二階矩過程精品課件

1、二階矩過程第1頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日一 、 二階矩過程的定義定義：若對(duì)任意的t屬于T， 存在，則 稱 Xt為二階矩過程。 在隨機(jī)過程中，若一個(gè)隨機(jī)過程是嚴(yán)平穩(wěn)過程不一定是寬平穩(wěn)過程，原因就是這個(gè)過程可能不存在二階矩。 第2頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日二、 概述水準(zhǔn)：半經(jīng)驗(yàn)半概率法，也就是對(duì)影響結(jié)構(gòu)可靠度的某些參數(shù)進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計(jì)分析，并與經(jīng)驗(yàn)相結(jié)合，然后引入某些經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，不能對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度作出定量估計(jì)。水準(zhǔn)：又稱一次二階矩法，或稱近似概率法，他采用概率論的方法對(duì)結(jié)構(gòu)可靠度進(jìn)行計(jì)算，不過不是采用精確的計(jì)算方法，而是采用近似的方法計(jì)算結(jié)構(gòu)的可

2、靠度。第3頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日水準(zhǔn)：又稱全概率法，是完全基于概率論的結(jié)構(gòu)可靠度精確分析方法。 二階矩理論近年來已得到廣泛應(yīng)用與發(fā)展，屬于水準(zhǔn)的近似概率方法。它將結(jié)構(gòu)的抗力R和載荷效應(yīng)S作為隨機(jī)變量，近似計(jì)算可靠度和可靠性指標(biāo)。 最常用的方法為一次二階矩法。一次指將功能函數(shù)按照泰勒展開，僅取一次項(xiàng)，二階矩指僅需要用到隨機(jī)變量的均值（原點(diǎn)一階矩）和標(biāo)準(zhǔn)差（二階中心矩）。第4頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日一次二階矩法一般分為兩種 （1）、不考慮隨機(jī)變量的實(shí)際分布，給出有關(guān)結(jié)構(gòu)構(gòu)件可靠度的解析表達(dá)式，采用泰勒級(jí)數(shù)在平均值（中心點(diǎn)）處展開，進(jìn)

3、行分析和計(jì)算，稱為中心點(diǎn)法。 也可采用在設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)進(jìn)行展開，用迭代求解方法求可靠度指標(biāo)，稱為驗(yàn)算點(diǎn)法。 （2）、考慮隨機(jī)變量的實(shí)際分布，將非正態(tài)分布當(dāng)量正態(tài)化，然后采用中心點(diǎn)法或驗(yàn)算點(diǎn)法進(jìn)行可靠度計(jì)算。第5頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日三、均值一次二階矩法（中心法）1、基本概念 均值一次二階矩法是結(jié)構(gòu)可靠度研究初期提出的一種方法，其基本思想是首先將非線性功能函數(shù)在隨機(jī)變量的平均值(中心點(diǎn))處作泰勒級(jí)數(shù)展開并保留至一次項(xiàng)，然后近似計(jì)算功能函數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。第6頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日2、推導(dǎo)過程 設(shè)X1,X2,Xn是結(jié)構(gòu)中n個(gè)相互獨(dú)立

4、的隨機(jī)變量，其平均值為 ,標(biāo)準(zhǔn)差為 ,功能函數(shù) 將功能函數(shù)Z在平均值處展開且保留至一次項(xiàng)，即第7頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日ZL平均值和方差為結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)為第8頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日3、優(yōu)缺點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算簡(jiǎn)便。缺點(diǎn)：不能考慮隨機(jī)變量分布概型；將非線性功能函數(shù)在隨機(jī)變量的平均值處展開不合理，隨機(jī)變量的平均值不在極限曲面上，展開后的線性極限狀態(tài)平面可能會(huì)與原極限狀態(tài)曲面產(chǎn)生較大偏離；對(duì)有相同力學(xué)含義但數(shù)學(xué)表達(dá)式不同的極限狀態(tài)方程，求得的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)值不同。適用條件：結(jié)果比較粗糙，適用于可靠度要求不高的情況，如鋼筋混泥土結(jié)構(gòu)正常使用極限狀態(tài)

