3.3二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能

1、PAGE PAGE 603.3 二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)及動(dòng)態(tài)性能3.3.1 二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)形式及分類常見二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-所示其中，為環(huán)節(jié)參數(shù)。系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為 化成標(biāo)準(zhǔn)形式 （首1型） （3-5） （尾1型） （3-6）式中，。 、分別稱為系統(tǒng)的阻尼比和無阻尼自然頻率，是二階系統(tǒng)重要的特征參數(shù)。二階系統(tǒng)的首1標(biāo)準(zhǔn)型傳遞函數(shù)常用于時(shí)域分析中，頻域分析時(shí)則常用尾1標(biāo)準(zhǔn)型。二階系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 其特征特征根為 若系統(tǒng)阻尼比取值范圍不同，則特征根形式不同，響應(yīng)特性也不同，由此可將二階系統(tǒng)分類，見表3-3。表3-3 二階系統(tǒng)（按阻尼比）分類表分類特征根特征根分布模態(tài)過阻尼臨界阻尼欠阻尼零阻尼

2、數(shù)學(xué)上，線性微分方程的解由特解和齊次微分方程的通解組成。通解由微分方程的特征根決定，代表自由響應(yīng)運(yùn)動(dòng)。如果微分方程的特征根是，且無重根，則把函數(shù)，稱為該微分方程所描述運(yùn)動(dòng)的模態(tài)，也叫振型。如果特征根中有多重根，則模態(tài)是具有，形式的函數(shù)。如果特征根中有共軛復(fù)根，則其共軛復(fù)模態(tài)與可寫成實(shí)函數(shù)模態(tài)與。 每一種模態(tài)可以看成是線性系統(tǒng)自由響應(yīng)最基本的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，線性系統(tǒng)自由響應(yīng)則是其相應(yīng)模態(tài)的線性組合。3.3.2 過阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算設(shè)過阻尼二階系統(tǒng)的極點(diǎn)為 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換 進(jìn)行拉氏反變換，得出系統(tǒng)單位階躍響應(yīng) （3-7）過阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)是無振蕩的單調(diào)上升曲線。根據(jù)式（3-

3、7），令取不同值，可分別求解出相應(yīng)的無量綱調(diào)節(jié)時(shí)間，如圖3-7所示。圖中為參變量，由 圖 3-7 過阻尼二階系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間特性可解出 當(dāng)（或）很大時(shí)，特征根比遠(yuǎn)離虛軸，模態(tài)很快衰減為零，系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間主要由對應(yīng)的模態(tài)決定。此時(shí)可將過阻尼二階系統(tǒng)近似看作由確定的一階系統(tǒng)，估算其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。圖3-7曲線體現(xiàn)了這一規(guī)律性。例3-3 某系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)，計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解 查圖3-7可得 ，計(jì)算得 圖3-8 給出系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線。例3-4 角速度隨動(dòng)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-9所示。圖中，為開環(huán)增益，s為伺服電動(dòng)機(jī)時(shí)間常數(shù)。若要求系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)無超調(diào)，且調(diào)節(jié)時(shí)間s，問應(yīng)取多大？解 根據(jù)題意，考

4、慮使系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間盡量短，應(yīng)取阻尼比。由圖3-9，令閉環(huán)特征方程 比較系數(shù)得 查圖3-7，可得系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間s，滿足系統(tǒng)要求。3.3.3 欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算1欠阻尼二階系統(tǒng)極點(diǎn)的兩種表示方法欠阻尼二階系統(tǒng)的極點(diǎn)可以用如圖3-10所示的兩種形式表示。（1）直角坐標(biāo)表示 （3-8）（2）“極”坐標(biāo)表示 （3-9）2欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)由式（3-5），可得系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的拉氏變換為 系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)為 （3-10） 系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)為 （3-11）典型欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)如圖3-11所示。響應(yīng)曲線位于兩條包絡(luò)線之間，如圖3-12所示。包絡(luò)線收斂速率取決于（特征根實(shí)部之模）

5、，響應(yīng)的阻尼振蕩頻率取決于（特征根虛部）。響應(yīng)的初始值，初始斜率，終值。3欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)計(jì)算（1）峰值時(shí)間：令，利用式（3-11）可得 即有 由圖3-1，并根據(jù)峰值時(shí)間定義，可得 （3-12）（2）超調(diào)量：將式（3-12）代入式（3-10）整理后可得 （3-13）可見，典型欠阻尼二階系統(tǒng)的超調(diào)量只與阻尼比有關(guān)，兩者的關(guān)系如圖3-13所示。圖3-13 欠阻尼二階系統(tǒng)與的 關(guān)系曲線 （3）調(diào)節(jié)時(shí)間：用定義求解系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間比較麻煩，為簡便計(jì)，通常按階躍響應(yīng)的包絡(luò)線進(jìn)入5誤差帶的時(shí)間計(jì)算調(diào)節(jié)時(shí)間。令可解得 （ ） （3-14）式（3-12）（3-14）給出典型欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的

