高等數(shù)學(xué)教案第十一章

1、第十一章無(wú)窮級(jí)數(shù)教學(xué)目的：1、理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。2、了解無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。3、掌握幾何級(jí)數(shù)和p-級(jí)數(shù)的收斂性。4、掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。5、掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理，會(huì)估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差。6、了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系。7、理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性、收斂域及和函數(shù)的概念，了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。8、掌握冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解冪級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。9、會(huì)利用冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)求和。10、了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。11、會(huì)利用基本初等函數(shù)的麥克勞林

2、展開式將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)間接展開成冪級(jí)數(shù)。教學(xué)重點(diǎn)：1、級(jí)數(shù)收斂的定義及條件2、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；4、泰勒級(jí)數(shù)教學(xué)難點(diǎn)：1、級(jí)數(shù)收斂的定義及條件2、判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散3、冪級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法；4、泰勒級(jí)數(shù)；1常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)一、教學(xué)目的與要求：.理解無(wú)窮級(jí)數(shù)收斂、發(fā)散以及和的概念。.理解無(wú)窮級(jí)數(shù)基本性質(zhì)及收斂的必要條件。二、重點(diǎn)（難點(diǎn)）：級(jí)數(shù)收斂的定義及條件三、教學(xué)方式：講授式教學(xué)結(jié)合多媒體講授內(nèi)容：一、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念常數(shù)項(xiàng)無(wú)窮級(jí)數(shù)：一般地，給定一個(gè)數(shù)列UiU2U3，:Un.則由這數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式UiU2U3-

3、Un-叫做（常數(shù)項(xiàng)）無(wú)窮級(jí)數(shù).簡(jiǎn)稱（常數(shù)項(xiàng)）級(jí)數(shù).記為un,即n1cd、Un=UiU2U3.Rn.n1其中第n項(xiàng)Un叫做級(jí)數(shù)的一般項(xiàng).QO級(jí)數(shù)的部分和：作級(jí)數(shù)2Un的前n項(xiàng)和n=1nsn八Ui=U1U2U3Uni1oO稱為級(jí)數(shù)Un的部分和,n1qo級(jí)數(shù)斂散性定義：如果級(jí)數(shù)ZUn的部分和數(shù)列Sn有極限S.n1即limsn=s.n二二oO則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)ZUn收斂.這時(shí)極限S叫做這級(jí)數(shù)的和.n1并寫成oO TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark4 o Current Document s-un=u1u2u3：；un?nm如果sn沒有極限.則稱無(wú)窮級(jí)數(shù)聲Un發(fā)散.n1QOQ

4、O余項(xiàng)：當(dāng)級(jí)數(shù)ZUn收斂時(shí).其部分和Sn是級(jí)數(shù)ZUn的和S的近似值.它們之間的差值n1nn與-SnPn.1，Un2.3,一qO叫做級(jí)數(shù)un的余項(xiàng),n1例1討論等比級(jí)數(shù)（幾何級(jí)數(shù)）oO“aqn=aaqaq2+aqnn=0的斂散性.其中a?0.q叫做級(jí)數(shù)的公比解：如果q型.則部分和2n1sn=aaqaqaq_a-aqni-qai-qaqni-qod當(dāng)|qg時(shí).因?yàn)閘imSn.所以此時(shí)級(jí)數(shù)工aqn收斂.其和為-a-.n1-qn=01-qoO當(dāng)|q|l時(shí).因?yàn)閘im、=0.所以此時(shí)級(jí)數(shù)Zaqn發(fā)散.n二n=0oO如果q|W.則當(dāng)q=時(shí).sn=naT因此級(jí)數(shù)Zaqn發(fā)散；n=00a當(dāng)q=1時(shí).級(jí)數(shù)aqn

5、成為n=0a-aa-a時(shí)|q|g時(shí).因?yàn)閟n隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零.oO所以sn的極限不存在.從而這時(shí)級(jí)數(shù)Zaqn也發(fā)散.n=0綜上所述.如果|q|1,則級(jí)數(shù)aqn收斂.其和為；如果|q閆.則級(jí)數(shù)aqn發(fā)散，n=01-qn=0cQ僅當(dāng)q| HYPERLINK l bookmark41 o Current Document :lim（u1u2un）二（v2-vn）n二=lim(Sn二；：n)二S二二.ny-.i表明：兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減。性質(zhì)3在級(jí)數(shù)中去掉、加上或改變有限項(xiàng).不會(huì)改變級(jí)數(shù)的收斂性.比如.級(jí)數(shù),+工+工+1+是收斂的.122334n(n1),一“1111,加一