5、的可靠度分析。第9頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日 例題1：圓截面直桿，承受拉力P=100kN，已知材料屈服強(qiáng)度fy的均值及標(biāo)準(zhǔn)差、桿的直徑均值和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：用均值一次二階矩法求桿的可靠性指標(biāo)解題思路： 給出極限狀態(tài)方程 求偏導(dǎo)，給出均值泰勒展開線性化方程 求均值 求標(biāo)準(zhǔn)差 求可靠性指標(biāo)第10頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日解：P為常量，fy與d為隨機(jī)變量。 用極限載荷表示的極限狀態(tài)方程為：，所以有：第11頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日線性化后的極限狀態(tài)方程為：方程為：由此有： Z的均值第12頁，共30頁，2022年，

6、5月20日，8點(diǎn)30分，星期日Z的標(biāo)準(zhǔn)差：可靠度指標(biāo)為：還有另一種解法，以P為常量，fy與d為隨機(jī)變量用應(yīng)力極限狀態(tài)方程來進(jìn)行求解。第13頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日四、驗(yàn)算點(diǎn)法一次二階矩1、基本概念 為解決均值一次二階矩的問題，將線性化點(diǎn)選在失效邊界上，而且選在于結(jié)構(gòu)最大可能失效概率對(duì)應(yīng)的設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)P*(S*,R*)上。依此得到的方法稱為改進(jìn)一次二階矩法或驗(yàn)算點(diǎn)法。該方法是1974年由Hasofer和Lind提出來的，也稱H-L法。 定義可靠度指標(biāo)為：在標(biāo)準(zhǔn)化坐標(biāo)系中從原點(diǎn)（均值點(diǎn)）到失效面的最短距離。當(dāng)極限狀態(tài)方程為線性的時(shí)候，則 第14頁，共30頁，2022年

7、，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日 當(dāng)極限狀態(tài)方程為非線性的時(shí)候，則必須采用其他的方法來求得，其中最常用的是迭代法。 給出迭代過程解法：（1）給定一個(gè)值（2）對(duì)全部變量Xi，選取設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)的初值， 一般取均值， 。（3）計(jì)算 （4）由4-3-6計(jì)算 的值。（5）由4-3-9計(jì)算新的驗(yàn)算點(diǎn) 的值。（6）重復(fù)步驟3-5，直到 前后兩次的差值在容許 誤差范圍內(nèi)為止。（7）將所得的 值代入4-3-10式計(jì)算g值。第15頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日 （8）檢驗(yàn) 的條件是否滿足，若不滿足，再次給定一個(gè)值，并重復(fù)3-7步。 （9）再次檢驗(yàn) 的條件是否滿足，若不滿足，則計(jì)算前后兩次和

8、g的各自差值的比值 ，且令 估算新的 值，并重復(fù)步驟3-7，直到獲得 為止 （10）由 或 計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度或失效概率。 （11） 的誤差一般要求在0.01之內(nèi)。第16頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日2、關(guān)于驗(yàn)算點(diǎn)法總結(jié) 對(duì)于驗(yàn)算點(diǎn)法，只要是等效的狀態(tài)方程，其結(jié)果必然是相同的，從而避免了中心點(diǎn)法的致命問題。在實(shí)際工程計(jì)算中，驗(yàn)算點(diǎn)法已作為求解可靠度指標(biāo)的基礎(chǔ)，并有時(shí)直接簡(jiǎn)稱為一次二階矩法。但是要注意，用一次二階矩法只有在統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的正態(tài)分布變量和線性極限狀態(tài)方程下才能得到精確值，而對(duì)于非線性狀態(tài)方程則為近似值。在工程結(jié)構(gòu)中，變量基本都為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，但卻不一定是正態(tài)分布，對(duì)應(yīng)

