年高考數(shù)學 立體幾何 專題復習課件

1、第一節(jié) 空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖第九單元 立體幾何基礎梳理1. 多面體(1)有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.(2)有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的多面體叫做棱錐.(3)用一個平行于棱錐底面的平面截棱錐,底面和截面之間的這部分多面體叫做棱臺.2021/8/8 星期日12. 旋轉(zhuǎn)(1)以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱.(2)以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體體叫做圓錐.(3)以半圓的直徑所

2、在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,將半圓旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱球.3. 三視圖和直觀圖(1)三視圖是從一個幾何體的正前方、正左方、正上方三個不同的方向看這個幾何體,描繪出的圖形,分別稱為正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.(2)三視圖的排列順序:先畫正視圖,俯視圖放在正視圖的下方,側(cè)視圖放在正視圖的右方.(3)三視圖的三大原則:長對正、高平齊、寬相等.2021/8/8 星期日2(4)水平放置的平面圖形的直觀圖的斜二測畫法：在已知圖形中,取互相垂直的x軸和y軸,兩軸相交于點O,畫直觀圖時,把它們畫成對應的x軸和y軸,兩軸相交于O,且使xOy=45(或135),用它們確定的平面表示水平面.已知圖形中平行于x軸或y

3、軸的線段,在直觀圖中,分別畫成平行于x軸或y軸的線段.已知圖形中平行于x軸的線段,在直觀圖中保持原長度不變；平行于y軸的線段,在直觀圖中長度變?yōu)樵瓉淼囊话?典例分析題型一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征【例1】根據(jù)下列對幾何體結(jié)構(gòu)特征的描述,說出幾何體的名稱.(1)由八個面圍成,其中兩個面是互相平行且全等的正六邊形,其他各面都是矩形;(2)一個等腰梯形繞著兩底邊中點的連線所在的直線旋轉(zhuǎn)180形成的封閉曲面所圍成的圖形;(3)一個直角梯形繞較長的底邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的幾何體.2021/8/8 星期日3分析 要判斷幾何體的類型,從各類幾何體的結(jié)構(gòu)特征入手，以柱、錐、臺的定義為依據(jù)，把復雜的

4、幾何體分割成幾個簡單的幾何體.解 (1)如圖1所示,該幾何體滿足有兩個面平行,其余六個面都是矩形,可使每相鄰兩個面的公共邊都互相平行,故該幾何體是正六棱柱.(2)如圖2所示,等腰梯形兩底邊中點的連線將梯形平分為兩個直角梯形,每個直角梯形旋轉(zhuǎn)180形成半個圓臺,故該幾何體為圓臺.(3)如圖3所示,由梯形ABCD的頂點A引AOCD于O點,將直角梯形分為一個直角三角形AOD和矩形AOCB,繞CD旋轉(zhuǎn)一周形成一個組合體,該組合體由一個圓錐和一個圓柱組成.圖1 圖2 圖32021/8/8 星期日4學后反思 對于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)問題,要對原平面圖形作適當?shù)姆指?再根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征進行

5、判斷.舉一反三1. 觀察如圖幾何體,分析它們是由哪些基本幾何體組成的,并說出主要結(jié)構(gòu)特征.解析 (1)是一個四棱柱和一個四棱錐組成的,它有9個面,9個頂點,16條棱.(2)是由一個四棱臺、一個四棱柱和一個球組成的,其主要結(jié)構(gòu)特征就是相應四棱臺、四棱柱和球的結(jié)構(gòu)特征.2021/8/8 星期日5題型二 柱、錐、臺中的計算問題【例2】正四棱臺的高是17 cm,兩底面邊長分別是4 cm和16 cm,求棱臺的側(cè)棱長和斜高.分析 求棱臺的側(cè)棱長和斜高的關(guān)鍵是找到相關(guān)的直角梯形,然后構(gòu)造直角三角形,解決問題.解 如圖所示,設棱臺的兩底面的中心分別是 、O, 和BC的中點分別是 和E,連接 、 、 、OB、

6、、OE,則四邊形 和 都是直角梯形. =4 cm,AB=16 cm, =2 cm,OE=8 cm, =2 cm,OB=8 cm,=19 cm,棱臺的側(cè)棱長為19 cm,斜高為 cm.2021/8/8 星期日6學后反思 （1）把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題去解是解決立體幾何問題的常用方法.（2）找出相關(guān)的直角梯形，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵，正棱臺中許多元素都可以在直角梯形中求出.舉一反三2. （2009上海）若等腰直角三角形的直角邊長為2，則以一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體的體積是_.解析 如圖，等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐.V= Sh= h= 2= .答案 2021/8/8 星

7、期日7題型三 三視圖與直觀圖【例3】螺栓是由棱柱和圓柱構(gòu)成的組合體,如下圖,畫出它的三視圖.分析 螺栓是棱柱、圓柱組合而成的，按照畫三視圖的三大原則“長對正，高平齊，寬相等”畫出.解 該物體是由一個正六棱柱和一個圓柱組合而成的,正視圖反映正六棱柱的三個側(cè)面和圓柱側(cè)面,側(cè)視圖反映正六棱柱的兩個側(cè)面和圓柱側(cè)面,俯視圖反映該物體投影后是一個正六邊形和一個圓(中心重合).它的三視圖如下圖:2021/8/8 星期日8學后反思 在繪制三視圖時,若相鄰兩物體的表面相交,表面的交線是它們的分界線,在三視圖中,分界線和可見輪廓線都用實線畫出.例如上圖中,表示上面圓柱與下面棱柱的分界線是正視圖中的線段AB、側(cè)視圖

