(江蘇專(zhuān)用)2013高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)(基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練+綜合創(chuàng)新備選)第八篇第51講立體幾何中的向量

1、9 9 .1 4 5_word2013 高考總復(fù)習(xí)某某專(zhuān)用（理科） ：第八篇第 51 講 立體幾何中的向量方法 (2) 求空間角與距離 （基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練 +綜合創(chuàng)新備選， 含解析）A 級(jí) 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)演練( 時(shí)間： 45 分鐘 滿分： 80 分)一、填空題 ( 每小題 5 分，共 35 分)1如圖所示，在正方體 ABCD1AB1C1 D1 中， O是底面正方形 ABCD的中心， M是 D1 D的中點(diǎn)， N 是 A1B1 上的動(dòng)點(diǎn)，則直線 NO、 AM的位置關(guān)系是 _解析 建立坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2，則 A(2,0,0) ， M(0,0,1) ， O(1,1,0) ， N(2， t, 2)，

2、 NO( 1,1 t ， 2)， AM( 2,0,1) ， NOAM 0，則直線 NO、 AM的位置關(guān)系是異面垂直答案 異面垂直 2在正方體 ABCD-A1B1C1 D1 中， M、N分別為棱 AA1 和 BB1 的中點(diǎn)， 則 sinCM，D1N的值為 _解析 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 2，以 D為坐標(biāo)原點(diǎn)， DA為 x 軸， DC為 y 軸， DD1 為 z 軸建立空間 直角坐標(biāo)系 ( 如圖 ) ，可知 CM(2 ， 2,1) ， D1N(2,2 ， 1)， cos CM， D1 N ，所以 sin CM， D1 N答案4 593在長(zhǎng)方體 ABCD-A1B1C1 D1 中， ABAA1 2， AD

3、1， E 為 CC1 的中點(diǎn)，則異面直線所成角的余弦值為 BC1 與 AE解析 建立坐標(biāo)系如圖，1 / 15BC1 AE 304 210word則 A(1,0,0) ， E(0,2,1) ，B(1,2,0) ， C1(0,2,2) BC1 ( 1,0,2) ， AE( 1,2,1) ， cos BC1， AE 10 .| BC1| AE|30所以異面直線 BC1 與 AE所成角的余弦值為 .1030答案4 (2011 全國(guó)卷改編 ) 已知直二面角 l ，點(diǎn) A ， ACl， C 為垂足，點(diǎn) B ， BD l， D為垂足，若 AB2， ACBD 1，則 CD_.解析 如圖，建立直角坐標(biāo)系 D-

4、xyz，由已知條件 B(0,0,1) ， A(1， t, 0)( t 0) ，由 AB2解得 t 2.答案 215在正方體 ABCD-A1B1C1 D1 中， E 是棱 BB1 中點(diǎn)， G是 DD1 中點(diǎn)， F 是 BC上一點(diǎn)且 FB BC， 4則 GB與 EF所成的角為 _解析 如圖建立直角坐標(biāo)系 Dxyz，設(shè) DA 1，由已知條件G0， 0， ， B( 1， 1， 0)， E 1， 1， ， F ， 1， 0 ， GB 1， 1， ，1 1EF ， 0，2 / 152，aaCB nGB EF 3 ， 33 ， 3word cos GB， EF 0，| GB| EF| 則GBEF.答案 90

5、6正四棱錐 S - ABCD中， O為頂點(diǎn)在底面上的射影， P 為側(cè)棱 SD的中點(diǎn)，且 SOOD， 則直線 BC與平面 PAC的夾角的大小為 _解析 如圖所示，以 O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 O- xyz .設(shè) ODSOOA OBOCa，則 A( a, 0,0) ， B(0， a, 0)， C( a, 0,0) ， P 0， a2， a2 . 則CA(2 a, 0,0) ， AP設(shè)平面 PAC的法向量為a，n，可求得2 ， CB ( a， a, 0)n (0,1,1) ，則 cos CB， n | CB| n| CB， n 60，直線 BC與平面 PAC的夾角為答案 307 (2011 全國(guó)卷

6、改編 ) 已知點(diǎn) 2EB， CF2FC1，則面 AEF與面a12a2 2 2 .90 60 30.E、 F 分別在正方體 ABCD-A1B1C1 D1 的棱 BB1， CC1上，且 B1EABC所成的二面角的正切值為 _解析如圖， 建立直角坐標(biāo)系1 2Dxyz，設(shè) DA 1 由已知條件 A(1,0,0) ，E 1， 1， F 0， 1， 1 2AE 0， 1， AF 1， 1，3 / 15由23311 33 2， ， n ，1 m1 m word設(shè)平面 AEF的法向量為 n (x， y， z)，面 AEF與面 ABC所成的二面角為 nAE0，nAF0，y z 0，xy z 0.令 y 1， z

