間直角坐標(biāo)系C8、空間解析幾何所求投影直線方程為例5解由于高度不變,故所求旋轉(zhuǎn)曲面方程為平面點(diǎn)集和區(qū)域多元函數(shù)的極限多元函數(shù)連續(xù)的概念極 限 運(yùn) 算多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念C9、多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用偏導(dǎo)數(shù)概念多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)可導(dǎo)思考1. 討論二重極限解法1解法2 令解法3 令時, 下列算法是否正確?分析:解法

2、1解法2 令此法第一步排除了沿坐標(biāo)軸趨于原點(diǎn)的情況, 此法排除了沿曲線趨于原點(diǎn)的情況. 此時極限為 1 .第二步 未考慮分母變化的所有情況, 解法3 令此法忽略了 的任意性,極限不存在 !由以上分析可見, 三種解法都不對, 因為都不能保證自變量在定義域內(nèi)以任意方式趨于原點(diǎn) .特別要注意, 在某些情況下可以利用極坐標(biāo)求極限, 但要注意在定義域內(nèi) r , 的變化應(yīng)該是任意的. 同時還可看到, 本題極限實際上不存在 .典型例題例1解例2解例4解分析:例5 判斷在原點(diǎn)的連續(xù)性，可偏導(dǎo)性以及可微分性質(zhì)解： 連續(xù)性容易判斷 定 義幾何意義性 質(zhì)計算法應(yīng) 用二重積分定 義幾何意義性 質(zhì)計算法應(yīng) 用三重積分C

3、10、重積分重積分計算的基本方法1. 選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線)圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡潔或變量分離.2. 選擇易計算的積分序積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .圖示法列不等式法(從內(nèi)到外: 面、線、點(diǎn))3. 掌握確定積分限的方法 累次積分法二、重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1. 交換積分順序的方法2. 利用對稱性或重心公式簡化計算3. 消去被積函數(shù)絕對值符號4. 利用重積分換元公式例2 解例3. 計算二重積分其中:(1) D為圓域(2) D由直線解: (1) 利用對稱性.圍成 .(2) 積分域如圖:將D 分為添加輔助線利用對稱性 , 得例4. 計算二重積分其中D

4、 是由曲所圍成的平面域 .解:其形心坐標(biāo)為:面積為:積分區(qū)域線形心坐標(biāo)例5. 計算二重積分在第一象限部分. 解: (1)兩部分, 則其中D 為圓域把與D 分成作輔助線(2) 提示: 兩部分 說明: 若不用對稱性, 需分塊積分以去掉絕對值符號. 作輔助線將D 分成曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定義計算定義計算聯(lián)系聯(lián)系C11、曲線積分與曲面積分 曲 線 積 分對弧長的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分定義聯(lián)系計算(與方向有關(guān))與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題 曲 面 積 分對面積的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分定義聯(lián)系計 算 (與側(cè)無關(guān)) (與側(cè)有關(guān))定積分曲

5、線積分重積分曲面積分計算計算計算Green公式Stokes公式Gauss公式各種積分之間的聯(lián)系一、曲線積分的計算法1. 基本方法曲線積分第一類 ( 對弧長 )第二類 ( 對坐標(biāo) )(1) 統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標(biāo)方程用極坐標(biāo)方程(2) 確定積分上下限第一類: 下小上大第二類: 下始上終計算其中L為擺線上對應(yīng) t 從 0 到 2 的一段弧.提示:計算其中由平面 y = z 截球面提示: 因在 上有故原式 = 從 z 軸正向看沿逆時針方向.(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算 ;(2) 利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;(3) 利用格林公式 (注意加輔助線的技巧) ; (4) 利用斯

6、托克斯公式 ;(5) 利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式 .2. 基本技巧計算其中L為上半圓周提示:沿逆時針方向.P210: A 1(6); B 2二、曲面積分的計算法1. 基本方法曲面積分第一類( 對面積 )第二類( 對坐標(biāo) )轉(zhuǎn)化二重積分(1) 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程(2) 積分元素投影第一類: 始終非負(fù)第二類: 有向投影(3) 確定二重積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面思 考 1) 二重積分是哪一類積分? 答: 第一類曲面積分的特例.2) 設(shè)曲面問下列等式是否成立? 不對 ! 對坐標(biāo)的積分與 的側(cè)有關(guān) 2. 基本技巧(1) 利用對稱性及重心公式簡化計算(2) 利用高斯公式注意公式使用條件添

7、加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標(biāo)面的平面)(3) 兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化練習(xí):P233 A 1(5) 其中 為半球面的上側(cè).且取下側(cè) , 提示: 以半球底面原式 =記半球域為 ,高斯公式有計算為輔助面, 利用 計算曲面積分其中,解:思考: 本題 改為橢球面時, 應(yīng)如何計算 ?提示: 在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè), 然后用高斯公式 .常數(shù)項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)一般項級數(shù)正項級數(shù)冪級數(shù)三角級數(shù)收斂半徑R泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函 數(shù)數(shù)任意項級數(shù)傅氏展開式傅氏級數(shù)泰勒級數(shù)滿足狄 氏條件在收斂 級數(shù)與數(shù)條件下 相互轉(zhuǎn)化 C13、無窮級數(shù)正 項 級 數(shù)任意項級數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對收斂5.交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);常數(shù)項級數(shù)審斂法定義 正 、負(fù)項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).交錯級數(shù)及其審斂法定義 正項和負(fù)項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).任意項級數(shù)及其審斂法和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):冪級數(shù)展開式(1) 定義(2) 充要條件(3) 唯一性(3) 展開方