6、計(jì)算公式?？梢?，典型欠阻尼二階系統(tǒng)超調(diào)量只取決于阻尼比，而調(diào)節(jié)時(shí)間則與阻尼比和自然頻率均有關(guān)。按式（3-14）計(jì)算得出的調(diào)節(jié)時(shí)間偏于保守。一定時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間實(shí)際上隨阻尼比還有所變化。圖3-14給出當(dāng)時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間與阻尼比之間的關(guān)系曲線?？煽闯?，當(dāng)（）時(shí)，實(shí)際調(diào)節(jié)時(shí)間最短，5，超調(diào)量又不大，所以一般稱為“最佳阻尼比”。4典型欠阻尼二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能、系統(tǒng)參數(shù)及極點(diǎn)分布之間的關(guān)系根據(jù)式（3-13）、式（3-14）及式（3-8）、式（3-9），可以進(jìn)一步討論系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能、系統(tǒng)參數(shù)及閉環(huán)極點(diǎn)分布間的規(guī)律性。當(dāng)固定，增加（減小）時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)在平面按圖3-15中圓弧軌跡（I）移動(dòng)，對應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量減?。煌瑫r(shí)由于極

7、點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，增加，調(diào)節(jié)時(shí)間減小。圖3-16(a)給出=1，改變時(shí)的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)過程。當(dāng)固定，增加時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)在平面按圖3-15中的射線軌跡（II）移動(dòng)，對應(yīng)系統(tǒng)超調(diào)量不變；由于極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸，增加，調(diào)節(jié)時(shí)間減小。圖3-16(b)給出了=0.5()，變化時(shí)的系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)過程。一般實(shí)際系統(tǒng)中，是系統(tǒng)的固定參數(shù)，不能隨意改變，而開環(huán)增益是各環(huán)節(jié)總的傳遞系數(shù)，可以調(diào)節(jié)。增大時(shí)，系統(tǒng)極點(diǎn)在平面按圖3-15中的垂直線（III）移動(dòng)，阻尼變小，超調(diào)量會增加。圖3-16(c)給出，變化時(shí)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的過程。 圖3-16 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)(a)=1,改變時(shí)的階躍響應(yīng)；(b) =0.5，改變時(shí)的階躍

8、響應(yīng)；(c)T=1,K改變時(shí)的階躍響應(yīng)綜合上述討論：要獲得滿意的系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能，應(yīng)該適當(dāng)選擇參數(shù)，使二階系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于線附近，使系統(tǒng)具有合適的超調(diào)量，并根據(jù)情況盡量使其遠(yuǎn)離虛軸，以提高系統(tǒng)的快速性。掌握系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能隨參數(shù)及極點(diǎn)位置變化的規(guī)律性，對于分析設(shè)計(jì)系統(tǒng)是十分重要的。例3-5 控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-17所示。（1）開環(huán)增益時(shí)，求系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)；（2）確定使系統(tǒng)阻尼比的值。解 （1）時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù) ， (2) 令得 例3-6 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-19所示。求開環(huán)增益分別為10，0.5，0.09時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)。解 當(dāng)=10，0.5時(shí)，系統(tǒng)為欠阻尼狀態(tài)，當(dāng)=0.09時(shí)，系統(tǒng)為過

9、阻尼狀態(tài)，應(yīng)按相應(yīng)的公式計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)，列表計(jì)算，見表3-4。圖3-20（a）,（b）分別給出了不同值時(shí)的系統(tǒng)的極點(diǎn)分布和相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)曲線?？梢姡{(diào)整系統(tǒng)參數(shù)可以使系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能有所改善，但改善的程度有限；而且，改善動(dòng)態(tài)性能和改善穩(wěn)態(tài)性能對的要求相互矛盾，一般只能綜合考慮，取折中方案。用后面介紹的速度反饋或比例加微分控制可以進(jìn)一步提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 圖3-20 時(shí)系統(tǒng)極點(diǎn)的分布及單位階躍響應(yīng)表3-4 例36的計(jì)算結(jié)果計(jì)算100.50.09開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征參數(shù)特征根 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)例3-7 二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖及單位階躍響應(yīng)分別如圖3-21(a), (b)所示。試確定系統(tǒng)參數(shù)的值

10、。解 由系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可得 （3-15）由單位階躍響應(yīng)曲線有 （3-16） 聯(lián)立求解得 （3-17）將式（3-17）代入式（3-15）得因此有。關(guān)于二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)和斜坡響應(yīng)的討論，方法與一階系統(tǒng)類似，在此不再贅述。表3-5中給出了不同阻尼比下二階系統(tǒng)的典型輸入響應(yīng)公式及曲線，供查閱。輸入輸出 ()響應(yīng)曲線 表3-5 二階系統(tǒng)典型響應(yīng)一覽表3.3.4 改善二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的措施采用測速反饋和比例加微分控制方式，可以有效改善二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。例3-8 在如圖3-22(a)所示系統(tǒng)中，分別采用測速反饋和比例加微分控制，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖分別如圖3-22(b)和(c)所示。其中。分別寫出它們各自的開環(huán)傳遞函

