(全國通用)2023年高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一遍過專題13定積分與微積分基本定理理

1、PAGE PAGE - 11 -考點(diǎn)13 定積分與微積分根本定理1了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的根本思想，了解定積分的概念.2了解微積分根本定理的含義.一、定積分1曲邊梯形的面積1曲邊梯形：由直線x=a、x=b(ab)、y=0和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形(如圖)2求曲邊梯形面積的方法與步驟：分割：把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些小曲邊梯形(如圖)；近似代替：對每個(gè)小曲邊梯形“以值代曲，即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值(如圖)；求和：把以近似代替得到的每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值求和；取極限：當(dāng)小曲邊梯形的個(gè)數(shù)趨向無窮時(shí)，各小曲邊梯形

2、的面積之和趨向一個(gè)定值，即為曲邊梯形的面積2求變速直線運(yùn)動的路程如果物體做變速直線運(yùn)動，速度函數(shù)為v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在atb內(nèi)所作的位移s.3定積分的定義和相關(guān)概念1如果函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，用分點(diǎn)a=x0 x1xi1xixn=b將區(qū)間a,b等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間xi1,xi上任取一點(diǎn)i (i=1,2, ,n)，作和式；當(dāng)n時(shí)，上述和式無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上的定積分，記作，即=.2在中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a,b叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f (x)d

3、x叫做被積式4定積分的性質(zhì)1(k為常數(shù))；2；3(其中acb) 【注】定積分的性質(zhì)3稱為定積分對積分區(qū)間的可加性，其幾何意義是曲邊梯形ABCD的面積等于曲邊梯形AEFD與曲邊梯形EBCF的面積的和5定積分的幾何意義1當(dāng)函數(shù)f (x)在區(qū)間a,b上恒為正時(shí)，定積分f (x)dx的幾何意義是由直線x=a，x=b(ab)，y=0和曲線y=f (x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖中陰影局部)2一般情況下，定積分f (x)dx的幾何意義是介于x軸、曲線f (x)以及直線x=a，x=b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(圖中陰影局部所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的

4、相反數(shù)6定積分與曲邊梯形的面積的關(guān)系(常用結(jié)論)定積分的概念是從曲邊梯形面積引入的，但是定積分并不一定就是曲邊梯形的面積這要結(jié)合具體圖形來確定：設(shè)陰影局部面積為S,那么1； 2；3； 4.7定積分的物理意義1變速直線運(yùn)動的路程做變速直線運(yùn)動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v=v(t)(v(t)0)在時(shí)間區(qū)間a，b上的定積分，即.2變力做功一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運(yùn)動，如果物體沿著與F相同的方向移動了sm，那么力F所做的功為W=Fs.如果物體在變力F(x)的作用下沿著與F(x)相同的方向從x=a移動到x=b，那么變力F(x)做的功.二、微積分根本定理一般地，如果f (x)是區(qū)

5、間a,b上的連續(xù)函數(shù)，且F(x)=f (x)，那么=F(b)F(a)這個(gè)結(jié)論叫做微積分根本定理，又叫做牛頓萊布尼茨公式，其中F(x)叫做f (x)的一個(gè)原函數(shù)為了方便，我們常把F(b)F(a)記作，即=F(b)F(a)學(xué).【注】常見的原函數(shù)與被積函數(shù)的關(guān)系1為常數(shù))；2；3；4；5；6；7；8.考向一 定積分的計(jì)算1求定積分的三種方法1利用定義求定積分(定義法)，可操作性不強(qiáng)；2利用微積分根本定理求定積分；3利用定積分的幾何意義求定積分當(dāng)曲邊梯形面積易求時(shí)，可通過求曲邊梯形的面積求定積分例如，定積分的幾何意義是求單位圓面積的，所以.2用牛頓萊布尼茨公式求定積分的步驟1把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正

6、弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差；2把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分；3分別用求導(dǎo)公式找到一個(gè)相應(yīng)的原函數(shù)；4利用牛頓萊布尼茨公式求出各個(gè)定積分的值；5計(jì)算原始定積分的值.3分段函數(shù)的定積分分段函數(shù)求定積分，可先把每一段函數(shù)的定積分求出后再相加4奇偶函數(shù)的定積分1假設(shè)奇函數(shù)y=f(x)的圖象在a，a上連續(xù)，那么；2假設(shè)偶函數(shù)y=g(x)的圖象在a，a上連續(xù)，那么.典例1 定積分的值為ABCD【答案】C 【解題技巧】求定積分的關(guān)鍵是找到被積函數(shù)的原函數(shù)，為防止出錯(cuò)，在求出原函數(shù)后可利用求導(dǎo)與積分互為逆運(yùn)算的關(guān)系進(jìn)行驗(yàn)證.1假設(shè)S1=x2dx，S2=，S3=，那么

7、S1，S2，S3的大小關(guān)系為AS1S2S3BS2S1S3 CS2S3S1 DS3S20)所圍成的平面區(qū)域?yàn)锳，向區(qū)域M內(nèi)隨機(jī)拋擲一點(diǎn)P，假設(shè)點(diǎn)P落在區(qū)域A內(nèi)的概率為，那么k的值為A BC D10假設(shè)函數(shù)、滿足，那么稱、為區(qū)間上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：；.其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是A0B1C2D311在如下列圖的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，那么落入陰影局部曲線的方程為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為A5000 B6667 C7500 D785412自由落體的運(yùn)動速度(為常數(shù))，那么當(dāng)時(shí)，物體下落的距離為_13，那么_12023年高考湖南卷22023年高考天津卷曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為3

8、2023年高考山東卷執(zhí)行如下列圖的程序框圖,輸出的T的值為42023年高考福建卷如圖,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4),函數(shù)f (x)=x2.假設(shè)在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),那么此點(diǎn)取自陰影局部的概率等于52023年高考陜西卷如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導(dǎo)致水渠截面邊界呈拋物線型圖中虛線表示，那么原始的最大流量與當(dāng)前最大流量的比值為變式拓展1【答案】B【解析】根據(jù)微積分根本定理得，.又ln 21，所以S2S1S3.選B.2【答案】3【答案】36 考點(diǎn)沖關(guān)1【答案】C【解析】2【答案】B 【解析】令，那么，所以，解得，所以，應(yīng)選B.3【答案】B【解析】由題意可知：，

9、結(jié)合題意有：，解得：.此題選擇B.4【答案】D 【解析】由得，應(yīng)選.5【答案】D【解析】=23=0選D.6【答案】B【解析】=2，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：，令r=3，得常數(shù)項(xiàng)為7【答案】C【解析】,而,所以,所以,選C.8【答案】D【方法點(diǎn)睛】此題主要考查定積分的幾何意義，屬于中檔題.一般情況下，定積分的幾何意義是介于軸、曲線以及直線之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和，其中在軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù),所以在用定積分求曲邊形面積時(shí)，一定要分清面積與定積分是相等還是互為相反數(shù).9【答案】A 【解析】M的面積為，A的面積為，應(yīng)選A.10【答案】C 有2組，應(yīng)選C.11【答案】B【解析】，那么，因此點(diǎn)落入陰影局部的概率為，從而所求點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)為，應(yīng)選B12【答案】【解析】由定積分的物理意義可得，13【答案】【解析】由題意可得，答案為.【名師點(diǎn)睛】求定積分的題型，一種是：利用幾何意義求面積，一般是圓；第二種是：求被積函數(shù)的原函數(shù)，用積分公式；第三種是：利用奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間的積分為0.此題考查了第一種和第二種.直通高考1【答案】0【解析】.2【答案】【