8、中的線段CD以及俯視圖中的圓.舉一反三3. (2008廣東)將正三棱柱截去三個角(如圖1所示,A、B、C分別是GHI三邊的中點)得到幾何體如圖2,則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖為 ( )2021/8/8 星期日9解析 由正三棱柱的性質(zhì)得,側(cè)面AED底面EFD,則側(cè)視圖必為直角梯形,且線段BE在梯形內(nèi)部.答案 A題型四幾何體的直觀圖【例4】(12分)用斜二測法畫出水平放置的等腰梯形的直觀圖.分析 畫水平放置的直觀圖應遵循以下原則:(1)坐標系中xOy=45;(2)橫線相等,即AB=AB,CD=CD;(3)豎線是原來的 ,即OE= OE.2021/8/8 星期日10畫法 (1)如圖1,取AB所在

9、直線為x軸,AB中點O為原點,建立直角坐標系,.3畫對應的坐標系xOy,使xOy=45.5(2)以O為中點在x軸上取AB=AB,在y軸上取OE= OE,以E為中點畫CDx軸,并使CD=CD10(3)連接BC、DA,所得的四邊形ABCD就是水平放置的等腰梯形ABCD的直觀圖,如圖2.12 圖1 圖2 學后反思 在原圖形中要建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，一般取圖形中的某一橫線為x軸，對稱軸為y軸，或取兩垂直的直線為坐標軸，原點可建在圖形的某一頂點或?qū)ΨQ中心、 中點等.坐標系建得不同，但畫法規(guī)則不變，關(guān)鍵是畫出平面圖形中相對應的頂點.2021/8/8 星期日11舉一反三4. 如圖所示，矩形OABC是水平放置

10、的一個平面圖形的直觀圖，其中OA=6 cm，OC=2 cm，則原圖形是 （）A. 正方形B. 矩形C. 菱形D. 一般的平行四邊形解析 在直觀圖中，平行于x軸的邊的長度不變，平行于y軸的邊的長度變?yōu)樵瓉淼?，原圖中，OA=6 cm,OD=4 cm，OC=6 cm,BC=AB=6 cm，原圖形為菱形.答案 C2021/8/8 星期日12易錯警示【例】畫出如圖1所示零件的三視圖.錯解 圖1的零件可看做是一個半圓柱、一個柱體、一個圓柱的組合,其三視圖如圖2. 圖1 圖2錯解分析 錯誤原因是圖中各視圖都沒有畫出中間的柱體和圓柱的交線，畫圖時應畫出其交線.正解2021/8/8 星期日13考點演練10.

11、（2010濰坊模擬）如圖，已知正四棱臺ABCD- 的上底面邊長為1，下底面邊長為2，高為1，則線段 的長是_.解析 連接上底面對角線 的中點 和下底面BD的中點O，得棱臺的高 ，過點 作 的平行線交BD于點E，連接CE.在BCE中，由BC=2，BE= ,CBE=45，利用余弦定理可得CE= ，故在Rt 中易得答案 2021/8/8 星期日1411. 圓臺的兩底面半徑分別為5 cm和10 cm,高為8 cm,有一個過圓臺兩母線的截面,且上、下底面中心到截面與兩底面交線的距離分別為3 cm和6 cm,求截面面積.解析 如圖所示截面ABCD,取AB中點F,CD中點E,連接OF, ，EF, ,OA,則

12、 為直角梯形,ABCD為等腰梯形,EF為梯形ABCD的高,在直角梯形 中, （cm），在Rt 中， （cm）,同理, （cm）,2021/8/8 星期日1512. 圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍,軸截面的面積等于392 ,母線與軸的夾角是45,求這個圓臺的高、母線長和兩底面半徑.解析 圓臺的軸截面如圖所示,設圓臺上、下底面半徑分別為x cm,3x cm.延長 交 的延長線于S,在RtSOA中,ASO=45,則SAO=45,SO=AO=3x, =x， =2x,又 ,x=7.故圓臺的高 =14 cm,母線長 = =14 cm,兩底面半徑分別為7 cm,21 cm.2021/8/8 星期日

13、16第二節(jié) 空間幾何體的表面積與體積基礎梳理1. 柱體、錐體、臺體的側(cè)面積,就是各側(cè)面面積之和；表面積是各個面的面積之和,即側(cè)面積與底面積之和.2. 把柱體、錐體、臺體的面展開成一個平面圖形,稱為它的展開圖,它的表面積就是展開圖的面積.3. 圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積及表面積2021/8/8 星期日174. 柱、錐、臺體的體積這是柱體、錐體、臺體統(tǒng)一計算公式,特別地，圓柱、圓錐、圓臺還可以分別寫成: 5. 球的體積及球的表面積設球的半徑為R, 2021/8/8 星期日18典例分析題型一 幾何體的表面積問題【例1】已知一個正三棱臺的兩底面邊長分別為30 cm和20 cm,且其側(cè)面積等于兩底面面積之

14、和,求棱臺的高.分析 要求正棱臺的高，首先要畫出正棱臺的高，使其包含在某一個特征直角梯形中，轉(zhuǎn)化為平面問題，由已知條件列出方程，求解所需的幾何元素.解 如圖所示,正三棱臺ABC- 中,O、 分別為兩底面中心,D、 分別為BC和 中點,則 為棱臺的斜高.設 =20,AB=30,則OD=5 , = ,由 ,得在直角梯形 中,棱臺的高為4 cm.2021/8/8 星期日19學后反思 (1)求解有關(guān)多面體表面積的問題,關(guān)鍵是找到其特征幾何圖形,解決旋轉(zhuǎn)體的表面積問題,要利用好旋轉(zhuǎn)體的軸截面及側(cè)面展開圖.（2）借助于平面幾何知識,利用已知條件求得所需幾何要素.舉一反三1. 圓臺側(cè)面的母線長為2a,母線與

