2023物理學(xué)會(huì)競(jìng)賽夏令營(yíng)講義：靜電場(chǎng)

1、第一講靜電場(chǎng)一知識(shí)點(diǎn)：電荷守恒定律、庫(kù)侖定律、電場(chǎng)強(qiáng)度 電場(chǎng)線、點(diǎn)電荷的場(chǎng)強(qiáng)、場(chǎng)強(qiáng)疊加原理、勻強(qiáng)電場(chǎng)、均勻帶電球殼內(nèi)、外的場(chǎng)強(qiáng)公式(不要求導(dǎo)出)、高斯定理及其在對(duì)稱帶電體系中的應(yīng)用、電勢(shì)和電勢(shì)差 等勢(shì)面、點(diǎn)電荷電場(chǎng)的電勢(shì)、電勢(shì)疊加原理、均勻帶電球殼內(nèi)、外的電勢(shì)公式、電場(chǎng)中的導(dǎo)體 靜電屏蔽、靜電鏡像法、電容 平行板電容器的電容公式、球形、圓柱形電容器的電容、電容器的聯(lián)接、電荷體系的靜電能、電場(chǎng)的能量密度、電容器充電后的電能、電偶極矩、電偶極子的電場(chǎng)和電勢(shì)、電介質(zhì)的概念電介質(zhì)的極化與極化電荷電位移矢量一、電場(chǎng)強(qiáng)度1、實(shí)驗(yàn)定律a、庫(kù)侖定律b、電荷守恒定律c、疊加原理2、電場(chǎng)強(qiáng)度a、電場(chǎng)強(qiáng)度的定義 b

2、、高斯定理靜電場(chǎng)中通過任意閉合曲面稱高斯面S的電通量等于該閉合面內(nèi)全部電荷的代數(shù)和除以0，與面外的電荷無關(guān)。電通量是指穿過某一截面的電場(chǎng)線的條數(shù)，其大小為，為截面與電場(chǎng)線的夾角。)高斯定理的數(shù)學(xué)表達(dá)式為：c、不同電場(chǎng)中場(chǎng)強(qiáng)的計(jì)算點(diǎn)電荷：E = k均勻帶電環(huán)，垂直環(huán)面軸線上的某點(diǎn)P：E = ，其中r和R的意義見上圖。均勻帶電球殼內(nèi)部：E內(nèi) = 0外部：E外 = k ，其中r指考察點(diǎn)到球心的距離如果球殼是有厚度的的內(nèi)徑R1 、外徑R2，在殼體中R1rR2：E = ，其中為電荷體密度。這個(gè)式子的物理意義可以參照萬(wàn)有引力定律當(dāng)中條件局部的“剝皮法那么理解即為上圖中虛線以內(nèi)局部的總電量。無限長(zhǎng)均勻帶電直

3、線電荷線密度為：E = 無限大均勻帶電平面電荷面密度為：E = 2k電偶極子的電場(chǎng)二、電勢(shì)1、電勢(shì)概念2、典型電場(chǎng)的電勢(shì)a、點(diǎn)電荷以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn)， = kb、均勻帶電球殼以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn)，外 = k ，內(nèi) = k3、電勢(shì)的疊加電偶極子的電勢(shì)4、電場(chǎng)力對(duì)電荷做功WAB = qUA UB= qUAB三、靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體1、靜電平衡的特征可以總結(jié)為以下三層含義a、導(dǎo)體內(nèi)部的合場(chǎng)強(qiáng)為零；外表的合場(chǎng)強(qiáng)不為零且一般各處不等，外表的合場(chǎng)強(qiáng)方向總是垂直導(dǎo)體外表。b、導(dǎo)體是等勢(shì)體，外表是等勢(shì)面。c、導(dǎo)體內(nèi)部沒有凈電荷；孤立導(dǎo)體的凈電荷在外表的分布情況取決于導(dǎo)體外表的曲率。2、靜電屏蔽內(nèi)屏蔽外屏蔽3、電像法四、電