9、其他分布變量，則需采用其他方法。第17頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日五、JC法1、基本概念 （1）JC法是Hasofer,Lind,Rackwitz和Fiessler, Paloheimo和Hannus等人提出的驗(yàn)算點(diǎn)法。 （2）適用于隨機(jī)變量為非正態(tài)分布的結(jié)構(gòu)可靠指標(biāo)的計(jì)算。 （3）通俗易懂，計(jì)算精度又能滿足工程實(shí)際需要。 （4）國際結(jié)構(gòu)安全度聯(lián)合委員會(huì)(JCSS)推薦使用，故稱為JC法。 （5）我國建筑結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)(GBJ68-84)和鐵路工程結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)(GB50216-94)中都規(guī)定采用JC法進(jìn)行結(jié)構(gòu)可靠度計(jì)算第18頁，共30頁，2022年，5月20日

10、，8點(diǎn)30分，星期日2、推導(dǎo)過程兩個(gè)隨機(jī)變量為正態(tài)分布時(shí)，其極限方程為標(biāo)準(zhǔn)化變換極限狀態(tài)方程變?yōu)椋?）（2）（3）第19頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日將(3)變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)法線式直線方程（4）式中（5） 是坐標(biāo)系 中原點(diǎn) 到極限狀態(tài)直線的距離 （其中P*是垂足） 在驗(yàn)算點(diǎn)法中， 的計(jì)算就轉(zhuǎn)化為求 的長(zhǎng)度第20頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日 兩個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量的極限狀態(tài)方程和設(shè)計(jì)驗(yàn)算點(diǎn)第21頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日多個(gè)正分布隨機(jī)變量時(shí)，極限方程為標(biāo)準(zhǔn)化正態(tài)變換，即極限狀態(tài)方程(6)(7)(8)方向余弦為(9)第22頁，共

11、30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日并且由方向余弦可知由(7)和(11)得整理得(10)(11)(12)(13)第23頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日3、當(dāng)量正態(tài)化法（1）非正態(tài)分布時(shí)，可采取以下三種方法： a.當(dāng)量正態(tài)化法 b.映射變換法 c.實(shí)用分析法（2）JC法為當(dāng)量正態(tài)化法，將原來非正態(tài)分布隨機(jī)變量Xi用等效正態(tài)分布代替，要求滿足以下2個(gè)條件：a.原函數(shù)值F(xi*)與當(dāng)量正態(tài)函數(shù)值F(xi*)相等b.原概率密度值f(xi*)與當(dāng)量正態(tài)分布概率密度值f(xi*)相等 根據(jù)上述2個(gè)條件求等效正態(tài)分布的均值 和標(biāo)準(zhǔn)差 。第24頁，共30頁，2022年，

12、5月20日，8點(diǎn)30分，星期日六、映射變換法1、基本概述 采用數(shù)學(xué)變換的方法將非正態(tài)隨機(jī)變量變換為正態(tài)隨機(jī)變量，問題得到解決。 映射變換法少了JC法的當(dāng)量正態(tài)化過程，但多了映射變換的過程，因此兩種方法的計(jì)算量基本相當(dāng)。 JC法采用當(dāng)量正態(tài)化的方法概念上比較直觀，映射變換法數(shù)學(xué)上更嚴(yán)密一些，因此結(jié)構(gòu)可靠度進(jìn)一步的理論分析則采用映射變換法更為科學(xué)。第25頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日2、推導(dǎo)過程 設(shè)n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量為X1，X2，Xn，功能函數(shù)為作映射變換則為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量（14）（15）（16）第26頁，共30頁，2022年，5月20日，8點(diǎn)30分，星期日是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量（14),(15),(16)聯(lián)立方程簡(jiǎn)化為其中（17）（18）（19）第27頁，共30頁，202