15、軸的夾角為30,一個底面的半徑是另一個底面半徑的2倍.求兩底面的半徑與兩底面面積之和.解析 如圖,設圓臺上底面半徑為r,則下底面半徑為2r,ASO=30,在RtSOA中, =sin 30,SA=2r.在RtSOA中, =sin 30,SA=4r.SA-SA=AA,即4r-2r=2a,r=a.圓臺上底面半徑為a,下底面半徑為2a,兩底面面積之和為 .2021/8/8 星期日20題型二 幾何體的體積問題【例2】已知四棱臺兩底面均為正方形，邊長分別為4 cm，8 cm，側(cè)棱長為8 cm，求它的側(cè)面積和體積.分析 由題意知,需求側(cè)面等腰梯形的高和四棱臺的高,然后利用平面圖形面積公式和臺體體積公式求得結(jié)

16、論.解 如圖,設四棱臺的側(cè)棱延長后交于點P,則PBC為等腰三角形,取BC中點E,連接PE交 于點 ,則PEBC, E為側(cè)面等腰梯形的高,作PO底面ABCD交上底面于點 ,連接 、OE.在P 和PBC中, , 為PB的中點, 為PE的中點.在RtPEB中,2021/8/8 星期日21在RtPOE中,學后反思 （1）求棱臺的側(cè)面積與體積要注意利用公式以及正棱臺中的“特征直角三角形”和“特征直角梯形”，它們是架起“求積”關(guān)系式中的未知量與滿足題設條件中幾何圖形元素間關(guān)系的“橋梁”.（2）平行于棱臺底面的截面分棱臺的側(cè)面積與體積比的問題，通常是“還臺為錐”，而后利用平行于棱錐底面的截面性質(zhì)去解.“還臺

17、為錐”借助于軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，求出相關(guān)數(shù)據(jù)，進行計算.“還臺為錐”是解決棱臺問題的重要方法和手段.2021/8/8 星期日22舉一反三2. 如圖,在多面體ABCDEF中,已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形,且ADE、BCF均為正三角形,EFAB,EF=2,則該多面體的體積為 .解析 如圖,分別過A、B作EF的垂線,垂足分別為G、H,連接DG、CH,易求得EG=HF= ,AG=GD=BH=HC= ,答案 2021/8/8 星期日23題型三 組合體的體積和表面積問題【例3】(12分)如圖,在等腰梯形ABCD中,AB=2DC=2,DAB=60,E為AB的中點,將ADE與BEC分別沿

18、ED、EC向上折起,使A、B重合,求形成三棱錐的外接球的體積.分析 易知折疊成的幾何體為棱長為1的正四面體,欲求外接球的體積，求其外接球半徑即可.解 由已知條件知,在平面圖形中,AE=EB=BC=CD=DA=DE=EC=1.1所以折疊后得到一個正四面體.方法一:如圖，作AF面DEC,垂足為F,F即為DEC的中心3取EC中點G,連接DG、AG,過外接球球心O作OH面AEC,則垂足H為AEC的中心.5外接球半徑可利用OHAGFA求得.AG= ,AH= AG= ，AF= , 72021/8/8 星期日24在AFG和AHO中,根據(jù)三角形相似可知, .10外接球體積為 .12方法二:如圖,把正四面體放在

19、正方體中.顯然,正四面體的外接球就是正方體的外接球.4正四面體棱長為1,正方體棱長為 ,.6外接球直徑2R= ,10R= ,體積為 122021/8/8 星期日25學后反思 (1)折疊問題是高考經(jīng)常考查的內(nèi)容之一,解決這類問題要注意對翻折前后線線、線面的位置關(guān)系，所成角及距離加以比較.一般來說，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素其相對位置的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個半平面內(nèi)的元素其相對位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系則發(fā)生變化;不變量可結(jié)合原圖形求證，變化量應在折后立體圖形中求證.對某些翻折不易看清的元素，可結(jié)合原圖形去分析、計算，即將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.（2）由方法二可知，有關(guān)柱、

20、錐、臺、球的組合體，經(jīng)常是把正方體、長方體、球作為載體，去求某些量.解決這類問題，首先要把這些載體圖形的形狀、特點及性質(zhì)掌握熟練，把問題進行轉(zhuǎn)化，使運算和推理變得更簡單，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想是立體幾何中一個非常重要的思想方法.舉一反三3. 已知正四棱錐的底面邊長為a,側(cè)棱長為 a.求它的外接球的體積.2021/8/8 星期日26解析 設外接球的半徑為R,球心為O,則OA=OC=OS,所以O為SAC的外心,即SAC的外接圓半徑就是外接球的半徑,AB=BC=a,AC= a,SA=SC=AC= a,SAC為正三角形.由正弦定理,得2021/8/8 星期日27易錯警示涉及組合體問題，關(guān)鍵是正確地作出截面圖形

21、，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題進行解決，解此類問題時往往因不能正確地作出截面圖形而導致錯誤.【例】已知球的內(nèi)接正方體的體積為V，求球的表面積.錯解分析 過球內(nèi)接正方體的一個對角面作球的大圓截面，得到一個矩形，矩形的對角線長為 x，不是 x.錯解 如圖所示，作圓的內(nèi)接正方形表示正方體的截面，設正方體的棱長為x，球半徑為R，則有 =V, x=2R，解得2021/8/8 星期日28正解 如圖所示，過正方體的對角面作球的大圓截面，設正方體的棱長為x，球半徑為R,則有 =V, x=2R，解得考點演練10. （2009遼寧）設某幾何體的三視圖如下（長度單位為m）：求該幾何體的體積.2021/8/8 星期日