4、容1、電容器2、電容a、定義式 C = b、決定式平行板電容器 C = = ，其中為絕對(duì)介電常數(shù)真空中0 = ，其它介質(zhì)中= ，r那么為相對(duì)介電常數(shù)，r = 。柱形電容器：C = 球形電容器：C = 3、電容器的連接a、串聯(lián) = + +b、并聯(lián) C = C1 + C2 + C3 + + Cn4、電容器的能量 5、電場(chǎng)的能量五、電介質(zhì)的極化1、電介質(zhì)的極化a、電介質(zhì)分類b、電介質(zhì)的極化2、束縛電荷、自由電荷、極化電荷與宏觀過剩電荷a、束縛電荷與自由電荷b、極化電荷、宏觀過剩電荷第二講靜電場(chǎng)二一、場(chǎng)強(qiáng)和電場(chǎng)力1、試證明：均勻帶電球殼內(nèi)部任意一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)均為零。2、半徑為R的均勻帶電半球面，電荷的面密

5、度為，試求球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度。3、有一個(gè)均勻的帶電球體，球心在O點(diǎn)，半徑為R ，電荷體密度為 ，球體內(nèi)有一個(gè)球形空腔，空腔球心在O點(diǎn)，半徑為R，= a ，如下圖，試求空腔中各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。二、電勢(shì)、電勢(shì)能與電場(chǎng)力的功1、如圖，電場(chǎng)線從正電荷q1出發(fā)，與正點(diǎn)電荷及負(fù)點(diǎn)電荷的連線成角，那么該電場(chǎng)線進(jìn)入負(fù)點(diǎn)電荷q2的角度是多大？ 2、如下圖，半球體球面上均勻帶正電，半徑為R。現(xiàn)將半球體沿圖中虛線分成兩半，并將它們移至很遠(yuǎn)的地方，設(shè)分開后球上仍然均勻帶電，那么球冠在A產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E1和球臺(tái)在A產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)E2的方向如何？大小關(guān)系如何？3、如下圖，半徑為R的圓環(huán)均勻帶電，電荷線密度為，圓心在O點(diǎn)，過圓心跟環(huán)面垂直

6、的軸線上有P點(diǎn)， = r ，以無窮遠(yuǎn)為參考點(diǎn)，試求P點(diǎn)的電勢(shì)UP 。4、如下圖，球形導(dǎo)體空腔內(nèi)、外壁的半徑分別為R1和R2 ，帶有凈電量+q ，現(xiàn)在其內(nèi)部距球心為r的地方放一個(gè)電量為+Q的點(diǎn)電荷，試求球心處的電勢(shì)。5、如下圖，兩個(gè)極薄的同心導(dǎo)體球殼A和B，半徑分別為RA和RB ，現(xiàn)讓A殼接地，而在B殼的外部距球心d的地方放一個(gè)電量為+q的點(diǎn)電荷。試求：1A球殼的感應(yīng)電荷量；2外球殼的電勢(shì)。6、如右圖中，三根實(shí)線表示三根首尾相連的等長(zhǎng)絕緣細(xì)棒，每根棒上的電荷分布情況與絕緣棒都換成導(dǎo)體棒時(shí)完全相同。點(diǎn)A是abc的中心，點(diǎn)B那么與A相對(duì)bc棒對(duì)稱，且已測(cè)得它們的電勢(shì)分別為UA和UB 。試問：假設(shè)將a

7、b棒取走，A、B兩點(diǎn)的電勢(shì)將變?yōu)槎嗌伲?、電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面半徑為R ，CD為通過半球頂點(diǎn)C和球心O的軸線，如圖7-12所示。P、Q為CD軸線上相對(duì)O點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的電勢(shì)為UP ，試求Q點(diǎn)的電勢(shì)UQ 。8、如下圖，A、B兩點(diǎn)相距2L ，圓弧是以B為圓心、L為半徑的半圓。A處放有電量為q的電荷，B處放有電量為q的點(diǎn)電荷。試問：1將單位正電荷從O點(diǎn)沿移到D點(diǎn)，電場(chǎng)力對(duì)它做了多少功？2將單位負(fù)電荷從D點(diǎn)沿AB的延長(zhǎng)線移到無窮遠(yuǎn)處去，電場(chǎng)力對(duì)它做多少功？ 9、兩個(gè)點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢(shì)如下圖。1 判斷電荷 Q1、Q2正負(fù)，比擬Q1、Q2的大小。2 x0，U0 ，求 Q1 、Q2 這兩個(gè)

