因式分解教案2

1、學(xué)習(xí)好資料輔歡迎下載案?jìng)€(gè)性化導(dǎo)教授課時(shí)間 ：2022 年 11 月 30 日備課時(shí)間 ：2022 年 11 月 27 日年級(jí)： 初二 科目： 數(shù)學(xué) 課時(shí)： 2 同學(xué)姓名：方雪瑜課題：因式分解（二）老師姓名 ：郭孔優(yōu)教學(xué) 1, 進(jìn)一步把握因式分解的概念,加深對(duì)提公因式法和公式法的懂得,目標(biāo) 2,學(xué)會(huì)用十字相乘法,分組分解法分解因式重點(diǎn)敏捷運(yùn)用分組分解法分解因式難點(diǎn)一,上節(jié)內(nèi)容回憶1因式分解1定義把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,像這樣的式子變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式2因 式分解與整式乘法的關(guān)系 因式分解與整式乘法是相反方向的變形如：教學(xué)ababa 2b 2. 即多

2、項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式或單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式整式乘法 是“ 積化和” ,而因式分解就是“ 和化積” ,故可以用整式乘法來(lái)檢驗(yàn)因式分解的正確性談重點(diǎn)因式分解的懂得1因式分解專指多項(xiàng)式的恒等變形,等式的左邊必需是多項(xiàng)式,右邊每個(gè)因式必需是整式2因式分解的結(jié)果必需要以積的形式表示 ,否就不是因式分解 3因式分解中每個(gè)括號(hào)內(nèi)如有同類項(xiàng)要合并,因式分解的結(jié)果要求必需將每個(gè)因式分解完全內(nèi)【例 1】 以下各式由左邊到右邊的變形中,是因式分解的是容AaxyaxayBy 24y4yy44 C10a 25a5a2a1 Dy 216yy4y4y答案： C 點(diǎn)撥：A 是整式乘法, B、D 等號(hào)右邊不是整式積的形式,而是和的形式,

3、不是因式分解2公因式1定義 多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因 式2確定多項(xiàng)式的公因式的方法確定一個(gè)多項(xiàng)式的公因式時(shí),要對(duì)數(shù)字系數(shù)和字母分別進(jìn)行考慮,確定學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載公因式時(shí)：一看系數(shù),二看字母,三看指數(shù)解技巧確定公因式的方法確定公因式的方法： 1對(duì)于系數(shù) 只考慮正數(shù),取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)2對(duì)于字母, 需考慮兩條,一是取各項(xiàng)相同的字母； 二是各相同字母的指數(shù)取次數(shù)最低次,即取相同字母的最低次冪最終仍要依據(jù)情形確定符號(hào)【例 2】 把多項(xiàng)式 6a 3b 23a 2b 212a 2b 3 分解因式時(shí),應(yīng)提取的公因式是 A3a 2b B3ab 2C3a

4、3b 3D3a 2b 2答案： D 點(diǎn)撥： 在多項(xiàng) 式 6a 3b 23a 2b 212a 2b 3 中,這三項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)是 3,各項(xiàng)都含有字母 a,b,字母 a 的最低次冪是 a 2,字母 b 的最低次冪是 b 2,所以各項(xiàng)的公因式是 3a 2b 2,應(yīng)選 D. 3提公因式法1定義一般地, 假如多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式, 可以把這個(gè)公因式提取出來(lái),將多項(xiàng)式寫(xiě)成公因式與另一 因式法個(gè)因式的乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公2提公因式的步驟 確定應(yīng)提取的公因式；用公因式去除這個(gè)多項(xiàng)式,所得的商作為另一個(gè)因式；把多項(xiàng)式寫(xiě)成這兩個(gè)因式的積的形式警誤區(qū)提公因式要完全1所提的公因式必需是 “ 最大

5、公因式 ” ,即提取公因式后,另一個(gè)因式中不能仍有公因式；2假如多項(xiàng)式的首項(xiàng)系數(shù)是負(fù)數(shù),應(yīng)先提出 “ ” 號(hào)可按以下口訣分解因式： 各項(xiàng)有 “ 公” 先提“ 公” ,首項(xiàng)有 “ 負(fù)” 先提“ 負(fù)” ,某項(xiàng)提出莫漏 “ 1” ,括號(hào)里面分到 “ 底” 【例 3】 用提公因式法分解因式：112x 2y18xy 224x 3y 3；25x 215x5；327a 2b9ab 218ab；42xa2b3y2ba4za2b解： 112x 2y18xy 224x 3y 36xy2x6xy3y6xy4x 2y 26xy2x3y4x 2y 2；25x 215x5 5x 23x1；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載327a 2