22、29解析 三視圖所對應的立體圖形如圖所示.由題意可得平面PAC平面ABC，V= 432=4( ).11. 如圖，一個三棱柱形容器中盛有水，且側(cè)棱 =8.若側(cè)面 水平放置時，液面恰好過AC、BC、 、 的中點.當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為多少？解析 當側(cè)面 水平放置時，水的形狀為四棱柱形，底面ABFE為梯形，設ABC的面積為S，則2021/8/8 星期日30 當?shù)酌鍭BC水平放置時，水的形狀為三棱柱形，設水面高為h，則有 =Sh，6S=Sh,h=6.故當?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為6.12. （2009廣東改編）某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖1所示.墩的上半部分是正四棱錐P-EFG

23、H,下半部分是長方體ABCD-EFGH.圖2、圖3分別是該標識墩的正視圖和俯視圖.（1）請畫出該安全標識墩的側(cè)視圖；（2）求該安全標識墩的體積. 圖1 圖2 圖3 2021/8/8 星期日31解析 （1）側(cè)視圖同正視圖，如圖2所示.（2）該安全標識墩的體積為2021/8/8 星期日32第三節(jié) 空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系基礎梳理1. 平面的基本性質(zhì)名稱 圖形 文字語言 符號語言公理1如果一條直線上有兩個點在一個平面內(nèi),那么這條直線在這個平面內(nèi) 公理2經(jīng)過不在同一條直線上的三個點確定一個平面 A、B、C不共線A、B、C平面且是唯一的 公理3如果不重合的兩個平面有一個公共點,那么它們有且只有一

24、條過這個點的公共直線 若P,P,則=a,且Pa 2021/8/8 星期日33公理4 平行于同一條直線的兩條直線互相平行 若ab,bc,則ac 公理2的推論 推論1 經(jīng)過一條直線和直線外一點,有且只有一個平面 若點A直線a,則A和a確定一個平面 推論2兩條相交直線確定一個平面 ab=P 有且只有一個平面,使a,b 推論3兩條平行直線確定一個平面 ab 有且只有一個平面,使a,b2021/8/8 星期日342. 空間直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系 相交 共面 共面與否 平行 異面 一個公共點:相交公共點個數(shù) 平行 無公共點 異面(2)公理4(平行公理):平行于同一直線的兩條直線互相平行.(3)

25、定理:空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行,那么這兩個角相等或互補.2021/8/8 星期日35（4）異面直線的夾角定義：已知兩條異面直線a、b，經(jīng)過空間任意一點O作直線aa,bb，我們把兩相交直線a、b所成的角叫做異面直線a、b所成的角（或夾角）.范圍：（0, .特別地，如果兩異面直線所成的角是 ，我們就稱這兩條直線垂直，記作ab.3. 空間中的直線與平面的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點 直線與平面相交有且只有一個公共點 直線在平面外 直線與平面平行無公共點4. 平面與平面的位置關(guān)系平行無公共點相交有且只有一條公共直線2021/8/8 星期日36典例分析題型一 點、線、面的位置關(guān)系【例1

26、】下列命題:空間不同三點確定一個平面;有三個公共點的兩個平面必重合;空間兩兩相交的三條直線確定一個平面;三角形是平面圖形;平行四邊形、梯形、四邊形都是平面圖形;垂直于同一直線的兩直線平行;一條直線和兩平行線中的一條相交,也必和另一條相交;兩組對邊相等的四邊形是平行四邊形.其中正確的命題是_.分析 根據(jù)公理及推論作判斷.2021/8/8 星期日37解 由公理2知,不共線的三點才能確定一個平面,所以命題、均錯,中有可能出現(xiàn)兩平面只有一條公共線(當這三個公共點共線時);空間兩兩相交的三條直線有三個交點或一個交點,若為三個交點,則這三線共面,若只有一個交點,則可能確定一個平面或三個平面;正確;中平行四

27、邊形及梯形由公理2的推論及公理1可得必為平面圖形,而四邊形有可能是空間四邊形;如圖,在正方體ABCD-ABCD中,直線BBAB,BBBC,但AB與BC不平行,所以錯;ABCD,BBAB=B,但BB與CD不相交,所以錯;四邊形ADBC中,AD=DB=BC=CA,但它不是平行四邊形,所以也錯.學后反思 平面性質(zhì)的三個公理及其推論是論證線面關(guān)系的依據(jù),在判斷過程中要注意反例和圖形的應用.2021/8/8 星期日38舉一反三1. 給出下列命題：如果平面與平面相交,那么它們只有有限個公共點;經(jīng)過空間任意三點的平面有且只有一個;如果兩個平面有三個不共線的公共點,那么這兩個平面重合為一個平面;不平行的兩直線

28、必相交.其中正確命題的序號為_.解析 由公理3知，錯;由公理2知，錯;對;不平行的兩直線可能異面，故錯.答案 題型二 證明三點共線【例2】已知ABC的三個頂點都不在平面內(nèi),它的三邊AB、BC、AC延長后分別交平面于點P、Q、R.求證:P、Q、R三點在同一條直線上.2021/8/8 星期日39分析 要證明P、Q、R三點共線,只需證明這三點都在ABC所在的平面和平面的交線上即可.證明 由已知條件易知,平面與平面ABC相交.設交線為 ,即 =面ABC.PAB,P面ABC.又PAB,P,即P為平面與面ABC的公共點,P .同理可證,點R和Q也在交線 上.故P、Q、R三點共線于 .學后反思 證明多點共線

29、的方法是：以公理3為依據(jù)，先找出兩個平面的交線，再證明各個點都是這兩個面的公共點，即在交線上，則多點共線.或者，先證明過其中兩點的直線是這兩個平面的交線，然后證明第三個點也在交線上.同理，其他的點都在交線上，即多點共線.2021/8/8 星期日40舉一反三2. 如圖，已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD(四條線段首尾相接,且連接點不在同一平面內(nèi),所組成的空間圖形叫空間四邊形)各邊AB、AD、CB、CD上的點,且直線EF和GH交于點P,如圖所示.求證:點B、D、P在同一條直線上.證明 由于直線EF和GH交于點P,PEF,又EF平面ABD,P平面ABD.同理,P平面CBD.P在平面ABD與平

