基于潮流計算的稀疏技術(shù)研究(初稿)

1、 武漢輕工大學(xué) 畢 業(yè) 設(shè) 計（論 文）設(shè)計(論文)題目：基于潮流計算的稀疏技術(shù)研究 姓 名 曹 樂 學(xué) 號 100408521 院 （系） 電氣與電子工程學(xué)院 專 業(yè) 電氣工程及其自動化 指導(dǎo)老師 仰 彩 霞 2014 年 05 月 15 日目 錄TOC o 1-3 f h u HYPERLINK l _Toc10252 摘要 I摘要潮流計算是電力分析最基礎(chǔ)的電氣運算之一，其效率一直是研究人員關(guān)心的問題。目前，稀疏技術(shù)已經(jīng)廣泛應(yīng)用于工程計算、科學(xué)分析等諸多領(lǐng)域。因此結(jié)合潮流計算方法的特點進(jìn)一步提高稀疏技術(shù)的應(yīng)用效率，對電力系統(tǒng)各種分析計算都具有一定意義。創(chuàng)建一種特殊的二層鏈表數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)

2、可以實現(xiàn)導(dǎo)納矩陣與節(jié)點分塊雅可比矩陣的同結(jié)構(gòu)存儲，以及導(dǎo)納矩陣各元素到雅可比矩陣的定位、查詢功能，提高了雅可比矩陣的形成與修正效率。由于導(dǎo)納矩陣和雅克比矩陣具有對稱性，可進(jìn)一步將二層鏈表存儲單元數(shù)量減半，形成下三角二層鏈表結(jié)構(gòu)，能更好的利用存儲空間；同時，減少了待修正雅可比矩陣與功率不平衡中共同元素的運算量，提高潮流計算效率。關(guān)鍵詞：潮流計算，稀疏技術(shù)，二層鏈表ABSTRCTPower flow calculation is one of most basic eletrical operation applied in the electrical system analysis,its e

3、fficiency has been a matter of concern to researchers.Currently,the sparse technique has been widely used in the areas of engineering calculations,scientific analysis.Therefore,to improve the efficiency of the sparse technique by combing the power flow calculation features could enhance the efficien

4、cy of the electrical operations.We proposed a special kind of two-layer linked list to make the bus admittance matrix and the bus block jacobian matrix stored,and the function of location searching between the two matrix implemented under the same structure.And the efficiency of the foemation and mo

5、dification of jacobian matrix has benn largely improved.The research then used the symmetry of the symmetric matrix during the factorization,halved the amount of the layer two linked list storage cell,and formed the lower triangular and two-layer linked list.So the storage space could be better used

6、.At the mean time,through exacting the elements from the being revised jacobian matrix and the unbalanced power to reduce the operation so as to enhance the efficiency.Keywords:Power Flow Calculation,Sparse Technique,Linked List 1 緒論1.1 課題研究目的和意義潮流計算是電力系統(tǒng)分析中最根本的電氣運算。潮流計算主要是用來研究電力系統(tǒng)規(guī)劃和運行中提出的各種問題。對規(guī)劃中

7、的電力系統(tǒng)，通過潮流計算可以檢驗所提出的規(guī)劃方案是否能滿足運行的要求；對運行中的電力系統(tǒng)，通過潮流計算可以確定各個負(fù)荷的變化和網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的改變對電力系統(tǒng)穩(wěn)定運行的影響，系統(tǒng)中所有母線的電壓是否在允許的范圍以內(nèi)，系統(tǒng)中各種元件(線路、變壓器等)是否會出現(xiàn)過負(fù)荷，以及可能出現(xiàn)過負(fù)荷時應(yīng)事先采取哪些預(yù)防措施。稀疏數(shù)據(jù)是一類零元素所占比例很大，非零元素所占比例較小的數(shù)據(jù)。一般而言，數(shù)據(jù)之間的有效運算是非零元素之間的運算，但稀疏數(shù)據(jù)中大量的零元素將帶來大量的冗余計算，降低計算機(jī)算法的速度和效率。在電力系統(tǒng)分析與計算中存在大量具有稀疏性質(zhì)的數(shù)據(jù)，如潮流計算的雅可比矩陣以及無功優(yōu)化的海森矩陣，狀態(tài)估計中的信息

