朱全民專題網(wǎng)絡(luò)流算法

1、圖論算法 -最大流問題長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)朱 全 民 運(yùn)輸網(wǎng)絡(luò)現(xiàn)在想將一些物資從S運(yùn)抵T，必須經(jīng)過一些中轉(zhuǎn)站。連接中轉(zhuǎn)站的是公路，每條公路都有最大運(yùn)載量。 每條弧代表一條公路，弧上的數(shù)表示該公路的最大運(yùn)載量。最多能將多少貨物從S運(yùn)抵T？ 4248473 621STV1V2V3V4公路運(yùn)輸圖基本概念這是一個(gè)典型的網(wǎng)絡(luò)流模型。為了解答此題，我們先了解網(wǎng)絡(luò)流的有關(guān)定義和概念。若有向圖G=(V,E)滿足下列條件： 有且僅有一個(gè)頂點(diǎn)S，它的入度為零，即d-(S) = 0，這個(gè)頂點(diǎn)S便稱為源點(diǎn)，或稱為發(fā)點(diǎn)。有且僅有一個(gè)頂點(diǎn)T，它的出度為零，即d+(T) = 0，這個(gè)頂點(diǎn)T便稱為匯點(diǎn)，或稱為收點(diǎn)。每一條弧都有非負(fù)

2、數(shù)，叫做該邊的容量。邊(vi, vj)的容量用cij表示。則稱之為網(wǎng)絡(luò)流圖，記為G = (V, E, C)可行流可行流對(duì)于網(wǎng)絡(luò)流圖G，每一條弧(i,j)都給定一個(gè)非負(fù)數(shù)fij，這一組數(shù)滿足下列三條件時(shí)稱為這網(wǎng)絡(luò)的可行流，用f表示它。1. 每一條弧(i,j)有fijCij2. 流量平衡除源點(diǎn)S和匯點(diǎn)T以外的所有的點(diǎn)vi，恒有： j(fij)= k(fjk)該等式說明中間點(diǎn)vi的流量守恒，輸入與輸出量相等。3.對(duì)于源點(diǎn)S和匯點(diǎn)T有 ，i(fSi)= j(fjT)= V(f)可改進(jìn)路 給定一個(gè)可行流f=fij。若fij = Cij，稱為飽和??；否則稱為非飽和弧。若fij = 0，稱為零流??；否則稱為

3、非零流弧。定義一條道路P，起點(diǎn)是S、終點(diǎn)是T。把P上所有與P方向一致的弧定義為正向弧，正向弧的全體記為P+；把P上所有與P方向相悖的弧定義為反向弧，反向弧的全體記為P-。譬如在圖中，P = (S, V1, V2, V3, V4, T)，那么P+ = , , , P- = 給定一個(gè)可行流f，P是從S到T的一條道路，如果滿足：對(duì)于任意,fij是非飽和流，并且 P+ 或 fij是非零流，并且 P-那么就稱P是f的一條可改進(jìn)路。（有些書上又稱：可增廣軌）之所以稱作“可改進(jìn)”，是因?yàn)榭筛倪M(jìn)路上弧的流量通過一定的規(guī)則修改，可以令整個(gè)流量放大。 割切 G = (V, E, C)是已知的網(wǎng)絡(luò)流圖，設(shè)U是V的一

4、個(gè)子集，W = VU，滿足SU，TW。即U、W把V分成兩個(gè)不相交的集合，且源點(diǎn)和匯點(diǎn)分屬不同的集合。對(duì)于弧尾在U，弧頭在W的弧所構(gòu)成的集合稱之為割切，用（U，W）表示。把割切（U，W）中所有弧的容量之和叫做此割切的容量，記為C（U，W），即：上例中，令U = S, V1，則W = V2, V3, V4, T，那么C(U, W) = + + + =8+4+4+1=17割切上例中，令U = S, V1，則W = V2, V3, V4, T，那么，C(U, W) = + + + =8+4+4+1=17流量算法的基本理論定理1：對(duì)于已知的網(wǎng)絡(luò)流圖，設(shè)任意一可行流為f，任意一割切為(U, W)，必有：V