6、項(xiàng)后級(jí)數(shù)9895+十十十+十也是收斂的.122334n(n1)減一項(xiàng)后級(jí)數(shù)11+1+也是收斂的,3445n(n1)Q0性質(zhì)4如果級(jí)數(shù)un收斂.則對(duì)這級(jí)數(shù)的項(xiàng)任意加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)仍收斂.且其和不變，nT注意：如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂.則不能斷定去括號(hào)后原來(lái)的級(jí)數(shù)也收斂例如.級(jí)數(shù)(11)+(11)+11收斂于零.但級(jí)數(shù)1T+11+1,卻是發(fā)散的，推論：如果加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散.則原來(lái)級(jí)數(shù)也發(fā)散.級(jí)數(shù)收斂的必要條件qQ TOC o 1-5 h z 性質(zhì)5如果fun收斂.則它的一般項(xiàng)un趨于零.即limun=0,nJn0oO證：設(shè)級(jí)數(shù)uun的部分和為sn,且limsn=s,則n1n二limun-

7、lim（sn-sn）=limsn-limsn=s-s=0n_0nj二二n：:n：:注意：級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)趨于零并不是級(jí)數(shù)收斂的充分條件.例如調(diào)和級(jí)數(shù)J1.1.1.1,=1一n23n HYPERLINK l bookmark60 o Current Document 1_盡管它的一般項(xiàng)lim=0,但它是發(fā)散的,n:n二1因?yàn)榧偃艏?jí)數(shù)工1收斂且其和為s.sn是它的部分和nz1n顯然有l(wèi)im%=s及l(fā)im82n=s,于是lim(s2n-sn)=0n)二nj：n二但另一方面111111182n-sn82nnn1n22n2n2n2n21故lim(s2n-sn)#0.矛盾，這矛盾說(shuō)明級(jí)數(shù)工-必定發(fā)散，nndn

8、2常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂法一、教學(xué)目的與要求：.掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、比值審斂法和根值審斂法。.掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茨定理，會(huì)估計(jì)交錯(cuò)級(jí)數(shù)的截?cái)嗾`差。.了解無(wú)窮級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂與條件收斂的概念以及絕對(duì)收斂與條件收斂的關(guān)系二、重點(diǎn)(難點(diǎn))：判定正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散三、教學(xué)方式：講授式教學(xué)結(jié)合多媒體講授內(nèi)容：一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法定義：各項(xiàng)都是正數(shù)或零的級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù)。正項(xiàng)級(jí)數(shù)是一類非常重要的級(jí)數(shù)，關(guān)于正項(xiàng)級(jí)數(shù)有列重要結(jié)論：O0定理1正項(xiàng)級(jí)數(shù)%收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列Sn有界,n1證設(shè)級(jí)數(shù)UiU2_Un: TOC o 1-5 h z 是一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)。其部分和為Sn顯然Sn是一個(gè)單

9、調(diào)增加數(shù)列，若部分和數(shù)列Sn有界,則根據(jù)單調(diào)有界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則，可知級(jí)數(shù)1Un收斂；反之.若級(jí)數(shù)工Un收斂，則部分和數(shù)列Sn有極限，根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)可知Sn有界cOoOoO定理2(比較審斂法)設(shè)Un和Vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù).且UnEVn(n=1.2.，),若級(jí)數(shù)Vn收斂.則ndndn=100aoao級(jí)數(shù)ZUn收斂；反之.若級(jí)數(shù)Un發(fā)散.則級(jí)數(shù)vn發(fā)散.n1n1n=1oOoO證設(shè)級(jí)數(shù)Vn收斂于和H則級(jí)數(shù)Un的部分和n=1n=1Sn=U1U2-Un_V1,V2Vn_-(n=1,2,).即部分和數(shù)列Sn有界.由定理1知級(jí)數(shù)工Un收斂.n1oOoo反之.設(shè)級(jí)數(shù)Un發(fā)散.則級(jí)數(shù)ZVn必發(fā)散