8、矩陣等。因此，充分利用電力系統(tǒng)數(shù)據(jù)的稀疏性，運用稀疏算法，可以有效的提高電力系統(tǒng)潮流計算的速度和效率。1.2 稀疏技術(shù)在電力系統(tǒng)潮流計算中的研究稀疏技術(shù)被廣泛的應(yīng)用于電力系統(tǒng)潮流計算中，受到了廣大電力專家、學(xué)者的重視并且取得了大量的研究成果。文獻(xiàn)1介紹了一種基于二維鏈表的稀疏矩陣存儲方法，并將該方法應(yīng)用到潮流計算中。通過改進(jìn)二維鏈表的存儲結(jié)構(gòu)、在稀疏矩陣中預(yù)先增加冗余元素、針對LU 分解的特點優(yōu)化潮流方程的結(jié)構(gòu)等技術(shù)，實現(xiàn)了稀疏技術(shù)對潮流方程的優(yōu)化，從而進(jìn)一步提高了潮流計算的效率。為提高電力網(wǎng)絡(luò)潮流計算效率，同時便于在運行方式變化及故障等情況下對網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改，文獻(xiàn)2從稀疏技術(shù)的存儲方式出發(fā)

9、，提出了一種十字鏈表動態(tài)生成方式，同時存儲網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)信息和參數(shù)信息，以期達(dá)到目的。文獻(xiàn)3研究了數(shù)組存儲和鏈表存儲在牛頓法潮流計算中的效率問題，分析了它們在內(nèi)存開銷上的差別，實驗結(jié)論是鏈表存儲在空間消耗，計算效率上都有明顯的優(yōu)勢。文獻(xiàn)4介紹了一種靜態(tài)存儲方法VEPD，該方法適用于存儲具有稀疏性且?guī)捿^小的矩陣。文章指出，采用該方法存儲矩陣所用的內(nèi)存空間較小，且元素的查找、修改、刪除等操作簡單快速。另外，文章介紹用于壓縮矩陣帶寬的CM排序方法。為提高牛頓-拉夫遜潮流計算效率，文獻(xiàn)5引入了基于消去樹理論中的符號因子分解技術(shù)以及改進(jìn)的LU數(shù)值分解算法。在符號分解中引入消去樹理論是對LU分解可能出現(xiàn)

10、的填充元位置進(jìn)行定位，避免后續(xù)數(shù)值計算時頻繁的插入非零元的操作。另外，稀疏技術(shù)對于促進(jìn)配電網(wǎng)潮流計算效率的提高也有一定的學(xué)術(shù)價值。為降低大型配電網(wǎng)潮流計算復(fù)雜度，文獻(xiàn)6在充分分析配網(wǎng)拓?fù)涮攸c的基礎(chǔ)上，提出了利用樹狀鏈表和遞歸搜索方法得到反映配電網(wǎng)樹狀鏈表關(guān)系的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。文章指出該結(jié)構(gòu)具有存儲過程不依賴輸入數(shù)據(jù)、直觀反映網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)、可避免大規(guī)模矩陣存取等優(yōu)點，從而有效降低配網(wǎng)潮流計算時間。文獻(xiàn) 7提出了一種保證輻射網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點導(dǎo)納矩陣消去分解過程中不產(chǎn)生注入元的節(jié)點優(yōu)化編號方法：逆流編號法。其原理是：任意節(jié)點的編號必須大于其順流節(jié)點的編號或任意節(jié)點的編號必須小于其逆流節(jié)點的編號。文章指出：該方法有效

11、降低了輻射電網(wǎng)導(dǎo)納矩陣的運算量，節(jié)約了計算機(jī)內(nèi)存。文獻(xiàn)8通過理論推導(dǎo)，得出了基于逆流編號法的配電網(wǎng)牛頓法潮流過程與等值遞推法相一致的結(jié)論，為實現(xiàn)配網(wǎng)潮流計算方法多樣性提供了理論依據(jù)。文獻(xiàn)9系統(tǒng)地分析和比較了現(xiàn)有的各種配電系統(tǒng)節(jié)點編號方案，對采用不同潮流計算方法（節(jié)點法、支路法）所對應(yīng)的最優(yōu)的節(jié)點編號方案進(jìn)行了概括、分類和仿真分析，此研究成果在計算機(jī)實現(xiàn)配網(wǎng)潮流計算中具有很好的指導(dǎo)意義。1.3 本文完成的主要工作和章節(jié)安排本文是以潮流計算中的導(dǎo)納矩陣與節(jié)點分塊雅可比矩陣作為研究對象，利用稀疏存儲技術(shù)，實現(xiàn)對上述兩個矩陣同結(jié)構(gòu)存儲。本文的理論部分，詳細(xì)地介紹潮流計算的數(shù)學(xué)模型、計算方法以及稀疏存儲