5、(f) C(U, W)。/切割將網(wǎng)絡(luò)流圖分為兩部分,所以最大流不可能大于這兩部分的連接值即C(U,W)定理2：可行流f是最大流的充分必要條件是：f中不存在可改進(jìn)路。定理3：整流定理。如果網(wǎng)絡(luò)中所有的弧的容量是整數(shù)，則存在整數(shù)值的最大流。定理4：最大流最小割定理。最大流等于最小割，即max V(f) = min C(U, W)。 最大流算法第1步，令x=(xij)是任意整數(shù)可行流，可能是零流，給s一個(gè)永久標(biāo)號(hào)(-, )。第2步(找增廣軌)，如果所有標(biāo)號(hào)都已經(jīng)被檢查，轉(zhuǎn)到第4步。 找到一個(gè)標(biāo)號(hào)但未檢查的點(diǎn)i, 并做如下檢查，對(duì)每一個(gè)弧(i,j),如果xij0,且j未標(biāo)號(hào)，則給j一個(gè)標(biāo)號(hào)(-i, (

6、j) ),其中， (j)=minxji , (i) 第三步(增廣)，由點(diǎn)t開始，使用指示標(biāo)號(hào)構(gòu)造一個(gè)增廣路,指示標(biāo)號(hào)的正負(fù)則表示通過增加還是減少弧流量來增加還是減少弧流量來增大流量，抹去s點(diǎn)以外的所有標(biāo)號(hào)，轉(zhuǎn)第二步繼續(xù)找增廣軌。第四步(構(gòu)造最小割)，這時(shí)現(xiàn)行流是最大的，若把所有標(biāo)號(hào)的集合記為S，所有未標(biāo)號(hào)點(diǎn)的集合記為T,便得到最小容量割(S,T)。實(shí)例復(fù)雜度分析設(shè)圖中弧數(shù)為m,每找一條增廣軌最多需要進(jìn)行2m次弧的檢查。如果所有弧的容量為整數(shù)，則最多需要v(其中v為最大流)次增廣，因此總的計(jì)算量為O(mv)。procedure maxflow; 最大流var i, j, delta, x : i

7、nteger; last : tline; 可改進(jìn)路中的前趨 check : array0 . maxn of boolean; 檢查數(shù)組begin repeat fillchar(last, sizeof(last), 0); fillchar(check, sizeof(check), false); last1 := maxint; repeat i := 0; repeat inc(i) until (i n) or (lasti 0) and not checki; 找到一個(gè)已檢查而未標(biāo)號(hào)的點(diǎn) if i n then break; for j := 1 to n do if last

8、j = 0 then if flowi, j 0 then lastj := -i; 反向弧 checki := true; until lastn 0; if lastn = 0 then break; delta := maxint; i := n; repeat j := i; i := abs(lastj); if lastj 0 then x := limiti, j - flowi, j else x := flowj, i; if x 0 then inc(flowi, j, delta) else dec(flowj, i, delta); until i = 1; 放大網(wǎng)絡(luò)流

9、 until false;end;費(fèi)用流流最重要的應(yīng)用是盡可能多的分流物資，這也就是我們已經(jīng)研究過的最大流問題。然而實(shí)際生活中，最大配置方案肯定不止一種，一旦有了選擇的余地，費(fèi)用的因素就自然參與到?jīng)Q策中來。右圖是一個(gè)最簡(jiǎn)單的例子：弧上標(biāo)的兩個(gè)數(shù)字第一個(gè)是容量，第二個(gè)是費(fèi)用。這里的費(fèi)用是單位流量的花費(fèi)，譬如fs1=4，所需花費(fèi)為3*4=12。容易看出，此圖的最大流（流量是8）為：fs1 = f1t = 5, fs2 = f2t = 3。所以它的費(fèi)用是：5*3+5*4+3*7+3*2 = 62。(6,3)(5,4)(3,7)(8,2)STV1V2費(fèi)用流問題費(fèi)用流定義設(shè)有帶費(fèi)用的網(wǎng)絡(luò)流圖G = (V