10、.nTn18oo因?yàn)槿艏?jí)數(shù)Zvn收斂.由上已證明的結(jié)論.將有級(jí)數(shù)ZUn也收斂.與假設(shè)矛盾.nWnWqoqoqo推論設(shè)Un和工Vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù).如果級(jí)數(shù)2Vn收斂.且存在自然數(shù)N.使當(dāng)n至N時(shí)有n=1n4n=1qQUqQUn生Vn(k0)成立.則級(jí)數(shù)Un Un收斂；如果級(jí)數(shù)n 1qQvn vn發(fā)散.且當(dāng)n小時(shí)有Un小Vn(k0)成立.則級(jí)數(shù) nunun發(fā)散,n1例1討論p於數(shù) TOC o 1-5 h z 1.1111、=1一Pppppn1n234n的收斂性.其中常數(shù)p0.解 解 設(shè)p-,而調(diào)和級(jí)數(shù)np n1發(fā)散.由比較審斂法知n =1nqQ當(dāng)pl時(shí)級(jí)數(shù)qQ當(dāng)pl時(shí)級(jí)數(shù)-發(fā)散，n =1 nF設(shè)p1

11、，此時(shí)有工Xdx二n：(n1)pQOoo所以級(jí)數(shù)Z一1-7-v收斂，從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知.級(jí)數(shù)工。當(dāng)p1時(shí)收n(n-1)pnpn=1np斂綜上所述.p燃數(shù)13當(dāng)p1時(shí)收斂.當(dāng)p1時(shí)發(fā)散，nTnp提示n(提示n(n -1)p1np，的部分和為Sn*七方.T-1+=1-1+正-2p2p3pnp(n,1)p(n1)p因?yàn)閘imsn=lim11-,=1f：nn二(n1)pJ所以級(jí)數(shù)一T-a收斂，nj(n-1)pnp“1,、，z,一,、皿p垓數(shù)的收斂性p-a數(shù)12當(dāng)pa1時(shí)收斂.當(dāng)pn(n1)、(n1)qQ而級(jí)數(shù)n11-=+1+/一+是發(fā)散的根據(jù)比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)也是發(fā)散的定理3(比較審斂

12、法的極限形式)oOod設(shè)ZUn和Vn都是正項(xiàng)級(jí)數(shù).nn.一一U一二二.(1)如果lim=1(0回0或 lim un = yn 二Vnn 二Vn00且級(jí)數(shù)Z Vn發(fā)散n oO則級(jí)數(shù) Un發(fā)散.n 11，一、一，,1證明由極限的定義可知.對(duì)&=1l.存在自然數(shù)N.當(dāng)n小時(shí).有不等式l-lnl+l.即。M43卜門.2vn22nn2n再根據(jù)比較審斂法的推論1.即得所要證的結(jié)論，二1S例3判別級(jí)數(shù)Ztan的收斂性.nn,1tan解因?yàn)镴imn=1.而級(jí)數(shù)1發(fā)散.:11.根據(jù)比較審斂法的極限形式.級(jí)數(shù)tan1發(fā)散，根據(jù)比較審斂法的極限形式n4noO例4oO例4判別級(jí)數(shù)n4(2n -1)(2n 1)的收斂性

13、解因?yàn)榻庖驗(yàn)閘im (2n-1)(2n+1) =1 .而級(jí)數(shù)13收斂.-14nw n22n根據(jù)比較審斂法的極限形式收斂n4 根據(jù)比較審斂法的極限形式收斂n4 (2n -1)(2n 1)定理4（比值審斂法.達(dá)朗貝爾判別法）qQ若正項(xiàng)級(jí)數(shù)ZUn的后項(xiàng)與前項(xiàng)之比值的極限等于p：limu土=p.nWn一Un則當(dāng)P1（或lim虹=8）時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；一un TOC o 1-5 h z 當(dāng)PT時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散,123 1(n-1) HYPERLINK l bookmark90 o Current Document ,111123 1(n-1)例5證明級(jí)數(shù)1+1+七+7+112123是收斂的 HYPER

14、LINK l bookmark95 o Current Document un1123(n-1)1,解因?yàn)閘im=limlim一二01.nunn：123nnn根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂例6判別級(jí)數(shù)+L2+12誓+-n!-+的收斂性.1010210310nUn1.(n1)!10n.n1.解因?yàn)閘im=lim1n-lim=0.munn-10nln!n：10根據(jù)比值審斂法可知所給級(jí)數(shù)發(fā)散二1例7判別級(jí)數(shù)的收斂性.g2n（2n1）解uU?=nlim/T)%，)：1這時(shí)P=1.比值審斂法失效.必須用其它方法來(lái)判別級(jí)數(shù)的收斂性11因?yàn)槎?jí)數(shù)14收斂.因此由比較審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂(2n1)2nn恒n