12、技術(shù)；在潮流計算程序部分，作者將以牛頓-拉夫遜潮流計算法編寫程序，并進(jìn)行Matlab程序仿真。本文的章節(jié)具體安排如下：第一章 緒論第二章 電力系統(tǒng)潮流計算第三章 稀疏稀疏第四章 用于牛頓-拉夫遜潮流計算的稀疏技術(shù)第五章 結(jié)論2 電力系統(tǒng)潮流計算所謂電力系統(tǒng)潮流計算，就是已知電網(wǎng)的接線方式、參數(shù)及運行條件，計算電力系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運行時各母線電壓、各支路電流與功率及網(wǎng)損。2.1 電力系統(tǒng)潮流計算的數(shù)學(xué)模型電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型是由網(wǎng)絡(luò)的有關(guān)參數(shù)和變量所組成的可反映網(wǎng)絡(luò)性能的數(shù)學(xué)方程式組，如節(jié)點電壓方程和回路電流方程。潮流計算中多使用節(jié)點電壓方程，原因是節(jié)點電壓方程所描述的運行狀態(tài)直觀、易于處理運行條件的變化

13、，且方程個數(shù)少于回路電流方程。2.1.1 節(jié)點電壓方程由電路原理可知，對于具有n個獨立節(jié)點的電力系統(tǒng)，可寫出n個節(jié)點電壓的矩陣方程為 (2.1)簡記為(2.2)式中 節(jié)點注入電流的轉(zhuǎn)置列向量，其階數(shù)為； 節(jié)點電壓的轉(zhuǎn)置列向量，其階數(shù)為；節(jié)點導(dǎo)納矩陣，其階數(shù)為。2.1.2 功率方程電力網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型即節(jié)點電壓方程就是潮流分布計算時的數(shù)學(xué)模型。如果已知各節(jié)點的電流，直接求解線性的節(jié)點電壓方程即可。但是，工程中已知的條件既不是節(jié)點電壓，也不是節(jié)點電流，而是各節(jié)點的注入功率。將代入上述節(jié)點電壓方程，并寫成其展開形式為 (2.3)式（2.3）為一非線性方程組，通常稱為功率方程。、分別為節(jié)點向網(wǎng)絡(luò)注入的有

14、功功率和無功功率。功率方程隨著節(jié)點電壓向量表示形式不同有不同的形式。直角坐標(biāo)形式的功率方程若節(jié)點電壓向量以直角坐標(biāo)形式即表示，導(dǎo)納用形式表示，則將這兩個關(guān)系代入式（2.3）后展開，并將功率的實部和虛部分別列寫，即可得到分離的有功、無功功率方程為(2,4)極坐標(biāo)形式的功率方程若節(jié)點電壓以極坐標(biāo)形式即或表示，并將其導(dǎo)納的復(fù)數(shù)表示式一起代入（2.3）的功率方程，經(jīng)整理后也可分別寫成有功、無功的方程式為(2.5)式中 節(jié)點電壓與節(jié)點電壓的相角差。2.2 電力系統(tǒng)潮流計算的方法潮流計算的功率方程是一組非線性代數(shù)方程，電力系統(tǒng)潮流計算就是求解這組非線性方程組。求解非線性方程組數(shù)學(xué)上現(xiàn)有兩種途徑，即采用迭代

15、法直接求解非線性方程組或?qū)⒎蔷€性方程組線性化后迭代求解。直接求解非線性方程組有雅可比迭代法、高斯-賽德爾法等；將非線性方程組線性化后迭代求解的方法主要有牛頓-拉夫遜法等。早期，潮流計算以高斯-賽德爾迭代法較為普遍。高斯-賽德爾迭代法是數(shù)學(xué)上求解線性或非線性方程組的一種常用的迭代方法。在潮流計算中，高斯-賽德爾迭代法可分導(dǎo)納矩陣迭代法和阻抗矩陣迭代法兩種，前者是以節(jié)點導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)建立的賽德爾迭代格式;后者是以節(jié)點阻擾矩陣為基礎(chǔ)建立的賽德爾迭代格式。目前，牛頓-拉夫遜法和快速解耦法是兩種應(yīng)用最為普遍的方法，也是其他潮流計算方法的基礎(chǔ)。牛頓-拉夫遜法的原理是將非線性方程組轉(zhuǎn)化為線性方程組，通過迭代

16、求解線性方程組得到解向量，牛頓法具有較好的收斂性。快速解耦法是由牛頓-拉夫遜法極坐標(biāo)形式簡化而來的，它以有功功率偏差作為修正電壓相角的依據(jù)，以無功功率偏差作為修正電壓幅值的依據(jù)，有功功率和無功功率迭代是分開進(jìn)行的。快速解耦法的修正方程系數(shù)矩陣的維數(shù)較低且為常數(shù)，因而計算速度較快，占用的內(nèi)存更少，被廣泛使用。潮流計算的研究廣泛而活躍，為改進(jìn)牛頓-拉夫遜法的某些不足，采用了包括泰勒級數(shù)高階項的更精確模型保留非線性潮流計算，提高潮流計算的收斂性能。另外，專家、學(xué)者以及研究人員針對一些特殊的潮流計算開發(fā)了對應(yīng)的方法，例如隨機(jī)潮流算法、直流潮流算法、三相潮流算法、諧波潮流算法以及用于交直流混聯(lián)的潮流算法