10、, E, C, W)，每條弧對(duì)應(yīng)兩個(gè)非負(fù)整數(shù)Cij、Wij，表示該弧的容量和費(fèi)用。若流f滿足：流量V(f)最大。滿足a的前提下，流的費(fèi)用Cost(f) =E (fij * Wij)最小。就稱f是網(wǎng)絡(luò)流圖G的最小費(fèi)用最大流。最小費(fèi)用可改進(jìn)路設(shè)P是流f的可改進(jìn)路，定義P+ Wij - P- Wij 為P的費(fèi)用(為什么如此定義？)如果P是關(guān)于f的可改進(jìn)路中費(fèi)用最小的，就稱P是f的最小費(fèi)用可改進(jìn)路。 算法求最小費(fèi)用最大流的基本思想是貪心法。即：對(duì)于流f，每次選擇最小費(fèi)用可改進(jìn)路進(jìn)行改進(jìn)，直到不存在可改進(jìn)路為止。這樣的得到的最大流必然是費(fèi)用最小的。算法可描述為：第1步. 令f為零流。第2步. 若無最小費(fèi)

11、用可改進(jìn)路，轉(zhuǎn)第5步；否則找到最小費(fèi)用可改進(jìn)路，設(shè)為P。第3步. 根據(jù)P求delta（改進(jìn)量）。第4步. 放大f。轉(zhuǎn)第2步。第5步. 算法結(jié)束。此時(shí)的f即最小費(fèi)用最大流。 如何求最小費(fèi)用可改進(jìn)路 設(shè)帶費(fèi)用的網(wǎng)絡(luò)流圖G = (V, E, C, W)，它的一個(gè)可行流是f。我們構(gòu)造帶權(quán)有向圖B = (V, E)，其中：V = V。若E，fijCij，那么E，權(quán)為Wij。若E，fij0，那么E，權(quán)為-Wij。顯然，B中從S到T的每一條道路都對(duì)應(yīng)關(guān)于f的一條可改進(jìn)路；反之，關(guān)于f的每條可改進(jìn)路也能對(duì)應(yīng)B中從S到T的一條路徑。即兩者存在一一映射的邏輯關(guān)系。故若B中不存在從S到T的路徑，則f必然沒有可改進(jìn)路

12、；不然，B中從S到T的最短路徑即為f的最小費(fèi)用可改進(jìn)路?，F(xiàn)在的問題變成：給定帶權(quán)有向圖B = (V, E)，求從S到T的一條最短路徑。迭代法求最短路經(jīng)考慮到圖中存在權(quán)值為負(fù)數(shù)的弧，不能采用Dijkstra算法；Floyd算法的效率又不盡如人意所以，這里采用一種折衷的算法：迭代法。設(shè)Shorti表示從S到i頂點(diǎn)的最短路徑長(zhǎng)度；從S到頂點(diǎn)i的最短路徑中，頂點(diǎn)i的前趨記為L(zhǎng)asti。那么迭代算法描述如下：（為了便于描述，令n = |V|，S的編號(hào)為0，T的編號(hào)為n+1）step 1. 令Shorti +（1in+1），Short0 0。step 2. 遍歷每一條弧。若Shorti + Shortj，

13、則令Shortj Shorti + ，同時(shí)Lastj i。重復(fù)做step 2直到不存在任何任何弧滿足此條件為止。step 3. 算法結(jié)束。若Shortn + 1= +，則不存在從S到T的路徑；否則可以根據(jù)Last記錄的有關(guān)信息得到最短路徑。一次迭代算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(kn2)，其中k是一個(gè)不大于n的變量。在費(fèi)用流的求解過程中，k大部分情況下都遠(yuǎn)小于n。procedure costflow; 求最小費(fèi)用最大流var i, j, x, delta : integer; best, last : tline; best：最短路長(zhǎng)度；last：可改進(jìn)路中的前趨頂點(diǎn) more : boolean;be

14、gin repeat fillword(best, sizeof(best) shr 1, maxint); fillchar(last, sizeof(last), 0); last1 := maxint; best1 := 0; 賦初值 repeat more := false; for i := 1 to n do if besti maxint then for j := 1 to n do begin if (flowi, j limiti, j) and (besti + costi, j 0) and (besti - costj, i 0 then x := limiti, j