6、b9ab 218ab 9ab 3ab2；42xa2b3y2ba4za2b2xa2b3ya2b4za2b a2b2x3y4z4用平方差公式分解因式1因式分解的平方差公式 兩個(gè)數(shù)的平方差,等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積即a 2b 2abab這個(gè)公式就是把整式乘法的平方差公式等號(hào)左右兩邊顛倒過(guò)來(lái)2平方差公式的特點(diǎn) 左邊是二項(xiàng)式, 兩項(xiàng)都能寫(xiě)成平方的形式, 且符號(hào)相反； 右邊是兩個(gè)數(shù) 或 整式的和與這兩個(gè)數(shù) 或整式 的差的積凡是符合平方差公式左邊特點(diǎn)的多項(xiàng) 式都可以用這個(gè)公式分解因式【例 4】 把以下多項(xiàng)式分解因式：14x 29；216m 29n 2；3a 3bab；4xp2xq2. 解： 14x

7、 292x23 22x32x3；216m 29n 24m 23n 24m3n 4m3n；3a 3bababa 21aba1a1；4xp 2xq2xpxq xpxq 2xpqpq5用完全平方公式分解因式1因式分解的完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上 或減去 這兩個(gè)數(shù)的積的 2 倍,等于這兩個(gè)數(shù)的和 或差的平方即 a 22abb 2ab 2,a 22abb 2ab 2. 這個(gè)公式就是把整式乘法的完全平方公式等號(hào)左右兩邊顛倒過(guò)來(lái)2完全平方公式的特點(diǎn)左邊是一個(gè)三項(xiàng)式,其中兩項(xiàng)同號(hào)且均為一個(gè)整式的平方 平方項(xiàng) ,另一項(xiàng)是平方項(xiàng)冪的底數(shù)的2 倍乘積項(xiàng) ,符號(hào)可正也可負(fù),右邊是兩個(gè)整式的和或差 的平方,中間的符

8、號(hào)同左邊的乘積項(xiàng)的符號(hào)【例 5】 把以下多項(xiàng)式分解因式：1x 214x49；2mn 26mn9；33ax 26axy3ay 2；4x 24y 24xy. 解： 1x 214x49x 22 7x7 2x7 2；2 mn 26mn 9mn 22mn 33 2mn3 2；學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載33ax 26axy3ay 23ax 22xyy 2 3axy 2；4x 24y 24xy x 24xy4y 2 x 22x2y2y 2 x2y 2. 6因式分解的一般步驟依據(jù)多項(xiàng)式的特點(diǎn)敏捷挑選分解因式的方法,其一般步驟可概括為： 一提、二套、三查一提：假如多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式, 第一考慮提取公因式； 二套：提

9、公因式后或沒(méi)有公因式可提,就要考慮運(yùn)用公式法, 即平方差公式或完全平方公式； 三查：因式分解肯定要分解到不能分解為止,要檢查每個(gè)因式是否仍可以連續(xù)分解7運(yùn)用公式法分解因式易顯現(xiàn)的錯(cuò)誤在分解因式時(shí), 多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)如是兩項(xiàng), 且含有平方項(xiàng), 就考慮用平方差公式進(jìn)行分解因式 如多項(xiàng)式是三項(xiàng)式, 就考慮用完全平方公式 在應(yīng)用公式法分解因式經(jīng)常顯現(xiàn)的錯(cuò)誤是：對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)把握不熟, 懂得不透徹, 易顯現(xiàn)符號(hào)、項(xiàng)數(shù)上的錯(cuò)誤,二次項(xiàng)、一次項(xiàng)系數(shù)搞錯(cuò),把兩個(gè)公式混淆等【例 6】 把以下各式分解因式：118x 2y50y 3；2ax 3yaxy 32ax 2y 2. 解： 118x 2y50y 32y9x 2

10、25y 2 2y3x5y3x5y；2ax 3yaxy 32ax 2y 2axyx 2y 22xyaxyxy 2. 【例 7】 以下各式能用完全平方公式分解因式的是 24x 24xyy 2； x 22 5x 1 25； 1aa 4； m 2n 2 44mn； a 22ab4b 2； x 28x9. A1 個(gè) B2 個(gè) C3 個(gè) D4 個(gè)解析： 不符合完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),不能用完全平方公式分解因式符合完全平方公式的特點(diǎn), 提取 “ ” 號(hào)后也符合完全平方公式的特點(diǎn),所以 能用完全平方公式分解 中的 y 2前面是 “ ” 號(hào),不能用完全平方公式分解中中間項(xiàng)有 a、b 的積的 2 倍,前后項(xiàng)都是平

