數學建模 投資收益和風險的模型

1、摘要在現代商業(yè)、金融的投資中，任何理性的投資者總是希望收益能夠取得最大化，但是他也面臨著不確定性和不確定性所引致的風險。而且，大的收益總是伴隨著高的風險在有很多種資產可供選擇，又有很多投資方案的情況下，投資越分散，總的風險就越小為了同時兼顧收益和風險，追求大的收益和小的風險構成一個兩目標決策問題，依據決策者對收益和風險的理解和偏好將其轉化為一個單目標最優(yōu)化問題求解。隨著投資者對收益和風險的日益關注,如何選擇較好的投資組合方案是提高投資效益的根本保證。傳統的投資組合遵循“不要將所有的雞蛋放在一個藍子里”的原則,將投資分散化。問題的提出某公司有數額為M（較大）的資金，可用作一個時期的投資，市場上現

2、有5種資產（S）i（如債券、股票等）可以作為被選的投資項目，投資者對這五種資產進行評估，估算出在這一段時期內購買S的期望收益率（r）、交易費率（p）、風險損失率（q）以及同期銀iiii行存款利率r（r=3%）在投資的這一時期內為定值如表1,不受意外因素影響，而凈收益00和總體風險只受r,p,q影響，不受其他因素干擾?，F要設計出一種投資組合方案，使iii凈收益盡可能大,風險盡可能小.表1投資項目Si期望收益率r（%）i風險損失率q（%）i交易費率p（%）i存銀行S0300272.41221.62255.24.5232.26.5211.52其中i=0,l,2,3,4,5.問題假設及符號說明2.1問

3、題假設總體風險可用投資的這五種中最大的一個風險來度量；在投資中，不考慮通貨膨脹因素，因此所給的S的期望收益率r為實際的平均收益ii率；不考慮系統風險，即整個資本市場整體性風險，它依賴于整個經濟的運行情況，投資者無法分散這種風險，而只考慮非系統風險，即投資者通過投資種類的選擇使風險有所分散；不考慮投資者對于風險的心理承受能力。2.2符號說明X:購買第i種資產的資金數額占資金總額的百分比；iMx:購買第i種資產的資金數額；Mx：存銀行的金額；i0f(x)：交易費用；R：凈收益；iQ:總體風險；P:第i種投資的凈收益率。i模型的分析與建立令交易費用則凈收益為總體風險為約束條件為可以簡化約束條件為同時

4、將M=Mf(1+p)x代入，得iii=0略去M,原問題化為雙目標決策問題：minQ=maxxq(3.1)0給5以下設r-p0，否則不對該資產投資。ii模型的求解4.1固定R使Q最小的模型固定R使Q最小，將模型(3.1)化為minQ=maxqx,0i511s.t.乙(r-p)x=R,iiii=00ii=0,1,L,5(1)(2)4.1)此模型又可改寫為TOC o 1-5 h z令p=(r-p)f(l+p),p表示第i種投資的凈收益率，則p必大于p，否則，若illiii0pp,則不對S投資，因為對該項目投資純收益率不如存銀行，而風險損失率又大于10i存銀行。將p從小到大排序，設p最大，則易見對模型

5、(4.1)的可行解必有0.03Rp.ikk當R=0.03時，所有資金都存銀行，Q=0;當R=p時，所有資金用于購買S,kiQ=J；當0.03Rp時，有如下結論7。1+pkk結論：若0.03RQ*，總體風險顯然增加；反之，若減小y的值，必11111然會導致另外一項或幾項的值，總體風險自然增加。)因此，當Rg(0.03,p)時，可按以下步驟求出最優(yōu)解：1)將(1)式和(2)式消去x；k02)將x=Q代入解出Q；3)由x=Q，1i5，x=1-f(1+p)x求出最優(yōu)解。TOC o 1-5 h ziqiq0iiiii=1所以，我們算得如下結果:(1)R=0.03時，x=1,x=x=x=x=x=0,Q=0

6、；012345(2)R=0.261.01日寸，x=x=x=x=x=0,x=11.01,Q=0.024.1.01；R一0.03R一0.03=,x=0.642832.0889TOC o 1-5 h z丿023451(3)Rg(0.03,0.26.1.01)時，Q=R-0.03,x=R-0.03,x40.172110.96412R-0.03R-0.03-x=,x=,x=1-1.01x一1.02x一1.045x一1.065x一1.02x。40.883850.6026012345事實上應用Lingo軟件可算得如下結果:表1最小風投資S的資金百分比x(i=0,1,2,3,4,5.)收益R：-險度Q0.03

