插值多項式系數(shù)求解

1、插值多項式系數(shù)求解y = f (x) = a + a x + a x2 + a x3 + a x4 Hb a xn = a xi01234nii=0根據(jù)給定的數(shù)據(jù)樣本可以計算上述式中的系數(shù)a,很明顯，如果要計算n階插值多項式的系數(shù)則需 要n +1個數(shù)據(jù)樣本，將樣本數(shù)據(jù)代入并寫成矩陣形式，可以得到：f1x0 x20 x30 x40 xn0f a0:f y 0 1x1x21x31x41xn1a1七1x2x22x32x42xn2a2 21x3x23x33x43xn3.a3= 31 :x4:x24-x34-x44-xn4a:y41xnx2nx3nx4n xn / nI an J y.上述矩陣構(gòu)成了一個

2、以a,為未知數(shù)的線性方程組，由線性代數(shù)知識可知其系數(shù)矩陣是范德蒙矩陣， 由于其行列式非零，所以上述方程一定有解且有唯一解。求解上述方程組可以使用通用的線性方程組解法，如選主元消去法等。但由于其系數(shù)矩陣的特 殊性，可以找到更簡單的求解方法?？紤]拉格朗日插值基函數(shù)(參見計算方法易大義，1989, P36)7 /、(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )l ( x) = 01k-1k+1nk(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )(x - x )k 0 k 1kk-1kk+1=乙x， kii=0上式展開后是關(guān)于x的n階(分子部分共n項，

3、缺x - xk)多項式，即l (x) = c + c x + c x2 + c x3 + c x4 + C xnkk 0k 1k 2k 3k 4kn并且由分式形式可以注意到lk (x)的取值特點，當(dāng)x = xk時為1，當(dāng)x = x,且i。k時，因為分子部分必有一項為0，所以lk (x)的值為0，即1 i = klk(%)=0 i o k將x依次取x, , i = 0,1,2,n并寫成向量相乘的形式，則有r1111-11XXXXX0k-1kk+1nX 2X2X2X2X2c ).0k-1kk+1ncccc X 3X3X3X3X3k 0k1k 2k 3k 4kn0k-1kk+1nX4X4X4X4X4

4、0:k-1-k:k+1:n:Xn01XnXnXn, Xn jn=(000k-1 0)kk+1如果關(guān)于k從0到n將lk全部列出并與上式中的方陣相乘可以得到rc00c01c02c03c04c10nr111111c10c11c12c13c14c1nX0Xk-1XkXk+1Xnc20c21c22c23c24c2nX20X2k-1X2 kX2k+1X2nc30c31c32c33c34c3n.X30X3k-1X3 kX3k+1X3nc40:c41:c12:c13:c44:c4n:X40:X4 k-1:X4k:X4 k+1:X4n: n 0cn1cn2cn3cn4cj nnXn0Xnk-1XnkXnk+1X

5、n j nr 10000 -0101000 -000100 -0=00010 -00 :0 :0 :01 -0 k時，增加(x + x )時需 mmkm要新計算的是am 1，這樣在編程時需要另外一個變量Counts來累計增加的(x + x.)的項 數(shù)，當(dāng)增加(x + xm)時，需要一個循環(huán)，循環(huán)變量為/, 0V/VCountXZ，它控制著從CountXi 階到0階每個系數(shù)按照從高到低的順序都要更新一次，因為任意一階系數(shù)需要用到低一階系 數(shù)沒更新前的值，所以需要按從高階系數(shù)到低階系數(shù)的順序來更新。void PolynomCoe(double X_in,double Y,double Coe,in

6、t N)int i,j,k,CountXi;double Fact;double *CoeXi,*X;X=(double *)calloc(N+1,sizeof(double);CoeXi=(double *)calloc(N+1,sizeof(double);for(j=0;jN+1;j+) Coej=0;for(i=0;iN+1;i+) Xi=-X_ini;/將系數(shù)計算中的(-xi)轉(zhuǎn)化成正數(shù)，下面計算時公 式將得到簡化，不需要考慮(-1 )的偶次方還是奇次方了for(k=0;kN+1;k+)/對應(yīng)基函數(shù)的序號,對于第k個基函數(shù)計算其分子多項式各次系數(shù) 并計算公共因子即對應(yīng)的Yk值除分母多項式，最后累加各基函數(shù)各次對應(yīng)積時將分子多項 式系數(shù)乘公共因子Fact=Yk;for(j=0;jN+1;j+) CoeXij=1;CountXi=0;for(i=0;i0;j-) CoeXij=CoeXij-1+CoeXij*Xi; CoeXi0=CoeXi0*Xi;Fact=Fact/(Xi-Xk);/分 子即為(X_ink-X_ini),由于輸入