幾何造型技術(shù)教學(xué)課件

1、第三章 幾何造型技術(shù)幾何造型技術(shù)是一項(xiàng)研究在計(jì)算機(jī)中，如何表達(dá)物體模型形狀的技術(shù)。描述物體的三維模型有三種: 線框模型、曲面模型和實(shí)體模型。線框模型用頂點(diǎn)和棱邊來(lái)表示物體。由于沒有面的信息，它不能表示表面含有曲面的物體；它不能明確地定義給定點(diǎn)與物體之間的關(guān)系（點(diǎn)在物體內(nèi)部、外部或表面上）。表面模型用面的集合來(lái)表示物體，而用環(huán)來(lái)定義面的邊界。表面模型能夠滿足面面求交、線面消隱、明暗色彩圖、數(shù)控加工等需要。但在該模型中，只有一張張面的信息，物體究竟存在于表面的哪一側(cè)，并沒有給出明確的定義，無(wú)法計(jì)算和分析物體的整體性質(zhì)。如物體的表面積、體積、重心等。也不能將這個(gè)物體作為一個(gè)整體去考察它與其它物體相互

2、關(guān)聯(lián)的性質(zhì)，如是否相交等。實(shí)體模型能完整表示物體的所有形狀信息，可以無(wú)歧義地確定一個(gè)點(diǎn)是在物體外部、內(nèi)部或表面上。是最高級(jí)的模型。這種模型能夠進(jìn)一步滿足物性計(jì)算、有限元分析等應(yīng)用的要求。三維表面模型表示三維物體的信息并不完整，但它能夠表達(dá)復(fù)雜的雕刻曲面，在幾何造型中具有重要的地位，對(duì)于支持曲面的三維實(shí)體模型，表面模型是它的基礎(chǔ)幾何造型的歷史曲面造型：60年代，法國(guó)雷諾汽車公司、Pierre Bzier、汽車外形設(shè)計(jì)的UNISURF系統(tǒng)。實(shí)體造型：1973英國(guó)劍橋大學(xué)CAD小組的Build系統(tǒng)、美國(guó)羅徹斯特大學(xué)的PADL-1系統(tǒng)等。獨(dú)立發(fā)展起來(lái)，又合二為一。主流：基于線框、曲面、實(shí)體、特征統(tǒng)一表

3、示的造型設(shè)計(jì)系統(tǒng)3.1 參數(shù)曲線和曲面3.1.1 曲線曲面參數(shù)表示顯式表示:y=f（x）隱式表示:f（x，y）=0參數(shù)表示:P(t)=x(t), y(t), z(t)顯式或隱式表示存在下述問題：1）與坐標(biāo)軸相關(guān)；2）會(huì)出現(xiàn)斜率為無(wú)窮大的情形(如垂線)；3) 不便于計(jì)算機(jī)編程。參數(shù)表示:曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點(diǎn)P可表示為： 空間曲線上任一三維點(diǎn)P可表示為：參數(shù)表示例子：直線圓參數(shù)表示的優(yōu)點(diǎn)：1）以滿足幾何不變性的要求。2）有更大的自由度來(lái)控制曲線、曲面的形狀3）對(duì)曲線、曲面進(jìn)行變換，可對(duì)其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換。4）便于處理斜率為無(wú)窮大的情形

4、，不會(huì)因此而中斷計(jì)算。（5）便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡(jiǎn)化了計(jì)算。3.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率曲線上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為： P(t)=x(t), y(t), z(t)；切向量(切矢量)選擇弧長(zhǎng)s作為參數(shù)，則 是單位切矢根據(jù)弧長(zhǎng)微分公式有：于是有 ，即為單位矢量法矢量與 平行的法矢稱為曲線在該點(diǎn)的主法矢N矢量積 是第三個(gè)單位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢稱為曲線的副法矢我們可以推導(dǎo)出：T(切矢)、N(主法矢)和B

5、(副法矢)構(gòu)成了曲線上的活動(dòng)坐標(biāo)架N、B構(gòu)成的平面稱為法平面，N、T構(gòu)成的平面稱為密切平面，B、T構(gòu)成的平面稱為從切平面。 曲率和撓率 即稱為曲率，其幾何意義是曲線的單位切矢對(duì)弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率曲率k的倒數(shù) 稱為曲率半徑。撓率 的絕對(duì)值等于副法線方向(或密切平面)對(duì)于弧長(zhǎng)的轉(zhuǎn)動(dòng)率.對(duì)于一般參數(shù)t，我們可以推導(dǎo)出曲率和撓率的計(jì)算公式如下：3.1.3 插值、擬合、逼近和光順給定一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi，i=0, 1, , n，構(gòu)造一條曲線順序通過(guò)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對(duì)這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。 線性插值：假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)x1和x2的值，用一個(gè)線形函數(shù)：y=ax+b，近似代替，