7、000.00001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.04000.00020.93970.01040.01560.00480.01130.01660.05000.00050.87930.02070.03110.00960.02260.03320.06000.00070.81900.03110.04670.01440.03390.04980.07000.00100.75870.04150.06220.01910.04530.06640.08000.00120.69840.05190.07780.02390.05660.08300.09000.00150.63

8、800.06220.09330.02870.06790.09960.10000.00170.57770.07260.10890.03350.07920.11620.11000.00200.51740.08300.12450.03830.09050.13280.12000.00220.45710.09330.14000.04310.10180.14940.13000.00250.39670.10370.15560.04790.11310.16600.14000.00270.33640.11410.17110.05270.12450.18250.15000.00300.27610.12450.18

9、670.05740.19910.13580.16000.00320.21580.13480.20230.06220.14710.21570.17000.00350.15540.14520.21780.06700.15840.23230.18000.00370.09510.15560.23340.07180.16970.24890.19000.00400.03480.16600.24890.07660.18100.26550.20000.00460.00000.18970.28460.08760.10970.30360.21000.00620.00000.25890.38840.11950.00

10、000.21320.22000.00930.00000.38580.41600.17810.00000.00000.23000.01310.00000.54710.18000.25250.00000.00000.24000.01700.00000.70840.00000.27220.00000.00000.25000.02090.00000.87010.00000.11600.00000.00000.26/10.02380.00000.99010.00000.00000.00000.0000.014.2固定Q使R最大的模型固定Q使R最大，將模型(3.2.1)化為maxR=丈(r-p)x,iii

11、i=0 xq0,(i=0,1,L,5.)i對于每一個Q,用模型(3.2.3)都能求出R,由凈收益率p=(r-p1(1+p),直觀上TOC o 1-5 h ziiii想到P越大，x應盡量大，這種想法是正確的，可將其寫為如下結論。ii結論7設(x,x,L,x)是模型(3.2.3)的最優(yōu)解，若pp,x0，則x=Qq。015ijjii證明：反證法。假設pp，x0，而xQiq。ijjii選取充分小的正數8，使得(x+)qQ，(1+p)0，且iijjijkkk工x*(1+p)=工x*(1+p)+(x+8)(1+p)+x-e(1+p)J(1+p)(1+p)=1,kkkkiiji*jjk=0k工i,j工x*(

12、r一p)=Sx*(r一p)+(x+8)(r一p)+x-8(1+p)(1+p)(r一p)Sx(r一p)。貝Ukkkkkkiiijijjjkkkk=0kHi,jk=0(x*,x*,L,x*)才是最優(yōu)解，因此(x,x,L,x)不是模型(3.2.3)的最優(yōu)解。015015此處矛盾，則結論成立，證畢。由此結論，我們可將p從大到小排序，使p最大的k應盡量滿足xq二Q,若還有iikk多余資金，再投資p次大的，LL。對于不同的Q,會有不同的投資方案，我們可以算出iQ的臨界值，從而確定各項目的投資值。因此，設pppppp,則可用下面的方法算出各臨界值3450c,c,c,123c,c。45只有一種投資時,c(1+

13、p)=q,c=q.(1+p)=0.023762。11111當有兩種投資時,=c-q,x=c.q，代入x(1+p)+x(1+p)=1，得2，122，21122c=qq(1+p)q+(1+p)q=0.009449。121221同理可得：c=qqq/(1+p)qq+(1+p)qq+(1+p)qq=0.007941，TOC o 1-5 h z123123213312于是得最優(yōu)解：當Q=0.000000日寸,x=1,x=x=x=x=x=0。012345=Q.q,x=1-S(1+p)x。iii=1當0Q0.004131時,x1=QQ，x2=Qq2,x3=Qq3，x4=Qq4，x550當0.004131Q0

14、.005736時,x1=Qq1，x2=Qq2,x3=Qq3,x4=Qq4,x5=一工(1+/W/(1+=0i=1當0.005736Q0.007941時,x1=Q%x2=Qq2，x3=Qq3，x4=1一工(1+J/(1+x5=0TOC o 1-5 h zi=1f當0.007941Q0.009449時,x二Q；q,x二Qiq,x二1-X(1+p)x；(1+p),x二x二x二0。11223ii3450I=1當0.009449Q0.023762時,x=1.(1+p),x=x=x=x=x=0。1123450當然,我們也可以換個角度來考慮上面這個模型。為了能夠給不同風險承受能力的投資者提供某種風險水平下的

