高等數學課件14

1、高等數學課件14高等數學課件14 本節(jié)主要討論函數極限的性質，數列極限的性質可以平行地得到。函數極限的性質主要包括一、唯一性二、局部有界性三、局部保號性四、歸并性本節(jié)要點 本節(jié)主要討論函數極限的性質，數列極限的性質可以本節(jié)要定理1 (極限的唯一性)如果極限存在，則極限是唯一的.證 （僅證數列的情況，函數的極限性質的證明可以平行地得到.）設 且 假如因為 當取 時， 當 時，有定理1 (極限的唯一性)如果極限存在，則極限是唯一的.取 則當 時有，這是矛盾的，所以因為 當取 時， 當 時，有取 定理2 (局部有界性)如果極限 存在 ，那么在 的某個空心鄰域內，函數 有界.即： 在 的某個空心鄰域內

2、有界.證 設 ，由定義，對 存在 當，即 有定理2 (局部有界性)如果極限 局部有界的幾何意義 從圖中可以看出局部有界的含義：函數 在 處的極限為 ，則存在點x0的一個空心鄰域 當點 在該鄰域中，對應的函數圖形在某一個帶形區(qū)域中，而該鄰域外的點所對應的函數圖形，則可能呈現無規(guī)律的變化狀態(tài).xyoA+1A-1A局部有界的幾何意義 從圖中可以看出局部有界的含義：函數定理 (有界性)如果極限 存在 ，那么存在使得對所有的 ，有推論 若數列 無界 ，則極限 不存在.證 設 ，由定義，對 存在 當時，有 從而取 ，則對所有的 ，有 。定理 (有界性)如果極限 定理3 (極限的保號性)如果 ，則存在點 的

3、某個空心鄰域內，使得在該領域中有：當 時，有證 設 ，由定義，對 存在xyo3A/2A/2A定理3 (極限的保號性)如果 推論 在 的某個空心領域中，有 且則例 時 但 注意：如果推論的條件改成 （嚴格大于），則不能推出 推論 在 的某個空心領域中，有 證 設 ，則存在 當 有設 存在，又設 是函數 定義域中的一個任意數列， 且則此數列相應的函數值數列 收斂，且定理4(函數極限的歸并性)證 設 ，因而即 此定理的一個實際意義是：對函數，如果能夠找到兩個不同的子列，使函數收斂到兩個不同的值，則說明函數在這一點無極限.又因 故對 ，存在 ，當 時，有 即因而即 此定理的一個實際意義是：對函數，如果能夠找到高等數學課件14證 令則但所以 不存在.例 證明函數 在 時極限不存在.證 令則但所以 不存高等數學課件14 對于數列，相應的歸并性定理為所以， 不存在.定理 設數列 存在，則對于 的任一子列有 用此定理，即可說明數列 的極限不存在。事實上： 對于數列，相應的歸并性定理為所以， 則， 值得注意的是，對于函數，我們不能用此定理來證明的存在，但對數列，若數列 的兩個子列 滿足：則， 值得注意的是，對于函數，我們不能用此定理來證明 思考：對于數列而言，這個性質說明的本質問題是什么？ 你是否能給出一個一般結論并證明之