30、面CBD的交線BD上,即B、D、P三點在同一條直線上.題型三 證明點線共面【例3】求證:兩兩相交且不共點的四條直線在同一平面內(nèi).分析 由題知，四條直線兩兩相交且不共點，故有兩種情況：一種是三條交于一點，另一種是任何三條都不共點，故分兩種情況證明.要證明四線共面，先根據(jù)公理2的推論證兩條直線共面，然后再證第三條直線在這個平面內(nèi)，同理第四條直線也在這個平面內(nèi)，故四線共面.2021/8/8 星期日41證明 (1)如圖,設直線a,b,c相交于點O,直線d和a,b,c分別相交于A,B,C三點,直線d和點O確定平面,由O平面,A平面,O直線a,A直線a,知直線a平面.同理b平面,c平面,故直線a,b,c,

31、d共面于.(2)如圖,設直線a,b,c,d兩兩相交,且任何三線不共點,交點分別是M,N,P,Q,R,G,由直線ab=M,知直線a和b確定平面.由ac=N,bc=Q,知點N、Q都在平面內(nèi),故c.同理可證d,故直線a,b,c,d共面于.由(1)、(2)可知,兩兩相交且不共點的四條直線必在同一平面內(nèi).學后反思 證多線共面的方法：（1）以公理、推論為依據(jù)先證兩直線共面，然后再由公理1證第三條也在這個平面內(nèi).同理其他直線都在這個平面內(nèi).（2）先由部分直線確定平面，再由其他直線確定平面,然后證明這些平面重合.2021/8/8 星期日42舉一反三3. 在正方體ABCD- 中,E是AB的中點,F是 的中點.求

32、證:E、F、 、C四點共面.證明 如圖，連接 ,EF, .E是AB的中點,F是 的中點,EF . ,EF .故E、F、 、C四點共面.題型四 異面直線及其所成角的問題【例4】(2008全國)已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是SB的中點，則AE、SD所成的角的余弦值為 （）A. B. C. D. 2021/8/8 星期日43分析 通過作平行線找到AE與SD所成的角，再利用三角形求解.解 如圖，連接AC、BD交于點O，連接OE.因為OESD，所以AEO為所求.設側(cè)棱長與底面邊長都等于2，則在AEO中，OE=1，AO= ，AE= ，于是cosAEO= .故選C.學后反思 求異面直

33、線所成的角的方法：（1）根據(jù)平行線定義，作出異面直線所成的角.（2）證明作出的角是異面直線所成的角.（3）在三角形內(nèi)求得直線所成角的某個三角函數(shù)值.2021/8/8 星期日44舉一反三4. 在四面體A-BCD中，AB=CD，且其所成的角是60，點M，N分別是BC，AD的中點.求直線AB與MN所成的角的大小.解析 如圖，取BD中點E，連接NE，EM，則EN AB,EM CD,故EMN為等腰三角形，由條件MEN=60，EMN為等邊三角形，且ENM即為AB與MN所成的角，ENM=60.題型五 證明三線共點【例5】(12分)已知四面體A-BCD中,E、F分別是AB、AD的中點,G、H分別是BC、CD上

34、的點,且 .求證:直線EG、FH、AC相交于同一點P.分析 先證E、F、G、H四點共面，再證EG、FH交于一點，然后證明這一點在AC上.2021/8/8 星期日45證明E、F分別是AB、AD的中點,EFBD且EF= BD.2又 ,GHBD且GH= BD,EFGH且EFGH,4四邊形EFHG是梯形,其兩腰所在直線必相交,設兩腰EG、FH的延長線相交于一點P,.6EG平面ABC,FH平面ACD,P平面ABC,P平面ACD.8又平面ABC平面ACD=AC,PAC,10故直線EG、FH、AC相交于同一點P12學后反思 證明三線共點的方法:首先證明其中的兩條直線交于一點，然后證明第三條直線是經(jīng)過這兩條直

35、線的兩個平面的交線；由公理3可知，兩個平面的公共點必在這兩個平面的交線上，即三條直線交于一點.2021/8/8 星期日46舉一反三5. 如圖所示,已知空間四邊形ABCD,點E,F,G,H,M,N分別是AB,BC,CD,DA,AC,BD的中點.求證:三線段EG,FH,MN交于一點,且被該點平分.證明 如圖所示,連接EF,FG,GH,HE,MF,FN,NH,MH.E,F,G,H分別為AB,BC,CD,DA的中點,EFGH,EHFG，四邊形EFGH是平行四邊形.設EGFH=O,則O平分EG,FH.同理,四邊形MFNH是平行四邊形.設MNFH=O,則O平分MN,FH.點O,O都平分線段FH,O與O兩點

36、重合，MN過EG和FH的交點,即三線段共點且被該點平分.2021/8/8 星期日47易錯警示【例】過已知直線a外一點P,與直線a上的四個點A、B、C、D分別畫四條直線.求證:這四條直線在同一平面內(nèi).錯解 P、A、B三點不共線,P、A、B共面,即PA、PB、AB共面,同理,PB、PC、BC共面;PC、PD、CD共面.A、B、C、D均在直線a上,PA、PB、PC、PD四條直線在同一平面內(nèi).錯解分析 錯解在證明了四條直線分別在三個平面(平面PAB、平面PBC、平面PCD)內(nèi)后,通過A、B、C、D均在a上,而認為三個平面重合在同一個平面內(nèi),這種方法是錯誤的.錯誤在于沒有根據(jù)地用一條直線來保證三個平面重

