廣東省高中數學競賽試題詳解

1、廣東省高中數學比賽試題及詳解答案廣東省高中數學比賽試題及詳解答案5/5廣東省高中數學比賽試題及詳解答案全國高中數學聯賽廣東省賽區(qū)初賽試題（考試時間：9月4日上午10：0011：二題號一共計123得分評卷人復核人注意事項：1.本試卷共二大題，全卷滿分1用圓珠筆或鋼筆作答。解題書寫不要高出裝訂線。不可以使用計算器。一、填空題：本大題共8小題，每題8分，共64分.把答案填在橫線上.1.方程logxsinx2在區(qū)間(0,上的實根個數為_.222.設數列8(1n)1的前n項和為Sn，則知足不等式|Sn6|1的最小整數n是3125_.3.已知n（nN，n2）是常數，且x1，x2，xn是區(qū)間0,內隨意實數，

2、則函數2f(x1,x2,xn)sinx1cosx2sinx2cosx3sinxncosx1的最大值等于_.圓周上給定10個點，每兩點連一條弦，假如沒有三條弦交于圓內一點，那么，這些弦在圓內一共有_個交點.5.一只蟲子沿三角形鐵圈爬行，在每個極點，它都等機會地爬向其他兩個極點之一，則它在n次爬行后恰好回到初步點的概率為_.設O是平面上一個定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P知足OPACOAAB0,)，則點P的軌跡為_.|AC|，此中|AB|7.對給定的整數m，符號(m)表示中使m(m)能被3整除的獨一值，那么1,2,3(220101)(220102)(220103)_.分別以直角三角形

3、的兩條直角邊a，b和斜邊c為軸將直角三角形旋轉一周，所得旋轉體的體積挨次為Va，Vb，Vc，則Va2Vb2與(2Vc)2的大小關系是_.二、解答題：本大題共3小題，共56分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（本小題滿分16分）能否存在實數a，使直線yax1和雙曲線3x2y21訂交于兩點A、B，且以AB為直徑的圓恰巧過坐標系的原點？（本小題滿分求證：不存在這樣的函數f:Z1,2,3，知足對隨意的整數x，y，若|xy|2,3,5，則f(x)f(y).3.（本小題滿分設非負實數a，b，c知足abc1，求證：9abcabbcca1(19abc)4全國高中數學聯賽廣東省初賽參照答案一、填空題1.

4、設f(x)logxsinx2，則f(x)1oscx，0 x，0cos1x，又0nl1，2xln222f(x)0，即在區(qū)間(0,上單一遞加，故方程logxsinx2在區(qū)間(0,上有且只有一個實根.2221)n1181(1)n1)n，于2.易知數列8(是首項是8，公比是的等比數列，Sn366(331(13)3是|Sn6|1213n1250，35243250，36729250，故最小整數n是7.1253n1125a2b2，3.ab2f(x1,x2,xn)sinx1cosx2sinx2cosx3sinxncosx1sin2x1cos2x2sin2x2cos2x3sin2xncos2x1222(sin2

5、x1cos2x1)(sin2x2cos2x2)(sin2xncos2xn)2n，2n故所求函數的最大值等于.圓周上隨意四點組成一個四邊形，四邊形的兩條對角線的交點必在圓內，所以四邊形的個數與每兩條弦的交點數相等，故有C10410987210個交點.12342n2(1)n5.32nACOAABABAC6.OP，OPOA()，|AC|AB|AB|AC|即AP(ABAC)，又AB，AC為單位向量，由向量加法的平行四邊形法例，知點P的軌|AB|AC|AB|AC|跡為BAC的均分線.7.由二項式定理知，2201041005(31)10053p1，即22010被3除余1，(220101)3，(220102

6、)1(220103)2，故(220101)(220102)(220103)6.8.Va2Vb2(b2a)2(a2b)22a2b2(a2b2)2a2b2c2，9933(2Vc)2(23h2(ab)242(ab)4c242a4b4，9c9c2作商，有Va2Vb2c4(a2b2)2(2ab)21，故Va2Vb2(2Vc)2.(2Vc)24a2b24a2b24a2b2二、解答題1.解：設交點A、B的坐標為A(x1,y1)、B(x2,y2)，由yax1消去y，得3x2y21(3a2)x22ax20，由韋達定理，得x1x22a，23a2x1x2，3a2以AB為直徑的圓恰巧過坐標系的原點，OAOB，x1x2

7、y1y20，即x1x2(ax11)(ax21)0，整理，得(a21)x1x2a(x1x2)10將代入，并化簡得1a20，a1，3a2經查驗，a1的確知足題目條件，故存在實數a知足題目條件.2.證明：假定存在這樣的函數f，則對隨意的整數n，設f(n)a，f(n5)b，此中a,b1,2,3，由條件知ab.因為|(n5)(n2)|3，|n(n2)|2，f(n2)a且f(n2)b，即f(n2)是1,2,3除掉a，b后剩下的那個數，不如設f(n2)c又因為|(n5)(n3)|2，|n(n3)|3，f(n3)f(n2).以n1取代n，得f(n4)f(n3)f(n2)，但這與|(n4)(n2)|2矛盾！所以假定不建立，即不存在這樣的函數f.證明：先證左側的不等式.abc1，abbcca(abbcca)(abc)a2bab2b2cbc2a2cac23abc6abc3abc9abc再證右側的不等式.不如設abc，注意到條件abc1，得14(abbcca)9abc