11、方式,但中間項(xiàng)不是 “ 首尾積的 2 倍” ,不能用完全平方公式分解也不符合答案： C 學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載例 8,把以下式子分解因式：x2a4y24xy ；2 4 b c25 a b184 a b3281 a b . 3 51（3）22 bc22（4）xy4xy注：能運(yùn)用完全平方公式分解因式的多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有三項(xiàng),并且這三項(xiàng)是一個(gè)完全平方式,有時(shí)需對(duì)所給的多項(xiàng)式作一些變形,使其符合完全平方公式1. 2 x . 練習(xí)：、a6162 a ；a2 22ab2；416x482 x1；x22 14 x x2注： 整體代換思想： a、b比較復(fù)雜的單項(xiàng)式或多項(xiàng)式時(shí),先將其作為整體替代公式中字母 . 仍要

12、留意分解到不能分解為止 . 二,十字相乘法【1】二次三項(xiàng)式 多項(xiàng)式ax2bxc,稱為字母 x 的二次三項(xiàng)式,其中2 ax 稱為二次項(xiàng), bx 為一次項(xiàng), c 為常數(shù)項(xiàng)例如,x22x3和x25 x6都是關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式 在多項(xiàng)式x26學(xué)習(xí)好資料歡迎下載x 的二次三項(xiàng)式；xy8y2中,假如把 y 看作常數(shù),就是關(guān)于假如把 x 看作常數(shù),就是關(guān)于y 的二次三項(xiàng)式2 ab27ab3,就 在多項(xiàng)式2 a2 b27ab3中,把 ab 看作一個(gè)整體,即是關(guān)于 ab 的二次三項(xiàng)式 多項(xiàng)式xy27 xy12,把 xy 看作一個(gè)整體,就是關(guān)于xy 的二次三項(xiàng)式十字相乘法是適用于二次三項(xiàng)式的因式分解的方法【2

13、】十字相乘法的依據(jù)和詳細(xì)內(nèi)容 利用十字相乘法分解因式, 實(shí)質(zhì)上是逆用 axb cxd 豎式乘法法就 它的一般規(guī)律是：（1）對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)為1 的二次三項(xiàng)式x2pxq,假如能把常數(shù)項(xiàng)q 分解成兩個(gè)因數(shù) a,b 的積,并且 ab 為一次項(xiàng)系數(shù) p,那么它就可以運(yùn)用公式x2abxabxaxb分解因式 這種方法的特點(diǎn)是“ 拆常數(shù)項(xiàng),湊一次項(xiàng)” 公式中的 x 可以表示單項(xiàng)式,也可以表示多項(xiàng)式, 當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí), 把它分解為兩個(gè)同號(hào)因數(shù)的積,因式的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；當(dāng)常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí), 把它分解為兩個(gè)異號(hào)因數(shù)的積,其中肯定值較大的因數(shù)的符號(hào)與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同（2）對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不是1 的二次

14、三項(xiàng)式ax2bxc a,b,c 都是整數(shù)且 aa 1a 2a 0 來(lái)說(shuō),假如存在四個(gè)整數(shù)a 1,a 2,c 1,c 2,使,c 1c 2c,且a 1 c 2a 2c 1b那么：c 1a 2xc2ax2bxca 1 a2x2a 1 c2a 2c 1xc 1c2a 1x 它的特點(diǎn)是“ 拆兩頭,湊中間” ,這里要確定四個(gè)常數(shù),分析和嘗試都要比首項(xiàng)系數(shù)是 1 的情形復(fù)雜, 因此,一般要借助“ 畫(huà)十字交叉線”的方法來(lái)確定 學(xué)習(xí)時(shí)要留意符號(hào)的規(guī)律為了削減嘗試次數(shù),使符號(hào)問(wèn)題簡(jiǎn)潔化,當(dāng) 二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),先提出負(fù)號(hào),使二次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù),然后再看常數(shù)項(xiàng)；常數(shù)項(xiàng)為正數(shù)時(shí),應(yīng)分解為兩同號(hào)因數(shù), 它們的符號(hào)與一次