37、合.正解 過直線a及點P作一平面,A、B、C、D均在a上,A、B、C、D均在內(nèi).直線PA、PB、PC、PD上各有兩點在內(nèi),由公理1可知,直線PA、PB、PC、PD均在平面內(nèi),即四直線共面.2021/8/8 星期日48考點連接10. 已知a、b為異面直線，則經(jīng)過直線a,存在唯一平面，使b；經(jīng)過直線a，若存在平面使ba,則唯一；經(jīng)過直線a、b外任意一點，存在平面，使a且b.上述命題中，真命題是_.（寫出真命題的序號）解析 平移b到b，使b、a交于點O，則a與b確定平面為，b，唯一，故正確.a、b為異面直線，故無法確定a是否垂直于b.如圖，a平移到a，b平移到b，a、b交于點O，則a、b確定的平面唯

38、一.答案 11. （2010濱州質(zhì)檢）已知正方體ABCD- 的棱長為a，求異面直線 和 所成的角.2021/8/8 星期日49解析 如圖所示，連接 , 異面直線 和 所成角為90.12. 已知直線abc,直線 a=A, b=B, c=C.求證:a、b、c、 共面.證明 如圖，ab,a、b可以確定一個平面.又 a=A, b=B,Aa,Bb,A,B,AB;又A ,B , .另一方面,bc,b、c可以確定一個平面.同理可證, .平面、均經(jīng)過直線b、,且b和 是兩條相交直線,它們確定的平面是唯一的,平面與是同一個平面,a、b、c、共面.2021/8/8 星期日50第四節(jié) 直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1

39、. 平行直線(1)定義:同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線.(2)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(3)線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線就和兩平面的交線平行.(4)面面平行的性質(zhì)定理:如果兩個平行平面同時與第三個平面相交,那么它們的交線平行.(5)線面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一平面,那么這兩條直線平行.2. 直線與平面平行(1)定義:直線a和平面沒有公共點,叫做直線與平面平行.(2)線面平行的判定定理:如果不在一個平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行.基礎梳理2021/8/8

40、星期日51(3)面面平行的性質(zhì):如果兩平面互相平行,那么一個平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個平面. 3. 平面與平面平行(1)定義:如果兩個平面沒有公共點,那么這兩個平面叫做平行平面.(2)面面平行的判定定理:如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線平行于另一個平面,那么這兩個平面平行.(3)判定定理的推論:如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面內(nèi)的兩條直線,則這兩個平面平行.(4)線面垂直的性質(zhì):如果兩平面垂直于同一直線,則這兩個平面平行.(5)平行公理:如果兩平面平行于同一平面,則這兩個平面平行.典例分析題型一 線線平行【例1】已知四邊形ABCD是空間四邊形,E、F、G、H分別是邊AB、BC

41、、CD、DA的中點.求證:四邊形EFGH是平行四邊形.2021/8/8 星期日52分析 若證四邊形是平行四邊形,只需證一組對邊平行且相等或兩組對邊分別平行即可. 證明 如圖,連接BD.EH是ABD的中位線,EHBD,EH= BD.又FG是CBD的中位線,FGBD,FG= BD.FGEH,且FG=EH,四邊形EFGH是平行四邊形.學后反思 若證明四邊形EFGH是平行四邊形,可有兩條途徑：一是證明兩組對邊分別平行,二是證明一組對邊平行且相等.2021/8/8 星期日53舉一反三1. 已知E、 分別是正方體ABCD- 的棱AD、 的中點.求證:BEC= .證明 如圖,連接 . ,E分別為 ,AD的中

42、點,四邊形 為平行四邊形，四邊形 是平行四邊形， EB.同理 EC.又 與CEB方向相同， =CEB.2021/8/8 星期日54題型二 線面平行【例2】如圖,正方體ABCD- 中,側(cè)面對角線 上分別有兩點E,F,且 .求證:EF平面ABCD.分析 要證EF平面ABCD,方法有兩種:一是利用線面平行的判定定理,即在平面ABCD內(nèi)確定EF的平行線;二是利用面面平行的性質(zhì)定理,即過EF作與平面ABCD平行的平面.證明 方法一:過E作EMAB于M,過F作FNBC于N,連接MN(如圖)，則EM ,FN ,EMFN. AE=BF,2021/8/8 星期日55EM=FN,四邊形EMNF是平行四邊形,EFM

43、N.又EF平面ABCD,MN平面ABCD,EF平面ABCD.方法二:連接 ,并延長交BC的延長線于點P,連接AP(如圖). PFB,2021/8/8 星期日56又EF平面ABCD,AP平面ABCD,EF平面ABCD.方法三:過點E作EH 于點H,連接FH(如圖)，則EHAB,EHFH=H,平面EFH平面ABCD.EF平面EFH,EF平面ABCD.2021/8/8 星期日57學后反思 判斷或證明線面平行的常用方法有:(1)利用線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(a,b,aba);(3)利用面面平行的性質(zhì)定理(,aa);(4)利用面面平行的性質(zhì)(,a,a,aa).舉一反三2.

44、 如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為正方形,E為PC中點.求證:PA平面EDB.2021/8/8 星期日58證明 如圖，連接AC交BD于O,連接EO.四邊形ABCD為正方形,O為AC中點.E為PC中點,OE為PAC的中位線,故EOPA.又EO平面EDB,PA平面EDB,PA平面EDB.題型三 面面平行【例3】如圖,正方體ABCD- 的棱長為1.求證:平面 平面分析 要證明平面 平面 ,根據(jù)面面平行的判定定理或推論，只要證明AC平面 ， 平面 ,且AC =A即可.2021/8/8 星期日59證明 方法一: 四邊形 為平行四邊形2021/8/8 星期日60方法二:易知 和確定一個 平面

45、,于是,學后反思 證明平面與平面相互平行,一般利用面面平行的判定定理或其推論,將面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行或線線平行來證明.具體方法有:(1)面面平行的定義;(2)面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;(3)利用垂直于同一條直線的兩個平面平行;(4)兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行;(5)利用“線線平行”、“線面平行”、“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.2021/8/8 星期日61舉一反三3. 在正方體ABCD- 中,M、N、E、F分別是棱的中點.求證:平面AMN平面EFDB.證明 如圖，連接MF,M、F分別是 的中點,且四邊形 為正方形,又