15、最優(yōu)投資組合的決策方案,我們必須確定最優(yōu)收益值R和最小風險度Q的值之間的對應關系。+(rp)x，555以每次增加0.001的風險度進行搜因此,我們將模型（3.2.3）改寫成如下形式：maxR=(r一p)x+(r一p)x+L000111為此編寫MATLAB程序（見附錄），從風險度Q=0開始,索5根據附錄中程序一，最優(yōu)收益值R和最小風險度Q以及投資額分配之間的對應關系計算結果列表如下：風險度Q0最優(yōu)收投資S的資金百分比xii(i=0,1,2,3,4,5.)益R0.03001.00000.00000.00000.00000.00000.00000.00100.07020.75770.04170.06

16、250.01920.04550.06670.00200.11030.51530.08330.12500.03850.09090.13330.00300.15050.27300.12500.18750.05770.13640.20000.00400.19070.03060.16670.25000.07690.18180.26670.00500.20440.00000.20830.31250.09620.02850.33330.00600.20920.00000.25000.37500.11540.00000.23960.00700.21300.00000.29170.43750.13460.00

17、000.11620.00800.21670.00000.33330.49270.15380.00000.00000.00900.21930.00000.37500.43170.17310.00000.00000.01000.22190.00000.41670.37080.19230.00000.00000.01100.22450.00000.45830.52660.00000.00000.00000.01200.22710.00000.50000.24890.23080.00000.00000.01300.22970.00000.54170.18790.25000.00000.00000.01

18、400.23220.00000.58330.12690.26920.00000.00000.01500.23480.00000.62500.06600.28850.00000.00000.01600.23740.00000.66670.00510.30770.00000.00000.01700.24000.00000.70830.00000.27230.00000.00000.01800.24260.00000.75000.00000.23210.00000.00000.01900.24510.00000.79170.00000.19180.00000.00000.02000.24770.00

19、000.83330.00000.15150.00000.00000.02100.25030.00000.87500.00000.11120.00000.00000.02200.25290.00000.91670.00000.07100.00000.00000.02300.25550.00000.95830.00000.03070.00000.00000.02400.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.02500.25740.00000.99010.00000.00000.00000.00000.09900.25740.00000.99010.00

20、000.00000.00000.0000從上表可以看出，風險越大，收益也越大，冒險的投資者可能會集中投資，而保守的投資著者則會盡量分散投資。但是，在風險度Q從0.0000增長到0.0080過程中，風險增加很少時，收益增加也很快，而風險度Q在0.0080之后，風險增加很大時而收益卻增加的很緩慢。由于在風險度Q從0.0240之后，最優(yōu)收益R已經達到最大，不再增加，所以對于一般投資者來說，選擇Q=0.0240,R=0.2574時的安排才為最優(yōu)投資組合方案。4.3.3使R/Q最大或Q/R最小的模型按照收益風險最大原則,可取模型maxRQ，由于q=0，因而取x=1,x=x=L=x=0時，maxRQ二+*

21、。當然，也可取模型00125minQ；R，同上，由于q=0，因而取x=1,x=x=L=x=0時，minQR=0，從而可知，全部錢00125存銀行是最優(yōu)解。對于此問題，其他投資的收益與風險損失率都不影響該最優(yōu)解，故這種模型不夠好。4.3.4偏好系數模型由偏好系數法，我們選取偏好系數卩(01),建立模型max(l卩)R-卩y，具體數據可應用參數規(guī)劃法進行計算。權重r最小投資S的資金百分比xii風(i=0,123,4,5)險度Q0.0230.0000.9900.0000.0000.0000.0000，0.720080100000.0070.0000.3300.4960.1520.0000.0000.

22、7210,0.792090937000.0050.0000.2140.3220.0990.0000.3430.7930,0.907020932080.0040.0000.1710.2570.0790.1870.2750.9090,0.975010994610.0001.0000.0000.0000.0000.0000.0000.9760,10000000附錄一模型一Lingo語句min=y;0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3+(0.23-0.065)*x4+(0.21-0.02)*x5=0.03;x0+1.01*x1+1.

23、02*x2+1.045*x3+1.065*x4+1.02*x5=1;0.024*x1=y;0.016*x2=y;0.052*x3=y;0.022*x4=y;0.015*x5R=0.03whileRQ=0while(1.1-Q)1%orQ1c=-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185;Aeq=11.011.021.0451.065;beq=1;A=00.025000;000.01500;0000.0550;00000.026;b=a;a;a;a;vlb=0,0,0,0,0;vub=;x,val=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub);ax=xQ=-valplot(a,Q,.)axis(00.100.5)holdona=a+0.001;endxlabel(a),ylabel(Q)模型三Lingo語句max(l卩)R-卩y,max=(1-0.2)*(0.03*x0+(0.27-0.01)*x1+(0.22-0.02)*x2+(0.25-0.045)*x3