7、 3， x 1，則 n ( 1,1 ， 3)平面 ABC的法向量為 m (0,0 ， 1)cos cos n， m2答案， tan .二、解答題 ( 每小題 15 分，共 45 分)8如圖，已知四棱錐 P- ABCD的底面為等腰梯形， ABCD， AC BD垂足為 H， PH是四棱錐的高， E為 AD中點(diǎn)(1) 證明： PEBC；(2) 若 APB ADB60，求直線 PA與平面 解 以 H為原點(diǎn)， HA、 HB、 HP所在直線分別為PEH所成角的正弦值x 軸， y 軸， z 軸，線段 HA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則 A(1,0,0) ， B(0,1,0) (1) 證明 設(shè) C(

8、 m,0,0) ， P(0,0 ， n)( m0， n 0)，則 D(0， m,0)， E 2， 2， 0 .可得 PE2 2 BC ( m， 1,0) 因?yàn)?PE BC 00，m m2 2所以 PEBC.4 / 153word(2) 由已知條件及 (1) 可得 m 33， n 1，則 P(0,0,1) BC 3， 1， 0 ， AP( 1,0,1) 由(1) 知BC為面 PEH的一個(gè)向量 BCAP 2 cos BC， AP 4 ， | BC| AP|因此直線 PA與平面 PEH所成角的正弦值為9如圖所示，在四棱錐 A- BCDE中，底面24 .BCDE為矩形，側(cè)面 ABC底面 BCD，E B

9、C2， CD 2， ABAC.(1) 證明： ADCE；(2) 設(shè)側(cè)面 ABC為等邊三角形，求二面角 C- AD- E的大小(1) 證明 取 BC中點(diǎn) O， 連接 AO，則 AOBC由已知條件 AO平面 BCDE，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系 Oxyz，則 A(0,0 ， t )， D(1， 2， 0)C(1,0,0) ， E( 1， 2， 0)，AD (1， 2， t )CE ( 2， 2， 0) 則AD CE0，因此 AD CE.(2) 解 作 CFAD垂足為 F，連接 EF， 則 AD平面 CEF從而 EFAD5 / 15CF EF CE2 10CF word則 CFE為二面角 C- AD-

10、 E 的平面角AC CD 2 3在 RtACD中， AD 3 ，在等腰 ADE中， EF303 ，2 2cos CFE 2CF EF 10 .二面角 C-AD-E的余弦值為1010 .10 (2011 某某調(diào)研 ) 如圖，在三棱錐 P- ABC中， PB底面 ABC， BCA90， PBBCCA4 2，點(diǎn) E， F 分別是 PC， PA的中點(diǎn)，求二面角 A- BE- F 的余弦值解 如圖， 以 BP所在直線為 z 軸， BC所在直線 y 軸， 建立空間直角坐標(biāo)系0)， A(4 2， 4 2， 0)， C(0， 4 2， 0)， P(0,0 ， 4 2)， E(0， 2 2， 22 2)因?yàn)?P

11、B平面 ABC，所以 PBAC.又 ACCB，所以 AC平面 PBC.B xyz，則 B(0,0 ，2)， F(2 2， 2 2，所以 ACPC.所以 EFPC.又 BEPC，所以 PC平面 BEF.而PC(0,4 2， 4 2)，所以平面 BEF的一個(gè)法向量 n1 (0,1 ， 1)設(shè)平面 ABE的一個(gè)法向量 n2 ( x， y， z)，6 / 1521wordn2 BE2 則n2 BA42y 2 2z 0，2x 4 2y 0.取 x 1，則平面 ABE的一個(gè)法向量 n2 (1 ， 1,1) 所以 cos n1， n2 36 .由圖知二面角 ABEF的平面角為銳角所以二面角 A- BE- F

12、的平面角的余弦值為63 .一、填空題 ( 每小題1如圖，在四棱錐B 級(jí) 綜合創(chuàng)新備選( 時(shí)間： 40 分鐘 滿分： 90 分)5 分，共 15 分)P- ABCD中，側(cè)面 PAD為正三角形，底面 ABCD為正方形，側(cè)面 PAD底面 ABCD， M為底面 ABCD內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足 MPMC， 則點(diǎn) M在正方形 ABCD內(nèi)的軌跡為 _解析 以 D為原點(diǎn)， DA、 DC所在直線分別為 x、 y 軸建系如圖：設(shè) M( x， y, 0) ，設(shè)正方形邊長(zhǎng)為 a，則 P a2， 0， 23a ， C(0， a, 0) ，則 MC x2 y a2，MP xy2 23a 2 .由 MPMC得 x 2y，所以