15、項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同；常數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)時(shí), 應(yīng)將它分解為兩異號(hào)因數(shù), 使十字連線上兩數(shù)之積肯定值較學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載大的一組與一次項(xiàng)系數(shù)的符號(hào)相同 用十字相乘法分解因式, 仍要留意防止以下兩種錯(cuò)誤顯現(xiàn)：一是沒(méi)有仔細(xì)地驗(yàn)證交叉相乘的兩個(gè)積的和是否等于一次項(xiàng)系數(shù)；漏寫(xiě)字母如：5x26xy8y2x2 5x4 【3】因式分解一般要遵循的步驟二是由十字相乘寫(xiě)出的因式 多項(xiàng)式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式,再考慮能否運(yùn)用公 式或十字相乘法, 最終考慮分組分解法 對(duì)于一個(gè)仍能連續(xù)分解的多項(xiàng)式因式 仍舊用這一步驟反復(fù)進(jìn)行以上步驟可用口訣概括如下：“ 第一提取公因式,然后考慮用公式、十字相乘試一試,分組分解要

16、合適,四種方法反復(fù)試,結(jié)果 應(yīng)是乘積式” 四、歸納總結(jié)鞏固新知1、學(xué)問(wèn)點(diǎn)的歸納總結(jié)：x2ab xabxaxb2、運(yùn)用新知解決問(wèn)題： （重點(diǎn)例習(xí)題的強(qiáng)化訓(xùn)練）例 9把以下各式分解因式：5xy6y2（1）x22x15；（2）x2點(diǎn)悟：（1）常數(shù)項(xiàng) 15 可分為 3 5 ,且 3 5 2 恰為一次項(xiàng)系數(shù)；（ 2）將 y 看作常數(shù),轉(zhuǎn)化為關(guān)于x 的二次三項(xiàng)式,常數(shù)項(xiàng)6y2解：（1）x22x15x3 x5 ；3y（2）x25xy6y2x2yx例 10, 把以下各式分解因式：（1）2x25x3；（2）3x28x3ax 1c 1ax 2c 2的形式,這里點(diǎn)悟： 我們要把多項(xiàng)式ax2bxc分解成形如a 1 a

17、 2a,c 1c 2c而a 1 c2a 2c 1b解：（1）2x25x32x1 x3；（2）3x28x33x1x3學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載點(diǎn)撥：二次項(xiàng)系數(shù)不等于 1 的二次三項(xiàng)式應(yīng)用十字相乘法分解時(shí),二次項(xiàng)系數(shù)的分解和常數(shù)項(xiàng)的分解隨機(jī)性較大,往往要試驗(yàn)多次, 這是用十字相乘法分解的難點(diǎn),要適當(dāng)增加練習(xí),積存體會(huì),才能提高速度和精確性例 11 ,把以下各式分解因式：（1）x 4 10 x 2 9；（2）7 x y 3 5 x y 2 2 x y ；（3） a 2 8 a 2 22 a 2 8 a 120點(diǎn)悟：（1）把 x 看作一整體,從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于 x 的二次三項(xiàng)式；（2）提取公因式 xy 后,原式

18、可轉(zhuǎn)化為關(guān)于 xy 的二次三項(xiàng)式；（3）以a2x8 a為整體,化為關(guān)于2a28a的二次三項(xiàng)式10 x29x21 x解：（1）49 x1 x1 x3 x3 （2）7xxy325 xxy22 xyxyy2y75 xy xy 17 xy 2 xy xy17 x7y2 （3）a28 a222a28 a120a28 a8a12a210a2a6 a28 a10 點(diǎn)撥： 要深刻懂得換元的思想,這可以幫忙我們準(zhǔn)時(shí)、精確地發(fā)覺(jué)多項(xiàng)式中到底把哪一個(gè)看成整體, 才能構(gòu)成二次三項(xiàng)式, 以順當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分解 同時(shí)要留意已分解的兩個(gè)因式是否能連續(xù)分解,課堂練習(xí)： 將多項(xiàng)式分解因式如能分解,要分解到不能再分解為止x27x6；3