17、。隨著人工智能理論的發(fā)展，遺傳算法、人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和模糊算法等也逐漸被引用到潮流計算中。但是目前為止，無論新的或是改進(jìn)的算法，仍不能取代牛頓-拉夫遜法和快速解耦法的地位。2.2.1 高斯-賽德爾潮流計算用高斯-賽德爾法計算電力系統(tǒng)潮流，首先需將功率方程式（）改寫成（）的形式，然后經(jīng)行迭代計算。假設(shè)待計算的系統(tǒng)有個獨立節(jié)點，其中1個平衡節(jié)點，個PQ節(jié)點，個PV節(jié)點，則由功率方程式（）可解得為(2.6)再將式（）按式（）改寫為高斯-賽德爾迭代法的格式，即(2.7)則可對上式迭代進(jìn)行潮流計算。若有一網(wǎng)絡(luò)，其節(jié)點1為平衡節(jié)點，其余個節(jié)點都為PQ節(jié)點。由于平衡節(jié)點不參與迭代，則用高斯-賽德爾迭代法潮流計算

18、的公式為式中平衡節(jié)點1的電壓；迭代次數(shù)。對于PQ節(jié)點，由于其功率是給定的，故只要給出節(jié)點電壓的初始值，即可按式（）進(jìn)行迭代計算。對于PV節(jié)點，因其無功功率是未知量，只能在迭代開始時給定初值，此后的迭代值必須在逐次的迭代過程中計算得出。因此，對PV節(jié)點進(jìn)行每一次迭代計算，必須要完成一下幾步計算：修正節(jié)點電壓。按式（2.7）計算所得到的電壓并不一定剛好等于PV節(jié)點所要求的電壓幅值。為滿足此條件，可只保留節(jié)點電壓的相位角，而將其幅值用給定值代替進(jìn)行修正，即(2.9)計算節(jié)點的無功功率。第次迭代的節(jié)點無功功率計算式為(2.10)用式（2.10）計算所得的無功功率，應(yīng)該滿足下面的約束條件，即如果則應(yīng)令；

19、如果，則應(yīng)令。上述情況表明無功功率已達(dá)到極限值，不能再用調(diào)節(jié)無功功率來保持PV節(jié)點的電壓值。此時由于無功功率已限定為極限值，因而PV節(jié)點就轉(zhuǎn)變?yōu)镻Q節(jié)點，故計算應(yīng)按PQ節(jié)點進(jìn)行。完成上述三步計算后，才可應(yīng)用式（2.7）計算節(jié)點電壓的新值。對于平衡節(jié)點，由于電壓的幅值和相位角為給定值，故無需迭代計算。每次迭代完成后，應(yīng)根據(jù)給定的任意小數(shù)，用下面的迭代收斂判據(jù)檢驗，即該式滿足時，停止迭代計算，或即為所求得的節(jié)點電壓。求出節(jié)點電壓后，即可計算各條線路的潮流、平衡節(jié)點功率以及各支路的功率損耗。由圖2.1可推出線路中的功率計算公式如下：(2.11)由于式（2.8）中的為平衡節(jié)點，故平衡節(jié)點的功率可以代入

20、式（2.8）求出。即(2.12)各線路上損耗的功率為(2.13)高斯-賽德爾迭代法的計算流程原理框圖如圖2.2所示。2.2.2 牛頓-拉夫遜潮流計算牛頓-拉夫遜潮流計算的核心問題是雅可比修正方程的建立和求解。為說明這一修正方程式的建立過程，首先對網(wǎng)絡(luò)中各類節(jié)點的編號作如下的約定：網(wǎng)絡(luò)中共有個節(jié)點，編號為，其中1個平衡節(jié)點，編號為。（2）網(wǎng)絡(luò)中有個PQ節(jié)點，編號為，其中包括編號為的平衡節(jié)點。（3）網(wǎng)絡(luò)中有個PV節(jié)點，編號為。直角坐標(biāo)形式的牛頓-拉夫遜潮流計算式2.1-2.3給出了節(jié)點的注入有功功率、無功功率與電壓幅值方程。式中，、與分別為節(jié)點i的注入有功功率、無功功率與電壓幅值；與分別為節(jié)點i電