15、 - flowi, j else x := flowj, i; if x 0 then inc(flowi, j, delta) else dec(flowj, i, delta); until i = 1; until false; 根據(jù)改進(jìn)量放大流end; 思維發(fā)散與探索 可改進(jìn)路費(fèi)用：“遞增！遞增？”設(shè)f從零流到最大流共被改進(jìn)了k次，每i次選擇的可改進(jìn)路的費(fèi)用為pi，那么會(huì)不會(huì)有p1p2p3pk呢？迭代法：“小心死循環(huán)！嘿嘿”迭代法會(huì)出現(xiàn)死循環(huán)嗎？也就是說，構(gòu)造的帶權(quán)有向圖B中會(huì)存在負(fù)回路嗎？費(fèi)用：“你在乎我是負(fù)數(shù)嗎？”容量：“我管的可不僅是弧?！本W(wǎng)絡(luò)流圖中的“容量”都是對(duì)弧而言的，但若

16、是給每個(gè)頂點(diǎn)也加上一個(gè)容量限制：即通過此頂點(diǎn)的流量的上限；任務(wù)仍然是求從S到T的最小費(fèi)用最大流。你能解決嗎？有上下界的最大流 上面討論的網(wǎng)絡(luò)流都只對(duì)每條弧都限定了上界（其實(shí)其下界可以看成0），現(xiàn)在給每條弧加上一個(gè)下界限制Aij (即必須滿足Aijfij)?；∩蠑?shù)字對(duì)第一個(gè)是上界，第二個(gè)是下界。若是撇開下界不看，此圖的最大流如圖所示，流量是6；但若是加入了下界的限制，它的最大流量就只有5了。 (3,0)(3,0)(3,0)(3,0)(10,1)原問題33330(a)32231(b)增廣怎樣找可行流一種自然的想法是去掉下界，將其轉(zhuǎn)化為只含上界的網(wǎng)絡(luò)流圖。這種美好的愿望是可以實(shí)現(xiàn)的。具體方法如下：設(shè)

17、原網(wǎng)絡(luò)流圖為G = (V, E, C, A)，構(gòu)造不含下界的網(wǎng)絡(luò)流圖G = (V, E, C)：V = VS, T對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)x，令h-(x)= E AiX ，若h-(x)0，就添加一條弧，其上界為h-(x) 。對(duì)每個(gè)頂點(diǎn)x，令h+(x)= E AXi ，若h+(x)0，就添加一條弧，其上界為h+(x) 。對(duì)于任何E，都有E，其上界Cij = Cij Aij。新增E，其上界CTS = +。在G中以S為源點(diǎn)、T為匯點(diǎn)求得最大流f。若f中從S發(fā)出的任意一條弧是非飽和弧，則原網(wǎng)絡(luò)流圖沒有可行流。否則可得原圖的一個(gè)可行流f = f + A，即所有的fij = f ij + Aij 。然后再求可改進(jìn)路（反

18、向弧必須滿足fijAij，而非fij0），不斷放大f，直到求出最大流。多源點(diǎn)、多匯點(diǎn)的最大流已知網(wǎng)絡(luò)流圖有n個(gè)源點(diǎn)S1、S2、Sn，m個(gè)匯點(diǎn)T1、T2、Tm，求該圖的最大流。這樣的問題稱為多源點(diǎn)、多匯點(diǎn)最大流。它的解決很簡(jiǎn)單：增設(shè)一個(gè)“超級(jí)源”S，對(duì)每個(gè)源點(diǎn)Si，新增弧，容量為無窮大。增設(shè)一個(gè)“超級(jí)匯”T，對(duì)每個(gè)匯點(diǎn)Ti，新增弧，容量為無窮大。以S為源點(diǎn)、T為匯點(diǎn)求最大流f。將f中的S和T去掉，即為原圖的最大流。頂點(diǎn)有容量限制的最大流對(duì)除源點(diǎn)和匯點(diǎn)之外的每個(gè)頂點(diǎn)i拆分成兩個(gè)頂點(diǎn)i和i。新增一條弧，其容量為點(diǎn)i的流量限制。對(duì)于原圖中的弧，我們將其變換成。對(duì)變換后的圖求最大流即可。這里我們運(yùn)用到了