46、四邊形ADFM為平行四邊形,AMDF.又AM平面EFDB,DF平面EFDB,AM平面EFDB.同理可證AN平面EFDB.AM,AN平面AMN,AMAN=A,平面AMN平面EFDB.2021/8/8 星期日62題型四 平行的探究問題【例4】（2009銀川模擬）如圖，在四棱錐S-ABCD中，SA=AB=2，SB=SD=2 ，底面ABCD是菱形，且ABC=60，E為CD的中點.(1)求證：CD平面SAE；(2)側(cè)棱SB上是否存在點F，使得CF平面SAE？并證明你的結(jié)論.分析 （1）先利用勾股定理和線面垂直判定定理證明直線SA底面ABCD，再證明直線SACD，證明直線與平面垂直時，必須證明直線與平面內(nèi)

47、的兩條相交直線垂直.（2）先回答問題，再證明充分條件.探究的點往往是特殊點（中點）.證明 （1）ABCD是菱形，ABC=60，AB=AC=AD=2,ACD為正三角形.又E為CD的中點，CDAE.SA=AB=AD=2,SB=SD=2 ,2021/8/8 星期日63則有SAAB,SAAD.又ABAD=A,SA底面ABCD,SACD.由CDAE,SACD,AESA=A,CD平面SAE. (2)側(cè)棱SB上存在點F，當F為SB的中點時，使得CF平面SAE.證明 假設側(cè)棱SB上存在點F，使得CF平面SAE.不妨取SA的中點N，連接EN，過點N作NFAB,交SB于F點，連接CF.則作圖知NF AB,點F為S

48、B的中點.又CE AB，NF CE，四邊形CENF為平行四邊形,CFEN.2021/8/8 星期日64又EN平面SAE，CF平面SAE，CF平面SAE.即當F為側(cè)棱SB的中點時，CF平面SAE.學后反思 定理、定義是做題的依據(jù)，具備了條件，便可得到結(jié)論；條件不足，要通過題設和圖形的結(jié)構(gòu)特征、性質(zhì)去尋求，增添輔助線是解決問題的關(guān)鍵.舉一反三4. 長方體ABCD-ABCD，點PBB（不與B、B重合），PABA=M,PCBC=N,求證：MN平面AC.2021/8/8 星期日65證明 如圖，連接AC,AC,ABCD-ABCD為長方體，ACAC.AC平面ACB,AC平面ACB,AC平面ACB.又平面PA

49、C過AC與平面ACB交于MN，MNAC.MN平面AC，AC平面AC，MN平面AC.題型五 平行關(guān)系的綜合應用【例5】(12分)求證:若一條直線分別和兩個相交平面平行,則這條直線必與它們的交線平行.分析 此題可先過直線作平面分別與已知兩平面相交,由線面平行的性質(zhì)定理及公理4,可證得兩交線平行,從而進一步證得一條交線與另一平面平行,進而可證得結(jié)論.2021/8/8 星期日66證明 , ,=a.過 作平面交于b,過 作平面交于c,.3 , ,=b, b.(線面平行的性質(zhì)定理)同理 c.5bc.6又c,b,b.(線面平行的判定定理).8又b,=a,ba.(線面平行的性質(zhì)定理)10 a.(公理4).12

50、學后反思 把文字語言轉(zhuǎn)化成符號語言和圖形語言，過 作平面和與、得到兩條交線，利用線面平行的性質(zhì)定理及公理4可證得交線平行，從而進一步證明一條交線與另一個平面平行，進而可證得結(jié)論.舉一反三2021/8/8 星期日675. 如圖所示,在四面體A-BCD中,截面EFGH平行于對棱AB和CD.試問:截面在什么位置時,截面的面積最大?解析 AB平面EFGH,平面EFGH與平面ABC和平面ABD分別交于FG、EH,ABFG,ABEH,FGEH.同理可證,EFGH.四邊形EFGH是平行四邊形.設AB=a,CD=b,FGH=(a、b、均為定值,其中為異面直線AB與CD所成的角),又設FG=x,GH=y,由平面

51、幾何知識,得兩式相加,得 ,即2021/8/8 星期日68x0,a-x0,且x+(a-x)=a(定值)，當且僅當x=a-x,即x= 時,故當截面EFGH的頂點E、F、G、H分別為棱AD、AC、BC、BD的中點時,截面面積最大.易錯警示【例】如圖所示，平面平面，點A,C，點B，D，點E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AEEB=CFFD.求證：EF.2021/8/8 星期日69錯解 ，ACBD.又AEEB=CFFD，EFBD.又EF，BD，EF.錯解分析 上述解法的錯誤在于未討論AB與CD是否共面，而直接把AB、CD作為共面處理，忽視異面的情況.本題中對AB、CD位置關(guān)系的討論具有一定的代表性，可見

52、分類討論的思想在立體幾何中也多有體現(xiàn).正解 當AB，CD在同一平面內(nèi)時，由，平面ABDC=AC，平面ABDC=BD，ACBD,AEEB=CFFD,EFBD,又EF，BD，EF.2021/8/8 星期日70當AB與CD異面時，如右圖所示，設平面ACD=DH，且DH=AC.，平面ACDH=AC，ACDH,四邊形ACDH是平行四邊形.在AH上取一點G，使AGGH=CFFD，又AEEB=CFFD，GFHD,EGBH，又EGGF=G，BH平面，DH平面，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.綜上，EF.考點演練10. 如圖,下列四個正方體圖形中,A、B為正方體的兩個頂點,M、N、P分別為其所在棱的中點,