21、壓的實部與虛部，并且；與分別為支路的電導(dǎo)與電納，與為節(jié)點i的自電導(dǎo)與自電納。(2.13)對于PQ節(jié)點，其功率誤差方程可表示為(2.14)式中、節(jié)點i的給定有功功率、無功功率。對于PV節(jié)點，其有功功率、電壓誤差方程可表示為(2.15)由于平衡節(jié)點只有一個，電壓不參加迭代，其電壓為(2.16)上述的功率誤差方程和電壓誤差方程構(gòu)成的方程組即為牛頓-拉夫遜法潮流計算所要求解的非線性方程組。非線性方程組中的待求量為各節(jié)點的電壓的實部和虛部。除了一個平衡節(jié)點的電壓已知外，共有個未知數(shù)待求。在具有個獨立節(jié)點的電力系統(tǒng)中，PQ節(jié)點有個，PV節(jié)點有個，則有功功率誤差方程共有個，無功功率誤差方程共有個，電壓誤差方

22、程共有個所以上述非線性方程組中共有方程個，與方程中的未知個數(shù)相同，方程組有唯一的非零解。把個節(jié)點的電壓變量用初始值與修正值的形式表示為將此關(guān)系式帶到式（2.14）、式（2.15）中，在初值、附近的、范圍內(nèi)將其展開為泰勒級數(shù)，略去含有、的二次以上各項就可得到修正方程。省略掉迭代次數(shù)的符號，可寫出其矩陣形式為(2.17)式中雅可比矩陣的各個元素分別為：非對角線元素時：(2.18)對角元素時：(2.19)分析上述表達(dá)式可以看到，雅可比矩陣具有以下特點：各元素是節(jié)點電壓的函數(shù)，每迭代一次各節(jié)點電壓都要發(fā)生改變，因而各元素也隨之發(fā)生變化；非對稱矩陣；互導(dǎo)納時，與之對應(yīng)的非對角線元素亦為零，此外因非對角線

23、元素，故雅可比矩陣是稀疏矩陣。牛頓-拉夫遜潮流計算的主要流程可簡述如下：A.形成導(dǎo)納矩陣；B.設(shè)置各節(jié)點電壓初始值、C.將初始值代入式（2.14）、（2.15），計算各節(jié)點功率及電壓的偏移量、；D.運用式（2.18）、式（2.19）計算雅可比矩陣中的各個元素；E.解修正方程式（2.17），求出各個節(jié)點電壓的修正量、F.求新的電壓初始值，其公式為 G.用新的初始值代入式（2.14）、式（2.15），計算新的各個節(jié)點功率及電壓偏移、和；H.檢查計算是否已經(jīng)收斂，由式（2.14）可知，如電壓趨近與真實解時，其功率偏移量趨向零。因而其收斂判據(jù)為其中為預(yù)先給定的小數(shù)。若不收斂返回到第（3）步重新迭代，若

24、收斂進(jìn)行下一步。I.計算各線路中的功率分布及平衡節(jié)點功率，最后打印出來計算的結(jié)果。各線路中的功率平衡節(jié)點功率可安式（2.12）及式（2.13）計算。牛頓-拉夫遜潮流計算直角坐標(biāo)式的流程圖如圖2.3所示。開始形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣輸入原始數(shù)據(jù)設(shè)節(jié)點電壓，i=1,2,n,is置迭代次數(shù)置節(jié)點號i=1按式（3-3），（3-4）計算雅克比矩陣元素按式（3-2）計算節(jié)點的，節(jié)點的，求解修正方程式，得，雅克比矩陣是否已全部形成？計算平衡節(jié)點及PV節(jié)點功率求，迭代次數(shù) k=k+1i=i+1？潮流計算完成計算各節(jié)點電壓的新值：圖2.3 牛頓-拉夫遜潮流計算直角坐標(biāo)式的流程圖極坐標(biāo)形式的牛頓-拉夫遜潮流計算節(jié)點電壓不

25、僅可以用直角坐標(biāo)表示，還可以用極坐標(biāo)表示。因此，牛頓-拉夫遜潮流計算時的修正方程還有另一種形式。為建立極坐標(biāo)形式的修正方程式，可仍令，但令（為第i個節(jié)點的電壓相角，為第i個節(jié)點與第j個節(jié)點的電壓相角之差：）。由此，可以將式（2.14）改寫為(2.20)對于具有個獨立節(jié)點，其中有個PV節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)，式（）組成的方程中共有個方程式。采用極坐標(biāo)表示時，方程組個數(shù)較采用直角坐標(biāo)表示少個。因?qū)V節(jié)點，采用極坐標(biāo)表示時，待求的只有電壓的相角和注入無功功率，而采用直角坐標(biāo)表示時，待求的有電壓的實數(shù)部分、虛數(shù)部分和注入無功功率。所以極坐標(biāo)形式的牛頓-拉夫遜潮流計算的未知變量少了個，方程數(shù)也相應(yīng)少了個。這樣可建