13、點(diǎn) M在正方形 ABCD內(nèi)的軌跡為直線 y x 的一部分答案 2 已知正方體 ABCD1AB1C1 D1 的棱長(zhǎng)為 1， 點(diǎn) P在線段 BD1 上， 當(dāng)APC最大時(shí)， 三棱錐 P ABC7 / 15ab ab ab2 2 22ab22 2 b2 2aA P CP 2 2313 2 3 18 .word的體積為 _解析 以 B為坐標(biāo)原點(diǎn)， BA為 x 軸， BC為 y 軸， BB1 為 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 ( 如圖所示 ) 設(shè) B P BD1，可得： P( ， ， ) 再由 cos APC 可求得| A P| | CP|當(dāng) 時(shí)， APC最大1 1 1 1故 VP ABC 11 1答案183

14、 P 是二面角BPN45，- AB- 棱上的一點(diǎn)，分別在 、 平面上引射線 PM、 PN，如果 BPMMPN60，那么二面角 - AB- 的大小為 _解析 不妨設(shè) PMa， PNb，如圖，作 MEAB于 E， NFAB于 F， EPM FPN45，PE 2 a， PF 2 b， EM FN( PMPE) (PNPF) PM PNPM PFPE PNPE PFabcos 60 a 2 bcos 45 0，22 abcos 45 EMFN，二面角 - AB- 的大小為 90.答案 908 / 15由得 6226word二、解答題 ( 每小題 15 分，共 75 分)4 (2011 某某模擬 )如圖

15、， 在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中， ACB90， BAC30，A1A 6， M是 CC1 的中點(diǎn)(1) 求證： A1BAM；(2) 求二面角 B - AM-C的平面角的大小(1) 證明 以點(diǎn) C為原點(diǎn)， CB、 CA、 CC1 所在直線為 x， y， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系BC 1，Cxyz，如圖所示，則 B(1,0,0) ， A(0， 3，所以 A1B(1 ， 3， 因?yàn)?A1B AM10 (0)， A1(0，6)， AM3) (3， 6)，0， 3，6M 0， 0， .26.23) ( 6) 260，所以 A1BAM.(2) 解 因?yàn)?ABC- A1B1C1 是直三棱柱，所以

16、CC1平面 ABC，又 BC? 平面 ABC， 所以 CC1 BC. 因?yàn)?ACB90，即 BCAC，所以 BC平面 ACC1，即 BC平面 AMC. 所以 CB是平面 AMC的一個(gè)法向量， CB(1,0,0) 設(shè) n (x， y， z) 是平面 BAM的一個(gè)法向量， BA ( 1， 3， 0)， BM 1， 0， .nBA0，nBM0，x 3y 0，x z 0，令 x 6 ，得 y 2， z 2.所以 n ( 6， 2， 2)9 / 15CB n 261 t BA1 n 1word因?yàn)?| CB| 1， | n| 2 3，所以為 45.5 (2011 蘇錫常鎮(zhèn)揚(yáng)五市調(diào)研cos CB， n 2

17、 ，因此二面角 B - AM- C的大小| CB| n|) 如圖，正方體 ABCD- A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為 1， E， F 分別在棱AA1 和 CC1 上( 含線段端點(diǎn) )(1) 如果 AEC1 F，試證明 B， E， D1， F 四點(diǎn)共面；(2) 在(1) 的條件下，是否存在一點(diǎn) E，使得直線 A1B 和平面 BFE所成角等于 ？如果存在，確定點(diǎn) E 的位置；如果不存在，試說(shuō)明理由(1) 證明 以點(diǎn) A 為原點(diǎn)， AB所在直線為 x 軸， AD所在直線為 y 軸， AA1 所在直線為 z軸建立空間直角坐標(biāo)系 Axyz，設(shè) AEGFt .則 B(1,0,0) ， D1(0,1,1) ，

18、E(0,0 ， t )， F(1,1,1 t ) ，其中 0 t 1. 則BE FD1 ( 1,0， t ) ，所以 BEFD1 .所以 B， E， D1， F 四點(diǎn)共面 (2) 解 BA1 ( 1,0,1) ， BE ( 1,0， t )， BF(0,1,1 t )，可求平面 BFE的法向量 n ( t， t 1,1) ，若 直 線 A1B 與 平 面 BFE 所 成 的 角 等 于 6 ， 則 有 sin 6 ， 即 2 | BA1| n|2 t 2 t 1 2 1，解得 t 0，所以點(diǎn) E 存在，且坐標(biāo)為 E(0,0,0) ，即 E 在頂點(diǎn) A處6 (2011 某某調(diào)研 )在正方體 AB