19、化歸的思想：將未知的“點(diǎn)限制”問題轉(zhuǎn)化為已知的“邊限制”問題 網(wǎng)絡(luò)流與二部圖的匹配設(shè)二部圖為G = (X, Y, E)。增設(shè)點(diǎn)S，對(duì)于所有iX，新增弧，容量為1；增設(shè)點(diǎn)T，對(duì)于所有iY，新增一條弧，容量也為1。原圖中所有的弧予以保留，容量均為+。對(duì)新構(gòu)造出來的網(wǎng)絡(luò)流圖以S為源點(diǎn)、T為匯點(diǎn)求最大流：流量即為最大匹配數(shù)；若弧（iX，jY）的流量非零，它就是一條匹配邊。二部圖最大匹配問題解決。那么二部圖的最佳匹配問題又如何？仍然按照上述方法構(gòu)圖。同時(shí)令原圖中弧的費(fèi)用保持不變；新增弧的費(fèi)用置為0。然后以S為源點(diǎn)、T為匯點(diǎn)求最小費(fèi)用最大流即可。最大流的費(fèi)用即為原二部圖最佳匹配的費(fèi)用。 餐巾問題(HNOI

20、2001XB)某軟件公司正在規(guī)劃一項(xiàng)n天的軟件開發(fā)計(jì)劃，根據(jù)開發(fā)計(jì)劃第i天需要ni個(gè)軟件開發(fā)人員，為了提高工作效率，公司給軟件人員提供了很多的服務(wù)，其中一項(xiàng)服務(wù)就是要為每個(gè)開發(fā)人員每天提供一塊消毒毛巾，這種毛巾使用一天后必須再做消毒處理后才能使用。消毒方式有兩種，A種方式的消毒時(shí)間需要a天時(shí)間，B中方式的消毒需要b天時(shí)間（ba），A種消毒方式的費(fèi)用為每塊毛巾fA，B種消毒方式的費(fèi)用為每塊毛巾fB，而買一塊新毛巾的費(fèi)用為f（新毛巾是已消毒的，當(dāng)天可以使用）；而且ffAfB。公司經(jīng)理正在規(guī)劃在這n天中，每天買多少塊新毛巾、每天送多少塊毛巾進(jìn)行A種消毒和每天送多少塊毛巾進(jìn)行B種消毒。當(dāng)然，公司經(jīng)理希

21、望費(fèi)用最低。你的任務(wù)就是：求出提供毛巾服務(wù)的最低總費(fèi)用。輸入文件：第1行為n, a, b, f, fA, fB. 第2行為n1, n2, , nn（注：1f, fA, fB60, 1n1000）輸出文件：最少費(fèi)用輸入輸出示例：input.txt output.txt4 1 2 3 2 1 388 2 1 6分析公司第i天需要ni 塊毛巾，可以把這ni 塊毛巾的來源列舉如下：新買的毛巾。第i a 1天之前通過A種方式消毒的毛巾。第i b 1天之前通過B種方式消毒的毛巾。我們構(gòu)造帶費(fèi)用的網(wǎng)絡(luò)流圖G = (V, E, C)。V = S, V1, V2, , Vn, V1, V2, , Vn, T，其

22、中S是源點(diǎn)、T是匯點(diǎn)。E中包含如下幾類弧：（1in），容量為ni，費(fèi)用為0。表示第i天需要ni塊毛巾。（1in），容量為正無窮大，費(fèi)用為f。該弧的流量表示第i天通過方式a得到的毛巾數(shù)量。（a+2in），容量為正無窮大，費(fèi)用為fA。該弧的流量表示第i天通過方式b得到的毛巾數(shù)量。（b+2in），容量為正無窮大，費(fèi)用為fB。該弧的流量表示第i天通過方式c得到的毛巾數(shù)量。（2in），容量為正無窮大，費(fèi)用為0。由于題目中沒有說消毒完的毛巾要馬上使用，所以第3天就消毒好的毛巾可以暫且留著，到第7天、第8天再使用也可以。因此這里增設(shè)此弧。（1in），容量為ni，費(fèi)用為0。然后對(duì)這個(gè)網(wǎng)絡(luò)流圖以S為源點(diǎn)、T為匯