26、立修正方程式的矩陣形式為：(2.21)式中 是階方陣；是階矩陣；是階矩陣；是階方陣。各矩陣的元素分別為：(2.22)將式（）代入（）求偏導(dǎo)數(shù)可得雅可比矩陣中各元素的表達(dá)式如下：非對角線元素：(2.23)對角線元素：(2.24)計算步驟與直角坐標(biāo)形式相似，其程序框圖如圖2.4所示3 稀疏存儲技術(shù)在科學(xué)計算與工程分析中，常常需要處理一類稀疏性的數(shù)據(jù)，這類數(shù)據(jù)所包含的零元素比例較大，而非零元素所占比例小，我們將此類數(shù)據(jù)稱之為稀疏數(shù)據(jù)。所謂稀疏技術(shù)，是指通過設(shè)計算法和編制程序，盡可能避免儲存稀疏數(shù)據(jù)中的零元素以及對這些元素進(jìn)行計算。稀疏存儲技術(shù)的核心內(nèi)容是只存儲與非零元素相關(guān)的信息，從而節(jié)省儲存空間并

27、提高計算機(jī)的運算速度。具體的操作方式有很多，如果按照存儲原理可以分為兩大類：一是靜態(tài)數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲方法，二是動態(tài)鏈?zhǔn)浇Y(jié)構(gòu)存儲方法。3.1 靜態(tài)數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲方法此類方法采用靜態(tài)數(shù)組存儲稀疏矩陣非零元素的數(shù)值和位置信息，常用的方法有散居格式、按行（列）存儲格式、三角檢索存儲格式等。3.1.1 散居格式在散居格式中，對階稀疏矩陣A，其非零元素共有個，令是A中第i行第j列非零元素?？梢远x三個數(shù)組，按下面的存儲格式存儲矩陣A中非零元素的信息：存儲中非零元素的值，共個存儲中非零元素的行指標(biāo)i，共個 存儲中非零元素的列指標(biāo)j，共個 因此，散居格式存儲稀疏矩陣時，共需要3個存儲單元。在散居格式中，矩陣A中非零

28、元在數(shù)組中的位置可任意排列，修改靈活。但是，其存儲順序無一定規(guī)律，檢索起來不方便，最差的情況下可能性要在整個數(shù)組中查找一遍。3.1.2 按行（列）存儲格式按行（列）存儲格式的原理是按行(列)順序依次存儲A中的非零元，同一行(列)元素依次排在一起。以按行為例，其存儲格式是：按行存儲矩陣A中非零元的值，共個；按行存儲矩陣A中非零元的列號，共個；記錄A中每行第一個非零元素在VA中的位置，共個。由按行（列）存儲格式的特點，要查找第i行的非零元素,在中取出從到共個非零元就是A中第i行的全部非零元,非零元的值是，列號為。要查找第i行第j列的元素在中的位置，則對k從到，判斷列號是否等于j，如果相等，那么就是

29、要查找的非零元3.1.3 三角檢索存儲格式用三角檢索存儲格式來存儲非零元素的方法，特別適用于稀疏矩陣的三角分解。以按列存儲A的下三角部分非零元素為例來說明三角檢索存儲格式的原理。其存儲格式是：U存A的上三角部分的非零元的值，按行依次存儲JU存A的上三角部分的非零元的列號IU存A中上三角部分每行第一個非零元在U中的位置(首地址)L按列存儲A中下三角非零元素的值IL按列存儲A中下三角非零元素的行號JL存儲A的下三角部分每列第一個非零元在L中的位置(首地址)D存儲A的對角元素的值，其檢索下標(biāo)不需要存儲三角檢索存儲格式示例：則矩陣A的存儲可表示為：IU（3）為4，表明A矩陣上三角部分第3行的第1個非零

30、元如果有的話應(yīng)在U的第4個位置，而U表中第4個位置沒有非零元素，為了檢索方便，IU(3)仍應(yīng)賦值4。有了IU表即可知道A的上三角部分第i行的非零元的數(shù)目。如果要查找A的上三角第i行所有非零元素，只要掃描A從IU(i)到IU(i+1)1即可，JU(k)指出了該元素的列號，U(k)是該非零元素的值。對于按列存儲的格式進(jìn)行查找的情況類同。三角檢索存儲格式在矩陣A的稀疏結(jié)構(gòu)已確定的情況下使用是十分方便的。但在計算過程中，如果A的稀疏結(jié)構(gòu)發(fā)生了變化，即其中的非零元素的分布位置發(fā)生變化，相應(yīng)的檢索信息也要隨著變化，很不方便。3.2動態(tài)數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲方法靜態(tài)數(shù)組結(jié)構(gòu)存儲稀疏矩陣通常采用鏈表存儲，常用的方法有帶