19、x22x1；x25 x6；學(xué)習(xí)好資料4x25歡迎下載x9；15x223x8；x411 x212三、分組分解法分組分解法是針對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解的一種敏捷且有用的方法 2 2 定義：分組分解法,適用于四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式,例如 a b a b 沒(méi)有公 因式,又不能直接利用分式法分解, 但是假如將前兩項(xiàng)和后兩項(xiàng)分別結(jié)合,把 原多項(xiàng)式分成兩組；再提公因式,即可達(dá)到分解因式的目的；例如：a2b2ab =a2b2abab abababab1,這種利用分組來(lái)分解因式的方法叫分組分解法 . 原就： 用分組分解法把多項(xiàng)式分解因式,關(guān)鍵是分組后能顯現(xiàn)公因式或可 運(yùn)用公式 . 例 12,分解因式：（1）4x

20、224xyyy22z2；y3（2）a3a2b2a2b（3）2x2xy2x分析：對(duì)于四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式的因式分解,一般采納分組分解法, ；四項(xiàng)式一般采納“ 二、二” 或“ 三、一” 分組,五項(xiàng)式一般采納“ 三、二” 分 組,分組后再試用提公因式法、公式法或十字相乘法連續(xù)分解；答案：（1）2x學(xué)習(xí)好資料yz歡迎下載yz2x（三、一分組后再用平方差）（2）a2ba1a1（三、二分組后再提取公因式）3xy1（三、二、一分組后再用十字相乘法）（3）xyx24xy4y2x2y6. 練習(xí)： 分解因式： 運(yùn)用分解因式解決動(dòng)手操作題 動(dòng)手操作題是讓同學(xué)在實(shí)際操作的基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)有關(guān)的問(wèn)題這類題對(duì)同學(xué) 們的才能有

21、更高的要求,有利于培育同學(xué)樂(lè)于動(dòng)手、勤于摸索的意識(shí)和習(xí)慣,有利于培育同學(xué)的創(chuàng)新才能和實(shí)踐才能這類題目主要考查動(dòng)手操作才能,它包括裁剪、折疊、拼圖等不僅考查 動(dòng)手才能,仍考查想象才能,往往與面積、對(duì)稱性質(zhì)聯(lián)系在一起此類題目就 是通過(guò)拼圖,用不同的式子表示圖形面積,以達(dá)到把多項(xiàng)式分解因式的目的【例 8】 如某同學(xué)剪出如干個(gè)長(zhǎng)方形和正方形卡片,如圖 1所示,請(qǐng)運(yùn) 用拼圖的 方法,選取圖中相應(yīng)的種類和肯定數(shù)量的卡片拼成一個(gè)大長(zhǎng)方形,使它的面積等于 a 24ab3b 2,并依據(jù)你拼成的圖形的面積, 把此多項(xiàng)式分解 因式圖1 圖2 解：由于拼成一個(gè)面積等于a 24ab3b 2 的大長(zhǎng)方形,就要用一個(gè)邊長(zhǎng)為

22、a的正方形、 3 個(gè)邊長(zhǎng)為 b 的正方形和 4 個(gè)邊長(zhǎng)分別為 a,b 的長(zhǎng)方形,可以拼成如圖 2所示的圖形, 由此知長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)分別為ab和a 3b由面積可學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載知 a 24ab3b 2aba3b強(qiáng)化訓(xùn)練一、填空：1、如x22m3 x16是完全平方式,就 m的值等于 _；2、x2xmxn2就 m=_n=_ 3、2x3y2與12x6y的公因式是4、如xmyn=xy2xy2x2y4,就 m=_,n=_；5、在多項(xiàng)式m2n2,a2b2,x44y2,4s29t4中,可以用平方差公式分解因式的有_ ,其結(jié)果是 _；6、如x22m3x16是平方差形式,就m=_；7、x2_x2x2x_8、x2

23、6x_x3 2,x2_9x3 29、如9x2ky2是完全平方式,就k=_；10、如x2ax15x1 x15 就 a=_；二、分解因式：1 、x42x335x2 2 、3x63x23 、25x2y2學(xué)習(xí)好資料歡迎下載x24xy14y242yx24、5、x5x 6、9x436y27、ax2bx2bxaxba 8、x418x2819、x1 x2 x3 x424三、運(yùn)算：（ 1 ）0.753.6632 .662（ 2）412022120222224422856562（3）2學(xué)習(xí)好資料 歡迎下載小結(jié) 解因式分解題時(shí),第一考慮是否有公因式,假如有,先提公因式；假如沒(méi)有公因式是兩項(xiàng), 就考慮能否用平方差公式分解因式 . 是三項(xiàng)式考慮用完全平方式,最終,直到每一個(gè)因式都不能再分解為止 .一、挑選題復(fù) 習(xí) 及 作 業(yè)1. 假如x2pxqxa xb,那么 p 等于 AabB