23、點(diǎn)的求最小費(fèi)用最大流即可。求得的最大流費(fèi)用就是原問題的答案。 Agent問題 (ctsc2001)有n名雙重間諜潛伏在敵軍內(nèi)部，分別編號(hào)為1, 2, 3, , n。在給定的時(shí)間內(nèi)，任意兩人之間至多只進(jìn)行一次點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的雙人聯(lián)系。數(shù)據(jù)將給你一份表格，表格中將提供任意兩位間諜i和j之間進(jìn)行聯(lián)系的安全程度，用一個(gè)0，1的實(shí)數(shù)Sij表示；以及他們聯(lián)系時(shí)，能夠互相傳遞的消息的最大數(shù)目，用一個(gè)正整數(shù)表示Mij。（如果在表格中沒有被提及，那么間諜i和j之間不進(jìn)行直接聯(lián)系）。假消息從盟軍總部傳遞到每個(gè)間諜手里的渠道也不是絕對(duì)安全的，我們用0，1的實(shí)數(shù)ASj表示總部與間諜j之間進(jìn)行聯(lián)系的安全程度，AMj則表示總部和

24、間諜j之間進(jìn)行聯(lián)系時(shí)傳遞的消息的最大數(shù)目。對(duì)于不和總部直接聯(lián)系的間諜，他的AMj=0（而表格中給出的他的ASj是沒有意義的）。當(dāng)然，假消息從間諜手中交到敵軍的情報(bào)部官員的辦公桌上的過程是絕對(duì)安全的，也就是說，間諜與敵軍情報(bào)部門之間要么不進(jìn)行聯(lián)系，要么其聯(lián)系的安全程度是1（即完全可靠）?，F(xiàn)在我軍司令部想利用這些間諜將k條假消息發(fā)布到敵軍情報(bào)機(jī)關(guān)的負(fù)責(zé)人。消息先由總部一次性發(fā)給n名間諜中的一些人，再通過它們之間的情報(bào)網(wǎng)傳播，最終由這n名間諜中某些人將情報(bào)送到敵軍手中。對(duì)于一條消息，只有安全的通過了所有的中轉(zhuǎn)過程到達(dá)敵軍情報(bào)部，這個(gè)傳遞消息的過程才算安全的；因此根據(jù)乘法原理，它的安全程度P就是從總部

25、出發(fā)，經(jīng)多次傳遞直到到達(dá)敵軍那里，每一次傳遞該消息的安全程度的乘積。而對(duì)于整個(gè)計(jì)劃而言，只有當(dāng)k條消息都安全的通過情報(bào)網(wǎng)到達(dá)敵軍手中，沒有一條引起懷疑時(shí)，才算是成功的。所以計(jì)劃的可靠程度是所有消息的安全程度的乘積。顯然，計(jì)劃的可靠性取決于這些消息在情報(bào)網(wǎng)中的傳遞方法。你的任務(wù)是：擬定一個(gè)方案，確定消息應(yīng)該從哪些人手中傳遞到哪些人手中，使得最終計(jì)劃的可靠性最大。輸入文件：第一行包括兩個(gè)整數(shù)N和K，分別是間諜的總?cè)藬?shù)和計(jì)劃包含的消息總數(shù)。第二行包括2n個(gè)數(shù)，前n個(gè)數(shù)實(shí)數(shù)AS1, AS2, , ASn（范圍在0, 1以內(nèi)）；后n個(gè)數(shù)是整數(shù)AM1, AM2, , AMn。第三行包含了n個(gè)整數(shù)，其中第i

26、（i = 1, 2, , n）個(gè)整數(shù)如果為0表示間諜i與敵軍情報(bào)部不進(jìn)行聯(lián)系，如果為1則表示間諜與敵軍情報(bào)部進(jìn)行聯(lián)系。第四行開始，每行包括4個(gè)數(shù)，依次分別是：代表間諜編號(hào)的正整數(shù)i和j，間諜i和j聯(lián)系的安全性參數(shù)Sij（0, 1范圍內(nèi)的實(shí)數(shù)），以及i、j之間傳遞的最大消息數(shù)Mij（每以行的i均小于j）。最后一行包含兩個(gè)整數(shù)-1 1，表示輸入數(shù)據(jù)的結(jié)束。0 n 300, 0 k 300。輸出文件：輸出文件中只有一行。這一行中包含一個(gè)實(shí)數(shù)P，給出的是整個(gè)計(jì)劃的可靠程度P，保留5位有效數(shù)字（四舍五入）。如果情報(bào)根本不能將K條消息傳到敵軍手中，那么計(jì)劃的可靠性為0。（你可以假定，如果計(jì)劃存在，那么它的