31、行指針數(shù)組的單鏈表表示法、十字鏈表表示法以及二叉單元鏈表數(shù)組等。3.2.1 帶行指針數(shù)組的單鏈表表示法在這種存儲結(jié)構(gòu)中，需要把具有相同行號的三元組節(jié)點按照列號從小到大順序鏈接成一個單鏈表。稀疏矩陣中的每一行對應(yīng)一個單鏈表，每一個單鏈表都有一個表頭指針，為了把它們保存起來，便于訪問每一個單鏈表，需要使用一個行指針向量（即一維數(shù)組），該向量中的第各分量（即對應(yīng)數(shù)組下標(biāo)為的元素）用來存儲稀疏矩陣中第行所對應(yīng)的單鏈表的表頭指針。帶行指針數(shù)組的單鏈表結(jié)構(gòu)如圖3.1所示3.2.2 十字鏈表表示法十字鏈表存儲就是既帶行指針向量又帶列指針向量的鏈接存儲。在這種鏈接存儲中，每個三元組結(jié)點既處于同一行的單鏈表中，

32、又處于同一列的單鏈表中，即處于所在的行單鏈表和列單鏈表的交點處。十字鏈表實質(zhì)上是動態(tài)鏈表，主要用于存儲稀疏矩陣。十字鏈表包括5個域：行號(row)、列號(col)、值(val)、向下指針(down)、向右指針(right)，如圖3.2所示。向下指針用來指向同列下一個節(jié)點中的非零元素，向右指針用來指向同行下一個節(jié)點中的非零元素，若不存在下一個節(jié)點，則對應(yīng)的指針域為空值。在稀疏矩陣的十字鏈表存儲中，需要使用兩個指針向量，一個是行指針向量，用來存儲行單鏈表的表頭指針，另一個是列指針向量，用來存儲列單鏈表的表頭指針。如圖3.3給出的稀疏矩陣，對應(yīng)的十字鏈表示意圖如圖3.4所示圖3.2十字鏈表單元圖3.

33、34階矩陣圖3.4十字鏈表結(jié)構(gòu)3.2.3 二叉單元鏈表數(shù)組普通一維稀疏數(shù)組可以采用單鏈表存儲。在單鏈表中，每個節(jié)點包含非零元素的元素值、編號等信息以及與該節(jié)點相連的下一個非零元素地址(next)，另外，還需要有一個指針 (head) 指向第一個非零元素存儲單元，如圖3.5所示，3.5(a)是一個一維稀疏數(shù)組示例，3.5(b)是對應(yīng)的一維鏈表結(jié)構(gòu)。本文在鏈表的每個節(jié)點中增加了一個指針(next2)指向一個新的存儲單元，每一個節(jié)點形成標(biāo)準(zhǔn)的二叉節(jié)點，新開辟的存儲單元用于存儲與對應(yīng)節(jié)點相關(guān)的信息，由此形成一維二叉單元鏈表。如圖3.5(c)所示，新開辟的存儲單元用于放置對應(yīng)元素是否大于10 的信息fl

34、ag：若大于10，flag 置1，若小于10，置0。圖2.4 一維向量與二叉單元鏈表結(jié)構(gòu)一維二叉單元鏈表用于存儲一維稀疏數(shù)組及其相關(guān)信息。對于NN 的二維稀疏數(shù)組，若將每一行看作一維稀疏數(shù)組，則該數(shù)組可以看成由N 個一維稀疏數(shù)組所構(gòu)成。若每一稀疏數(shù)組均采用一維二叉鏈表存儲，另外生成一個輔助指針數(shù)組用于存儲N 個一維二叉鏈表的頭地址，則得到本文提出的二叉單元鏈表數(shù)組。圖3.3所示矩陣的二叉單元鏈表數(shù)組如圖3.6。在此，新開辟的存儲單元同樣用于放置對應(yīng)元素是否大于10 的信息flag，或大于10，flag 置1，若小于10，置0。圖3.6二叉單元鏈表數(shù)組4 用于牛頓-拉夫遜潮流計算的稀疏技術(shù)4.1

35、 節(jié)點分塊雅可比矩陣在電力系統(tǒng)潮流計算中，雅可比矩陣的形成、方程組求解都是以雅可比矩陣為處理對象的。因此，研究雅可比矩陣的特點對提高潮流計算具有重要的意義。傳統(tǒng)的雅可比矩陣將有功功率、無功功率和電壓幅值對電壓實部或虛部的偏導(dǎo)數(shù)、和按類別分區(qū)后排列，形成、和子陣，然后再構(gòu)成形如的傳統(tǒng)雅可比矩陣。如將傳統(tǒng)的雅可比矩陣分塊，將每一個節(jié)點或節(jié)點與節(jié)點之間的鏈接看成一個整體單元，即可形成以階子陣、構(gòu)成的分塊雅可比矩陣。直角坐標(biāo)形式的分塊雅可比矩陣對于子陣：非對角線元素為對角線元素為對于子陣：非對角線元素為對角線元素為對于子陣：非對角線元素為對角線元素為對于子陣：非對角線元素為對角線元素為對于子陣：非對角