53、能得出AB面MNP的圖形的序號是.(寫出所有符合要求的圖形序號)2021/8/8 星期日71解析圖中,MNAD,NPAC,平面MNP平面AB，AB平面MNP.圖中,AB不平行于平面MNP(反證法).連接BE,分別交CD、MP于R、Q,若AB平面MNP,則ABNQ.又由N為AE中點,R為BE中點，得ABNR.在平面ABE中過點N有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.圖中,AD BC,四邊形ABCD為平行四邊形，ABCD.又MPCD,ABMP，故AB平面MNP.圖中,AB不平行于面MNP(反證法).若AB平面MNP,則ABDM.又由AD BC,得四邊形ABCD是平行四邊形

54、,故ABCD.在平面ABCD中過點D有兩條直線平行于AB,與平行公理矛盾.故AB不平行于平面MNP.答案 2021/8/8 星期日7211. 已知正方體ABCD-ABCD，求證：平面ACD平面ABC.證明 正方體ABCD-ABCD中,ADBC,CDAB,又ADCD=D,BCAB=B,平面ACD平面ABC.12. （2009揚州模擬）如圖所示，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABCD外一點，M是PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH.求證：APGH.2021/8/8 星期日73證明 連接AC，交OB于O，連接MO.OC=OA,CM=MP,OMAP.AP平面DB

55、M，OM平面DBM，AP平面DMB,AP平面APGH，平面APGH平面DMB=GH，APGH. 2021/8/8 星期日74第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)基礎梳理1. 直線與平面垂直(1)定義:如果直線 與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線 與平面互相垂直.這條直線叫做平面的垂線,這個平面叫做直線的垂面,交點叫做垂足.垂線上任意一點到垂足間的線段,叫做這個點到這個平面的垂線段,垂線段的長度叫做點到平面的距離.(2)性質(zhì):如果一條直線垂直于一個平面,那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直.(3)判定定理:如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則這條直線與這個平面垂直.(4)推論:如果在

56、兩條平行直線中,有一條垂直于一個平面,那么另一條也垂直于這個平面.(5)性質(zhì)定理:如果兩條直線垂直于同一個平面,那么這兩條直線平行.2021/8/8 星期日752. 平面與平面垂直(1)定義:一般地,兩個平面相交,如果它們所成的二面角是直二面角,就稱這兩個平面互相垂直.(2)判定定理:如果一個平面過另一個平面的一條垂線,則這兩個平面互相垂直.(3)性質(zhì)定理:如果兩個平面互相垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面.典例分析題型一 線線垂直【例1】如圖,=CD,EA,垂足為A,EB,垂足為B,求證:CDAB.2021/8/8 星期日76分析 要證CDAB,只需證CD平面ABE即

57、可.證明 =CD,CD,CD.又EA,CD,EACD,同理EBCD.EACD,EBCD,EAEB=E,CD平面EAB.AB平面EAB,ABCD.學后反思 證明空間中兩直線互相垂直,通常先觀察兩直線是否共面.若兩直線共面,則一般用平面幾何知識即可證出,如勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等.若兩直線異面,則轉(zhuǎn)化為線面垂直進行證明.舉一反三1. 如圖所示,四邊形ABCD為正方形,SA垂直于四邊形ABCD所在的平面,過A且垂直于SC的平面分別交SB、SC、SD于E、F、G.求證:AESB,AGSD.2021/8/8 星期日77證明 SA平面ABCD,BC平面ABCD,SABC.又BCAB,SAAB=A,BC

58、平面SAB.AE平面SAB,BCAE.SC平面AEFG,AE平面AEFG,SCAE.又BCSC=C,AE平面SBC，AESB.同理可證AGSD.題型二 線面垂直【例2】如圖,P為ABC所在平面外一點,PA平面ABC,ABC=90,AEPB于E,AFPC于F.求證:(1)BC平面PAB;(2)AE平面PBC;(3)PC平面AEF.2021/8/8 星期日78分析 要證明線面垂直，只要證明這條直線與這個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直即可.證明 (1)PA平面ABCPABC ABBC BC平面PAB. PAAB=A (2)AE平面PAB,由(1)知AEBC AEPB AE平面PBC. PBBC=B (3)

59、PC平面PBC,由(2)知PCAE PCAF PC平面AEF. AEAF=A學后反思 本題的證明過程是很有代表性的,即證明線面垂直,可先證線線垂直,而已知的線線垂直又可以產(chǎn)生有利于題目的線線垂直,在線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化中,平面在其中起著至關(guān)重要的作用,由于線線垂直是相互的,應充分考慮線和線各自所在平面的特征,以順利實現(xiàn)證明所需要的轉(zhuǎn)化.2021/8/8 星期日79舉一反三2. 如圖所示,P是ABC所在平面外一點,且PA平面ABC,若O、Q分別是ABC和PBC的垂心，求證:OQ平面PBC.證明 如圖，連接AO并延長交BC于E,連接PE.PA平面ABC,BC平面ABC,PABC.又O是AB

60、C的垂心,BCAE.PAAE=A,BC平面PAE,BCPE,PE必過Q點，OQ平面PAE,OQBC.連接BO并延長交AC于F.PA平面ABC,BF平面ABC,PABF.又O是ABC的垂心,BFAC,BF平面PAC.PC平面PAC,BFPC.2021/8/8 星期日80連接BQ并延長交PC于M,連接MF.Q為PBC的垂心,PCBM.BMBF=B,PC平面BFM.OQ平面BFM,OQPC.PCBC=C,OQ平面PBC.題型三 面面垂直【例3】如圖所示,在斜三棱柱 -ABC中,底面是等腰三角形,AB=AC,側(cè)面 底面ABC.(1)若D是BC的中點,求證:AD ;(2)過側(cè)面 的對角線 的平面交側(cè)棱于