換元積分法教案

1、 時間星期-月日課題4.2換元積分法教學(xué)目的使學(xué)生掌握不定積分的第一換兀積分法以及第二換兀積分法教學(xué)重點第一換元積分法以及第二換元積分法的應(yīng)用教學(xué)難點第二換元積分法的應(yīng)用課型專業(yè)基礎(chǔ)課教學(xué)媒體教法選擇講授教學(xué)過程教法運用及板書要點-、第一類換元法(湊微分法)設(shè)f(u)有原函數(shù)F(u),u=(x),且申(x)可微，那么，根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法，有dF申(x)=dF(u)=F(u)du=F申(x)d申(x)=F，申(x)0(x)dx,所以F，申(x)0(x)dx=F，申(x)d申(x)=F(u)du=dF(u)=dF申(x),因此fF9(x)cp(x)dx=fFg(x)dq(x)=fF(u)du=fd

2、F(u)=fdFp(x)Fp(x)+C.即ffp(x)p(x)dx=ffp(x)dp(x)=ff(u)du()u=p(x)=F(u)+Qu=p(x)=FP(x)+C定理1設(shè)/(“)具有原函數(shù),w=p(x)可導(dǎo)，則有換元公式ffp(x)p(x)dx=ffp(x)dp(x)=ff(u)du=F(u)+C=Fp(x)+C.被積表達(dá)式中的dx可當(dāng)作變量x的微分來對待，從而微分等式p(x)dx=du可以應(yīng)用到被積表達(dá)式中.在求積分fg(x)dx時，如果函數(shù)g(x)可以化為g(x)=fp(x)p(x)的形式，那么fg(x)dx=ffp(x)p(x)dx=ff(u)duu=p(x)【例1】f2cos2xdx

3、=fcos2x-(2x)dx=fcos2xd(2x)=fcosudusinu+C=sin2x+C-【例2】匸dx=小匸(3+2x)dx小匸d(3+2x)3+2x23+2x23+2x1f丄dxlnlu1+Clnl3+2x1+C.2u22此表2學(xué)時填寫一份，“教學(xué)過程”不足時可續(xù)頁【例3.】f2xex2dx=fex2(x2)dx=fex2d(x2)=feudu=eu+C=ex2+C.【例4】fxJlx2dx=2J-x2(x2)dx=2Jj-x2dx2=1fJ1_x2d(1x2)=2Ju2du=1u2+C13=_3(1x2)2+C.【例5】ftanxdx=fdx=fdcosxcosxcosx=f丄d

4、u=-In1u1+C=lnlcosxl+C.u即ftanxdx=lnlcosxl+C.類似地可得fcotxdx=lnlsinxl+C.熟練之后，變量代換就不必再寫出了.【例6】fdx=fdx一fd一arctan+C.a2+x2a2i+(x)2a+(x)2aaaaa即fdx一arctan+C.a2+x2aa【例7】當(dāng)a0時，f；dxfdx=fidarcsin+C.厶2x2a1-(&)21&aaiaia即ft1=dxarcsin匹+C.va2x2a【例8】f1dx=Jf(11)dx1f1dxf1dxx2a22axax+a2ax一ax+afd(xa)fd(x+a)2axax+alnlxallnlx+

5、al+C一丄lnll+C.2a2ax+a即f1_dx-占lnll+C.x2一a22ax+a【例9】fdxfdlnx1fd(1+2lnx)Jx(1+2lnx)1+2lnx_21+2lnx2lnl1+2lnxl+C.f【例10】fldx一2fe3、xdx-Je3、xd3+x-x+C.Jx33含三角函數(shù)的積分：【例11】fsin3xdx=fsin2x-sinxdx=f(1cos2x)dcosx=-fdCOSx+JCOS2xdCOSx=-cosx+3cos3x+C.例12】Jsin2xcos5xdx=Jsin2xcos4xdsinx=fsin2x(1-sin2x)2dsinx=f(sin2x一2sin

6、4x+sin6x)dsinx=丄sin3x一2sin5x+丄sin7x+C.357【例13】fcos2xdx=f-dx=-(fdx+fcos2xdx)=1fdx+1fcos2xd2x=1x+1sin2x+C.2424【例14】fcos4xdx=f(cos2x)2dx=f2(1+cos2x)2dx=4f(1+2cos2x+cos22x)dx=fC3+2cos2x+丄cos4x)dx422=4(2x+sin2x+8sin4x)+C=3x+丄sin2x+丄sin4x+C.8432【例15】fcos3xcos2xdx=1f(cosx+cos5x)dx=1sinx+丄sin5x+C.210【例16】fc