27、可靠性大于1e-12）輸入輸出樣例Agent.in Agent.out6 13 0.000211840.9 0.7 0.8 0 0 0 2 6 8 0 0 00 0 0 1 0 11 4 0.5 22 3 0.9 52 5 0.8 22 6 0.8 73 5 0.8 25 6 0.8 4-1 -1 分析題目中的“總部”、“敵軍情報(bào)部”與“間諜”的地位是完全相等的，為了方便敘述可以將兩者亦看作是間諜：“總部”編號(hào)為0、“敵軍情報(bào)部”編號(hào)為n+1。那么S0i = ASi，M0i = AMi；若間諜i可以與敵軍司令部直接聯(lián)系Si,n+1=1, Mi,n+1=+，否則Si,n+1=0, Mi,n+1=

28、0。我們構(gòu)造帶費(fèi)用的網(wǎng)絡(luò)流圖G = (V, E, M, S)。（M為容量，S位費(fèi)用）第i個(gè)間諜抽象成頂點(diǎn)i，另外增加匯點(diǎn)T。所有頂點(diǎn)構(gòu)成的集合記為V。若Mij0，則存在弧和：其容量皆為Mij；費(fèi)用Sji =Sij = ln(Sij)。增設(shè)弧，其容量為k，費(fèi)用為0。然后以V0為源點(diǎn)、T為匯點(diǎn)求最大費(fèi)用最大流。若流量小于k，則不存在可行方案 不然則最大可靠性為：證明設(shè)最大費(fèi)用最大流的費(fèi)用為Cost，那么：因?yàn)镃ost達(dá)到最大，所以可靠性也達(dá)到最大。證畢。Plan問題 某軟件公司有n個(gè)可選的程序項(xiàng)目，其中第i個(gè)項(xiàng)目需要耗費(fèi)資金ai元，開發(fā)成功后可獲收益bi元。當(dāng)然，程序項(xiàng)目之間不是獨(dú)立的：開發(fā)第i個(gè)

29、項(xiàng)目前，必須先開發(fā)出一些其他的項(xiàng)目（正如開發(fā)Office前必須開發(fā)Windows）。這些項(xiàng)目就稱為第i個(gè)項(xiàng)目的“前趨項(xiàng)目”?，F(xiàn)在給出所有項(xiàng)目的ai、bi，以及前趨項(xiàng)目。你的任務(wù)是：幫助該公司從這n個(gè)程序項(xiàng)目中選擇若干個(gè)進(jìn)行開發(fā)，使得總收益最大。輸入文件：輸入文件有n + 3行。第1行包含一個(gè)整數(shù)n（1n200）。第2行有n個(gè)正整數(shù)a1, a2, , an。第3行有n個(gè)正整數(shù)b1, b2, , bn。第i + 3行（1in）包含若干正整數(shù)：ri, k1, k2, , kri。第一個(gè)數(shù)ri表示第i個(gè)項(xiàng)目共有多少前趨項(xiàng)目；接下來有ri個(gè)正整數(shù)k1, k2, , kri，分別表示每個(gè)前趨項(xiàng)目的編號(hào)。輸出文件：輸出文件只有一個(gè)整數(shù)max，表示最大收益。分析令di = bi ai，A = i | di 0，B = i | di 0。則di就是第i個(gè)項(xiàng)目的純收益，A是所有可以獲得利潤(rùn)的項(xiàng)目集合，B是所有會(huì)導(dǎo)致虧損的項(xiàng)目集合。構(gòu)造網(wǎng)絡(luò)流圖G = (V, E, C)。V中包含兩類頂點(diǎn)：源點(diǎn)S，匯點(diǎn)T。將第i