2021-2022學(xué)年高二物理競賽課件：粒子被一維勢壘

1、粒子被一維勢壘2粒子被一維勢壘散射。當(dāng)粒子的能量 時，有一半粒子被反射回去，求粒子的質(zhì)量所滿足的方程。0aV0 x解：第一步分區(qū)寫出定態(tài)方程提示：這是個常規(guī)題，需要求出各區(qū)的波函數(shù)及反射系數(shù)，利用條件求解?？杉僭O(shè)并不對題目結(jié)果有影響。3第二步寫出各區(qū)定態(tài)方程解0aV0 x第三步利用邊界條件求反射系數(shù)有當(dāng) 時， 從而有此為質(zhì)量所滿足方程。解之得4一質(zhì)量為m的粒子，處在勢能為的一維勢場中運動，求粒子的本征能量和本征波函數(shù)。，為歸一化常數(shù)）本征函數(shù)為 其中 中，粒子的能量（提示：已知在勢場 另外，如果勢能變?yōu)樽兓瘑?？本征函?shù)呢？，本征能量發(fā)生補充例題：5學(xué)習(xí)要點 在經(jīng)典力學(xué)中的任一力學(xué)量 是坐標 和

2、 動量 的函數(shù)，它對應(yīng)量子力學(xué)中的厄米算符 。 的本征值為力學(xué)量的可測值。 如果粒子的波函數(shù)是力學(xué)量算符 的本征函數(shù), 本征值為 ， 則測量該粒子的力學(xué)量 時，得 如果粒子的波函數(shù)不是力學(xué)量算符 的 本征函數(shù)，則測量該粒子的力學(xué)量 時，得到 的是平均值：6 算符 的厄米共軛算符 的定義是其中 與 是任意波函數(shù)。 算符 的厄米算符的定義是其中 與 是任意波函數(shù)。比較以上兩式可以看出， 如果滿足條件： 則是厄米算符。厄米算符具有如下性質(zhì)：(1)本征值是實數(shù)；(2)本征函數(shù)具有正交性。7設(shè)力學(xué)量算符 的本征函數(shù)為 ，相應(yīng)的本征值為 ：如果 ，則 是正交的：如果 ，則 不一定是正交的。設(shè)本征值相同的

3、個本征函數(shù)相互不正交，可將它們作線性組合，一定可以得到 個新的相互正交并且歸一的本征函數(shù)。因此厄米算符的本征函數(shù)一定可以使之滿足正交歸一條件8 在一定條件下，厄米算符本征函數(shù)具有完備性厄米算符 的本征函數(shù)具有完備性是指任意波函數(shù) 可以通過 的所有本征函數(shù)全體集合 表示為其中如果 的個數(shù)為有限的 ，則是完備的。如果 ，則在本征值 無上限的條件下 是完備的。 厄米算符 與 存在共同本征函數(shù)完備系的充 分必要條件是 與 對易。9量子力學(xué)中的基本對易關(guān)系是算符函數(shù)的定義是其中10 算符 與 的不確定關(guān)系為其中不確定關(guān)系的一個重要例子是11 一個質(zhì)量為 的粒子處于 的無限深 方勢阱中， 時，歸一化波函數(shù)

4、為求(1)在后來某一時刻 的波函數(shù)；(2)在 與 時體系的平均能量；(3)在 時粒子處于 內(nèi)的幾率。提示：所給波函數(shù)是體系的定態(tài)波函數(shù)嗎？關(guān)鍵：利用有12 已知一維運動的粒子在態(tài) 中坐標 和動量 的平均值分別為 和 ，求在態(tài)中 和 的平均值。提示：首先要理解題意，同時需要知道如何通過變量代換 來使用題目所給的條件。以求動量的平均值為例13 設(shè)一維粒子由 處以平面波 入 射，在原點處受到勢能 的作用。(1)寫出波函數(shù)的一般表達式；(2)確定粒子在原 點處滿足的邊界條件；(3)求出該粒子的透射 系數(shù)和反射系數(shù)；(4)分別指出 與 時的量子力學(xué)效應(yīng)。提示：這是一個非?；镜念}目，應(yīng)該掌握！x0解：(1)波函數(shù)的一般表達式(2)在原點處滿足的邊界條件14x0(3)求透射系數(shù)和反射系數(shù)其實就是根據(jù)上述方程求B,C從而求得(4)當(dāng) 時，是 勢壘，會發(fā)生Tunelling Effect. 當(dāng) 時，是 勢阱，量子力學(xué)認為粒子有一 定