19、CD- A1B1C1D1 中， O是 AC的中點(diǎn)， E是線段 D1O上一點(diǎn)，且10 / 15DE CD1 3則 E ，由題意知 EwordD1 E EO.(1) 若 1，求異面直線 DE與 CD1 所成角的余弦值；(2) 若平面 CDE平面 CD1O，求解 (1) 不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 的值1，以 DA， DC， DD1為單位正交基底建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 D - xyz .1 1則 A(1,0,0) ， O 2， 2， 0 ， C(0,1,0) ， D1(0,0,1) ，1 1 1(1) 4， 4， 2 . 1 1 1于是 DE 4， 4， 2 ， CD1 (0 ， 1,1) 由 co

20、s DE， CD1 6 .| DE| CD1|3所以異面直線 DE與 CD1 所成角的余弦值為 .6(2) 設(shè)平面 CD1O的法向量為 m( x 1， y 1， z 1)， 由 m CO0， m CD10，x1 y 1 0，1 1得 2 2y 1 z 1 0.取 x1 1，得 y1 z 1 1，即 m(1,1,1) 由 D1 E EO， 12 1 2 1 ， 1 ，11 / 15y 2 z22 1 66word DE 2 1 ， 2 1 ， 1 .又設(shè)平面 CDE的法向量為 n (x2， y2， z2)，由 n CD0，y2 0 ， 得 x22 1 取 x2 2，得n DE0， 1 0.z2

21、，即 n (2,0 ， )因?yàn)槠矫?CDE平面 CD1O，所以 m n 0，得 2.7 (2011 某某調(diào)研 )如圖，在四棱錐 PABCD中，已知 PB底面 ABCD，ABBC， ADBC， AB AD2， CDPD，異面直線 PA和 CD所成角等于 60.(1) 求直線 PC和平面 PAD所成角的正弦值的大?。?2) 在棱 PA上是否存在一點(diǎn) E，使得二面角 A BE D的余弦值為 ？若存在，指出點(diǎn) E 在棱 PA上的位置；若不存在，說(shuō)明理由解 如圖，以 B 為原點(diǎn)， BA， BC， BP所在直線分別為 x， y， z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè) BCa，BP b，則 B(0,0,0) ，A

22、(2,0,0) ，C(0，a, 0)，D(2,2,0) ，P(0,0 ，b) P D (2,2 ， b)， CD (2,2 a, 0)， CDPD， CD P D 0. 4 4 2a 0， a 4. 又 P A (2,0 ， b)， CD (2 ， 2,0) ，異面直線 PA和 CD所成角等于 60，12 / 15 2 ，P C n1 2 20 2則由 得n2 n3 6 |1 | 6 2則由 得word PA CD 1 ，即| PA | | CD|解得 b 2.4 1b2 4 2 2 2 (1) P C (0,4 ， 2)， A D (0,2,0) ， PA (2,0 ， 2)設(shè)平面 PAD的

23、一個(gè)法向量為 n1 (x 1， y 1， z 1)，n1 AD 0， y 1 0， x 1 z 1 0.n1 PA 0，取 n1 (1,0,1) ，sin | PC | | n1|1010 ，直線 PC和平面(2) 假設(shè)存在，設(shè) 0,2 2 )PAD所成角的正弦值為 P E P A ，且 E( x，10.10y， z) ，則 ( x， y， z 2) (2,0 ， 2)， E(2 ，設(shè)平面 DEB的一個(gè)法向量為 n2 (x2， y2， z2)，n2 BE 0， x 2 1 z2， x2 y2 .n2 BD 0，取 n2 ( 1,1 ， ) ，又平面 ABE的法向量 n3(0,1,0) ，由 c

24、os | n2| n3| 6 ，得 2 1 2 2 6 ，解得 3或 2( 不合題意 )存在這樣的 E 點(diǎn)， E為棱 PA上的靠近 A 的三等分點(diǎn)8 (2010 某某 ) 如圖，在五棱錐 P-ABCDE中， PA平面 ABCD，E ABCD， ACED， AEBC， ABC45， AB2 2， BC 2AE4，三角形 PAB是等腰三角形13 / 15 h 2 1word(1) 求證：平面 PCD平面 PAC；(2) 求直線 PB與平面 PCD所成角的大??；(3) 求四棱錐 P- ACDE的體積(1) 證明 在 ABC中，因?yàn)?ABC45，2 2所以 ACAB B2C 2AB BCcos 45 因此 AC2 2，故 BC2AC2 AB2，所以 BAC90.BC4， AB2 2，8，又 PA平面 ABCD，E ABCD，所以 CDPA， CDAC，又 PA， AC? 平面 PAC， 且 PAACA，所以 CD平面 PAC.又 CD? 平面 PCD，所以平面 PCD平面 PAC.(2) 解 法一 因?yàn)?PAB是等腰三角形，所以 PAAB2 2，因此 2 2 又 ABCD，PB PA AB4.所以點(diǎn) B