11、數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)，計(jì)算出動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)（，）并進(jìn)行對比分析。解 圖3-22（a）、b）中的系統(tǒng)是典型欠阻尼二階系統(tǒng)，其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)（，）按式（3-13）、式（3-14）計(jì)算。而圖3-22(c)表示的系統(tǒng)有一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)，不符合上述公式應(yīng)用的條件。將各系統(tǒng)的性能指標(biāo)的計(jì)算及比較列于表3-6中。圖3-22所示的系統(tǒng)可以用表3-7中相應(yīng)的公式（或用MATLAB）計(jì)算其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)?？梢钥闯?，采用測速反饋和比例加微分控制后，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能得到了明顯改善。表3-6 原系統(tǒng)、測速反饋和比例加微分控制方式下系統(tǒng)性能的計(jì)算及比較系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖圖3-22(a)圖3-22(b)圖3-22(c)開環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)系統(tǒng)參

12、數(shù)0.1580.50.53.163.163.16開環(huán)零點(diǎn)-4.63-4.63極點(diǎn)0，-0，-0，-閉環(huán)零點(diǎn)-4.63極點(diǎn)-0.5j3.12-1.58j2.74-1.58j2.74動(dòng)態(tài)性能1.011.151.056016.32372.22.1從物理本質(zhì)上講，圖3-22(b)系統(tǒng)引入速度反饋，相當(dāng)于增加了系統(tǒng)的阻尼，使系統(tǒng)的振蕩性得到抑制，超調(diào)量減??；圖3-22(c)所示系統(tǒng)采用了比例加微分控制，微分信號有超前性，相當(dāng)于系統(tǒng)的調(diào)節(jié)作用提前，阻止了系統(tǒng)的過調(diào)。相對于原系統(tǒng)而言，兩種方法均可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。實(shí)際使用中，比例加微分裝置一般串聯(lián)在前向通道信號功率較弱的地方，需要放大器進(jìn)行信號放大；而

13、反饋則是從大功率的輸出端反饋到前端信號較弱的地方，一般不需要信號放大。從效果上看，由于比例加微分環(huán)節(jié)是高通濾波器，會放大噪聲，影響系統(tǒng)正常工作；而測速反饋不會有這樣的問題。從經(jīng)濟(jì)角度考慮，比例加微分實(shí)現(xiàn)簡單，費(fèi)用低；測速反饋裝置價(jià)格高。實(shí)際采用哪一種方法，應(yīng)根據(jù)具體情況適當(dāng)選擇。1加開環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響比較圖3-22(a)和(b)所示兩系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)可以看出，后者比前者多一個(gè)開環(huán)零點(diǎn)，因而影響了系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項(xiàng)式，改變了閉環(huán)極點(diǎn)的位置（見圖3-23）。顯然，圖3-22(b)所示系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)較圖3-22(a)所示系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸（相應(yīng)調(diào)節(jié)時(shí)間?。?，且角?。▽?yīng)阻尼比較大，超調(diào)量

14、較?。?，因而動(dòng)態(tài)性能優(yōu)于圖3-22(a)所示系統(tǒng)。 圖23 例3-8中三個(gè)系統(tǒng)的閉環(huán)零極點(diǎn)分布及單位階躍響應(yīng)附加開環(huán)零點(diǎn)是通過改變閉環(huán)極點(diǎn)（改變模態(tài)）來影響閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的。2附加閉環(huán)零點(diǎn)對系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響圖3-22(b)，(c)兩系統(tǒng)有相同的開環(huán)傳遞函數(shù)，只是閉環(huán)傳遞函數(shù)中后者較前者多一個(gè)閉環(huán)零點(diǎn)。附加閉環(huán)零點(diǎn)不會影響閉環(huán)極點(diǎn)，因而不會影響單位階躍響應(yīng)中的各模態(tài)。但它會改變單位階躍響應(yīng)中各模態(tài)的加權(quán)系數(shù)，由此影響系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。附加閉環(huán)零點(diǎn)是通過改變單位階躍響應(yīng)中各模態(tài)的加權(quán)系數(shù)影響閉環(huán)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的。將圖3-22(c)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)等效分解如圖3-24所示。從信號的合成關(guān)系上可見，圖3-22(c)所示系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是在圖3-22(b)系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)基礎(chǔ)上疊加了一個(gè)而成的。即有明顯看出，附加閉環(huán)零點(diǎn)會使系統(tǒng)的峰值