8、電荷所在位置。 10、測(cè)量空間某點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度與時(shí)間的關(guān)系，得到如下圖圖像。電場(chǎng)是由兩個(gè)相同點(diǎn)電荷產(chǎn)生的，其中一個(gè)點(diǎn)電荷不動(dòng)且與觀察點(diǎn)距離為d，另一個(gè)點(diǎn)電荷以恒定速度運(yùn)動(dòng)。求兩個(gè)電荷電量，運(yùn)動(dòng)電荷到觀察點(diǎn)最近距離及運(yùn)動(dòng)電荷的速度11、在不計(jì)重力空間，有A、B兩個(gè)帶電小球，電量分別為q1和q2 ，質(zhì)量分別為m1和m2 ，被固定在相距L的兩點(diǎn)。試問：1假設(shè)解除A球的固定，它能獲得的最大動(dòng)能是多少？2假設(shè)同時(shí)解除兩球的固定，它們各自的獲得的最大動(dòng)能是多少？3未解除固定時(shí)，這個(gè)系統(tǒng)的靜電勢(shì)能是多少？12、如下圖，三個(gè)帶同種電荷的相同金屬小球，每個(gè)球的質(zhì)量均為m 、電量均為q ，用長(zhǎng)度為L(zhǎng)的三根絕緣輕繩連接

9、著，系統(tǒng)放在光滑、絕緣的水平面上?，F(xiàn)將其中的一根繩子剪斷，三個(gè)球?qū)㈤_始運(yùn)動(dòng)起來，試求中間這個(gè)小球的最大速度。三、電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)1、兩塊平行放置的很大的金屬薄板A和B，面積都是S ，間距為dd遠(yuǎn)小于金屬板的線度，A板帶凈電量+Q1 ，B板帶盡電量+Q2 ，且Q2Q1 ，試求：1兩板內(nèi)外外表的電量分別是多少；2空間各處的場(chǎng)強(qiáng)；3兩板間的電勢(shì)差。2、如下圖，一平行板電容器，極板面積為S ，其上半部為真空，而下半部充滿相對(duì)介電常數(shù)為r的均勻電介質(zhì)，當(dāng)兩極板分別帶上+Q和Q的電量后，試求：1板上自由電荷的分布；2兩板之間的場(chǎng)強(qiáng)；3介質(zhì)外表的極化電荷。3、一個(gè)帶電量為Q的金屬小球，周圍充滿相對(duì)介電常

10、數(shù)為r的均勻電介質(zhì)，試求與與導(dǎo)體外表接觸的介質(zhì)外表的極化電荷量。 4、一塊無限大的導(dǎo)體板，左側(cè)接地，在右側(cè)離板d的A處放置一個(gè)負(fù)電荷q，求靜電平衡后：d-qA(1)板上感應(yīng)在導(dǎo)體內(nèi)任意一點(diǎn)P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)；(2)感應(yīng)電荷在導(dǎo)體外任意一點(diǎn)P處產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)；(3)證明導(dǎo)體外表附近處的合場(chǎng)強(qiáng)垂直于導(dǎo)體外表；(4)求-q所受的庫(kù)侖力；(5)假設(shè)切斷接地線后，將+Q放在導(dǎo)體板上，+Q將怎樣分布？ 5、點(diǎn)電荷q的電場(chǎng)中放入一個(gè)半徑為R的接地導(dǎo)體球，從q到該球球心的距離為l，求導(dǎo)體球?qū)c(diǎn)電荷q的作用力. 6、設(shè)有一對(duì)電荷，帶電量分別為-q1和+q2，相隔一段距離。其中q1、q2為正值，且q1q2 ，不失一般性，可

11、以認(rèn)為q2q1 。試找出電勢(shì)為零的等勢(shì)面。四、電容器的相關(guān)計(jì)算1、由許多個(gè)電容為C的電容器組成一個(gè)如下圖的多級(jí)網(wǎng)絡(luò)，試問：1在最后一級(jí)的右邊并聯(lián)一個(gè)多大電容C，可使整個(gè)網(wǎng)絡(luò)的A、B兩端電容也為C？2不接C，但無限地增加網(wǎng)絡(luò)的級(jí)數(shù)，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)A、B兩端的總電容是多少？2、在右圖所示的電路中，C1 = C2 = C3 = C9 = 1F ，C4 = C5 = C6 = C7 = 2F ，C8 = C10 = 3F ，試求A、B之間的等效電容。3、如下圖的電路中，三個(gè)電容器完全相同，電源電動(dòng)勢(shì)1 = 3.0V ，2 = 4.5V，開關(guān)K1和K2接通前電容器均未帶電，試求K1和K2接通后三個(gè)電容器的電壓Uao 、Ubo和Uco各為多少。4、如下圖，由n個(gè)單元組成的電容器網(wǎng)絡(luò)，每一