7、scxdx=f.dx=fdxsinx2sinxcosx22d2pdtan豐一f2一f2一ln1tan小1+C=lnIcscx-cotxl+C.tanxcos2jtan豐2222即fcscxdx=lnIcscx-cotxl+C.【例17】fsecxdx=fcsc(x+)dx=lnIcsc(x+號)-cot(x+號)l+C=ln|secx+tanx|+C.即卩fsecxdx=ln|secx+tanx|+C.練習(xí)：1、e3x+exe3x+exex+e-xdx=dxe4xe2x+1e2x1+e-2x=f_J=arctan(ex-e-x)+C。1+(exe-x)22、f1+cosxdx=fd(x+sin

8、x)=InIx+sinxI+Cx+sinxx+sinx3、f1+lnxdx=f1d(xlnx)=-+C(xlnx)2(xlnx)2xlnx4、fsin2xcos5xdx=fsin2xcos4xdsinx=fsin2x(1-sin2x)2dsinx=f(sin2x一2sin4x+sin6x)dsinx=3sin3x一gsin5x+7sin7x+C5、fcos3xcos2xdx=2f(cosx+cos5x)dx=2sinx+盅sin5x+C二、第二類換元法第一類換元法，是選擇恰當(dāng)?shù)膗=申(x),du=(x)dx將積分ffP(x)p(x)dx變換成ff(u)du，在找f(u)的原函數(shù)，即可計算出積分

9、ff9(x)p(x)dxo反過來，對積分ff(x)dx，也可以令x=屮(t)，則dx=屮(t)dt，于是ff(x)dx=ff屮(t(t)dt,如果ff屮(t(t)dt容易求得，且x=屮(t)的反函數(shù)存在，即可求得原積分。這種方法就是第二類換元法。定理2設(shè)x=(u)在a,卩嚴(yán)格單調(diào)且可導(dǎo)，9(u)豐0，又設(shè)f0).x2+a2=In解：設(shè)t=Jxx=t2dx=2tdt，代入原積分，得TOC o 1-5 h zjJdx=j三dt=2jt+1一1=2jdt2j丄dtx+1t+1t+1t+1=2t2ln11+11+C=2、：x2ln11+、：xI+C【例19】求ji；a2-x2dx(a0).解：設(shè)x=a

10、sint,一豐t-2,那么Pa2一x2=：a2一a2sin21=acost,Z-!Z-!dx=acostdt,于是J*a2x2dx=jacost-acostdt1+cos2t了.11.=a2Jcos2tdt=a2dt=a2(t+sin2t)+C224因為t=arcsin蘭，sin2t=2sintcost=2-2,所以aaajJa2x2dx=a2(丄t+丄sin2t)+C=arcsin匹+1xva2一x2+C.242a2注:va2x2令x=asint解法:設(shè)x=atant,一號t0).VX2一a2解：當(dāng)xa時，設(shè)x=asect(0t*),dx=asecttantdt那么Jx2-a2=Ja2sec

11、21-a2=aJec21-1=atant,于是f=fdt=fsectdt=InIsect+tantl+C.Jx2-a2atant因為tant=g-a2,sect=&,所以aaf=inIsect+tantl+C=lnlxJx2-a2I+C=ln(x+Jx2-a2)+C,Vx2a2aa1其中C1=C-lna.當(dāng)xa,于是f=-f=-ln(u+勺u(yù)2-a2)+CVx2-a2Vu2-a2=-in(-x+1x2一a2)+C=in(-x-Jx2-a2)+q,一in+C一in(-x-Jx2-a2)+C,a21其中C1=C-2ina.綜合起來有f,=inlx+Jx2-a2I+C.Vx2-a2注：Jx2-a2設(shè)

12、x=asect例12,13,14所作的代換稱為三角代換。一般地有a2-x2x=asint或者x=acosta2+x2x=atant或者x=ashtJx2-a2x=asect或者x=achtsin2x+cos2x=11+tan2x=sec2xfdx【例22】求fx3丁1+x411,解：(倒數(shù)代換)令x=-dx=-一dt，有t12_1djdxJj13dt1jd(t4+1)X3l+X41L丄1Jt4+14Jt4+1t3q14一5+c一1尸+c二時+c22x42x2這種方法稱為倒數(shù)變換。f1+sinx,【例23】求J.c、dxsmx(1+cosx)、幾x2u1一u22,解：設(shè)u=tansinx=cosx=dx=du，貝q21+u21+u21+u21丄2uj1+sinxdx=j+1+u22dusinx(1+cosx)2ud1一u21+u2(1+)1+u21+u2=j(u+2+)du=-u2+u+-In1u1+C2u421xx1x.=tan2+tan+In1tan1+