6、稱為的線性插值函數(shù)。拋物線插值:已知在三個(gè)互異點(diǎn) 的函數(shù)值為 ，要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù) 使拋物線 在結(jié)點(diǎn) 處與 在 處的值相等擬合：構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)(但未必通過(guò)這些點(diǎn))，所構(gòu)造的曲線為擬合曲線。在計(jì)算數(shù)學(xué)中，逼近通常指用一些性質(zhì)較好的函數(shù)近似表示一些性質(zhì)不好的函數(shù)。在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，逼近繼承了這方面的含義，因此插值和擬合都可以視為逼近。光順(Firing)指曲線的拐點(diǎn)不能太多。對(duì)平面曲線而言，相對(duì)光順的條件是：a. 具有二階幾何連續(xù)性(G2)；b. 不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；c. 曲率變化較小。3.1.4 參數(shù)化過(guò)三點(diǎn)P0、P1和P2構(gòu)造參數(shù)表示的插值多項(xiàng)式可以有無(wú)數(shù)條，

7、這是因?yàn)閷?duì)應(yīng)地參數(shù)t, 在0, 1區(qū)間中有無(wú)數(shù)種取法。即P0、P1和P2可對(duì)應(yīng)不同的參數(shù)值，比如， 或 其中每個(gè)參數(shù)值稱為節(jié)點(diǎn)(knot)。對(duì)于一條插值曲線，型值點(diǎn) 與其參數(shù)域 內(nèi)的節(jié)點(diǎn)之間有一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。對(duì)于一組有序的型值點(diǎn)，所確定一種參數(shù)分割，稱之這組型值點(diǎn)的參數(shù)化。向心參數(shù)化法 向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲線切矢從該弧段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比，加上一些簡(jiǎn)化假設(shè)，得到向心參數(shù)化法。此法尤其適用于非均勻型值點(diǎn)分布。修正弦長(zhǎng)參數(shù)化法弦長(zhǎng)修正系數(shù)Ki=1。從公式可知，與前后鄰弦長(zhǎng)及相比，若越小，且與前后鄰弦邊夾角的外角qi-1和q i(不超過(guò)時(shí))越大，則修正系數(shù)就K i 就越大。參

8、數(shù)區(qū)間的規(guī)格化我們通常將參數(shù)區(qū)間 規(guī)格化為0, 1， ，只需對(duì)參數(shù)化區(qū)間作如下處理： 3.1.5 參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式我們以三次參數(shù)曲線為例，討論參數(shù)曲線的代數(shù)和幾何形式。代數(shù)形式上述代數(shù)式寫成矢量式是幾何形式對(duì)三次參數(shù)曲線，若用其端點(diǎn)位矢P(0)、P(1)和切矢P(0)、P(1)描述。將P(0)、P(1)、P(0)和P(1)簡(jiǎn)記為P0、P1、P0和P1，代入 得令：可將其簡(jiǎn)化為：上式是三次Hermite(Ferguson)曲線的幾何形式，幾何系數(shù)是P0、P1、P0和P1。 稱為調(diào)和函數(shù)（或混合函數(shù)） 3.1.6 連續(xù)性曲線間連接的光滑度的度量有兩種：函數(shù)的可微性：組合參數(shù)曲線在連接處具有直到n階連續(xù)導(dǎo)矢，即n階連續(xù)可微，這類光滑度稱之為 或n階參數(shù)連續(xù)性。幾何連續(xù)性：組合曲線在連接處滿足不同于 的某一組約束條件，稱為具有n階幾何連續(xù)性，簡(jiǎn)記為 。反例：若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)或 連續(xù)，即兩曲線在結(jié)合處位置連續(xù)：若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)，就是說(shuō)兩條曲線在結(jié)合處在滿足 連續(xù)的條件下，并有公共的切矢 當(dāng)a1時(shí)， 連續(xù)就成為 連續(xù)若要求在結(jié)合處達(dá)到 連續(xù)，就是說(shuō)兩條曲線在結(jié)合處在滿足 連續(xù)的條件下，并有公共的曲率矢：這個(gè)關(guān)系可寫為： 為任意常數(shù)。當(dāng) ， 時(shí)， 連續(xù)就成為 連續(xù)。我們已經(jīng)看到， 連續(xù)保證 連續(xù)， 連續(xù)能保證 連續(xù)，但反過(guò)來(lái)不行。也就是說(shuō) 連續(xù)的