36、線元素為對角線元素為對于子陣：非對角線元素為對角線元素為4.2 二層鏈表的應(yīng)用利用分塊雅可比矩陣和節(jié)點導(dǎo)納矩陣同結(jié)構(gòu)的特點，結(jié)合十字鏈表、二叉單元鏈表以及表頭指針，創(chuàng)建二層鏈表。二層鏈表的上層為十字鏈表，用來存儲節(jié)點分塊雅可比矩陣(Jac)；二層鏈表的下層為二叉單元鏈表，用來存儲節(jié)點導(dǎo)納矩陣。由于雅可比矩陣與節(jié)點導(dǎo)納矩陣的結(jié)構(gòu)相同，則二叉單元鏈表中每個節(jié)點的指針項可以指向十字鏈表中的對應(yīng)單元。因此，二層鏈表將上下兩層的非零單元有機(jī)結(jié)合，實現(xiàn)了導(dǎo)納矩陣非零元素定位查詢分塊雅可比子陣的功能。二層鏈表結(jié)構(gòu)示意圖如圖4.1所示圖4.1二層鏈表4.3 二層鏈表的改進(jìn)用于牛頓-拉夫遜潮流計算的二層鏈表中，

37、節(jié)點導(dǎo)納矩陣與節(jié)點分塊雅可比矩陣中的每一個節(jié)點單元均對應(yīng)了一個鏈表單元。但是，節(jié)點導(dǎo)納矩陣具有完全對稱的結(jié)構(gòu)，因此可以采用半三角存儲，即僅存儲矩陣上半三角或下半三角的元素。同時，節(jié)點分塊雅可比矩陣具有結(jié)構(gòu)對稱性，由上述分析可知，結(jié)構(gòu)對稱矩陣在高斯消元過程中仍然具有結(jié)構(gòu)對稱性。因此，本文將同構(gòu)存儲節(jié)點導(dǎo)納矩陣與節(jié)點分塊雅可比矩陣的二層鏈表折半，形成下三角二層鏈表結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)可以完全滿足節(jié)點分塊雅可比系數(shù)矩陣高斯分解。本文將上下三角位置對稱的兩個雅可比分塊子陣和均存儲到下三角的存儲單元內(nèi)。這樣，下三角十字鏈表層中，每個非對角節(jié)點就負(fù)責(zé)存儲兩個子陣八個元素的值。下層為二叉單元鏈表層，只存儲節(jié)點導(dǎo)納矩

38、陣下三角非零元素。由于與具有相同的結(jié)構(gòu)，因此，二叉單元鏈表數(shù)組中每個節(jié)點的定位指針項同樣可以將上下兩層的非零單元有機(jī)結(jié)合起來，實現(xiàn)從導(dǎo)納矩陣非零元素定位查詢分塊雅克比子陣的功能。另外，下三角二層鏈表結(jié)構(gòu)中的輔助指針數(shù)組如圖4.1所示的二層鏈表結(jié)構(gòu)。圖4.2為改進(jìn)的下三角二層鏈表結(jié)構(gòu)。圖4.2改進(jìn)的下三角二層鏈表結(jié)構(gòu)總 結(jié)致 謝 本學(xué)位論文是在仰彩霞老師悉心指導(dǎo)下完成的。論文寫作中由于對潮流計算掌握不全面，論文的進(jìn)展長期停滯。是仰老師的耐心指導(dǎo)使我可以克服論文寫作過程中的困難和難題。能夠在這樣一位優(yōu)秀、友善的老師知道下完成畢業(yè)論文，我感到非常幸運。論文寫作期間，閱讀了大量的文獻(xiàn)資料，在此過程中我

39、了解到許多專業(yè)知識。至此論文完成之際，謹(jǐn)向我的指導(dǎo)老師表示衷心的感謝和崇高的敬意。 同時，我也要感謝在武漢輕工大學(xué)學(xué)習(xí)生活中教授和幫助過我的各位老師，他們使我在學(xué)業(yè)上、思想上得到了很大程度的提升，并提高了我的綜合素質(zhì)和人文修養(yǎng)，這必將對我以后的學(xué)習(xí)和工作產(chǎn)生積極的影響。 再者我要感謝我的家人多年來對我的關(guān)懷和支持。感謝他們從物資上給我?guī)椭?，在精神上給我慰藉。這是我安心學(xué)習(xí)，順利完成學(xué)業(yè)的保障。最后我再次感謝武漢輕工大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院的培養(yǎng)，感謝老師們對我的教導(dǎo)、栽培和關(guān)心，并祝你們身體健康，工作順利，永遠(yuǎn)快樂!參考文獻(xiàn)1 朱凌志, 安寧. 基于二維鏈表的稀疏矩陣在潮流計算中的應(yīng)用J. 電網(wǎng)

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