15、2定理5(根值審斂法.柯西判別法)C30設(shè)ZUn是正項(xiàng)級(jí)數(shù).如果它的一般項(xiàng)Un的n次根的極限等于P：n1limnUn=.ni則當(dāng)Rd時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)P1(或limnun=)時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散；n_.當(dāng)三1時(shí)級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散例8證明級(jí)數(shù)1+工+工+是收斂的.2233nn并估計(jì)以級(jí)數(shù)的部分和Sn近似代替和S所產(chǎn)生的誤差,解因?yàn)閘imn/Un=limn/nT：；n=lim-=0.n，二n所以根據(jù)根值審斂法可知所給級(jí)數(shù)收斂以這級(jí)數(shù)的部分和Sn近似代替和S所產(chǎn)生的誤差為 TOC o 1-5 h z |rn|=1-1-1-|n|(n1)n1(n2)n2(n3)n3.1.1,1(n1)n1(n1)n2(n1)n

16、3_1n(n1)n例9判定級(jí)數(shù)22+(11)的收斂性nd2n解因?yàn)閘im癌=lim1V2+(-1)n=1nn-22所以根據(jù)根值審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂定理6(極限審斂法)Q0設(shè)un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)n1oo(1)如果nimJUn=l0(或nimnUn=+/)則級(jí)數(shù)2Un發(fā)散Q0(2)如果p1而njmjpUn刁(0引F)則級(jí)數(shù)工Un收斂二1,例10判定級(jí)數(shù)工ln(1+-2)的收斂性n3n TOC o 1-5 h z 一一，11一 HYPERLINK l bookmark111 o Current Document 解因?yàn)閘n(1+-2)-2(nTi)故 HYPERLINK l bookmark86 o Cu

17、rrent Document nnlimn2un=limn2ln(112)=limn24=1nn)二二n2n)二二n2根據(jù)極限審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂例11判定級(jí)數(shù)nTn+1(1-cos-)的收斂性n=1n解因?yàn)閘imn2un=limn2Jn+1(1-cos工)=limn2Jn11(工)2=1n2nn)：nn：.n2n2根據(jù)極限審斂法知所給級(jí)數(shù)收斂、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法交錯(cuò)級(jí)數(shù)：交錯(cuò)級(jí)數(shù)是這樣的級(jí)數(shù).它的各項(xiàng)是正負(fù)交錯(cuò)的 TOC o 1-5 h z oCoO交錯(cuò)級(jí)數(shù)的一般形式為(1)n,Un.或工(-1)nUn其中Un。，n=1n1qQqQ例如.Z(-1)n41是交錯(cuò)級(jí)數(shù).但(_1)n,上cosn工

18、不是交錯(cuò)級(jí)數(shù) HYPERLINK l bookmark28 o Current Document n=1nn1n定理7(萊布尼茨定理)od如果交錯(cuò)級(jí)數(shù)(-1)n,Un滿足條件：n1(1)un浙由(n=.2.3.一)；(2)limUn=0.n：則級(jí)數(shù)收斂.且其和s勺1.其余項(xiàng)rn的絕對(duì)值|rn|Un+1,證明：設(shè)前2n項(xiàng)部分和為S2n.由S2n=(U1-U2)*U3-U4)+*U2n1-U2n).及S2n-U1-(U2-U3).(U4U5)(U2n-2-U2n4)-U2n看出數(shù)列S2n單調(diào)增加且有界(S2nU1).所以收斂，設(shè)S2nS(n).則也有S2n+F2n九2n由S(n).所以SnS(n)

19、.從而級(jí)數(shù)是收斂的.且Sn:U1,因?yàn)閨rn|=Un4-Un+1也是收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù).所以|rn|、n+,_d1例12證明級(jí)數(shù)工(-111收斂.并估計(jì)和及余項(xiàng).n1n證這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),因?yàn)榇思?jí)數(shù)滿足111八UnUn1(n=1,2,).(2)limUn=lim0nn1n.n二n由萊布尼茨定理.級(jí)數(shù)是收斂的.且其和su1=1余項(xiàng)|rn|Wun書=Ln1 TOC o 1-5 h z 三、絕對(duì)收斂與條件收斂：00oO絕對(duì)收斂與條件收斂：若級(jí)數(shù)|Un|收斂.則稱級(jí)數(shù)ZUn絕對(duì)收斂；nWn1ooaooa若級(jí)數(shù)ZUn收斂.而級(jí)數(shù)工|Un|發(fā)散.則稱級(jí)uUn條件收斂，n1nWnW例如級(jí)數(shù)(-1)n,J是絕對(duì)收

20、斂的.而級(jí)數(shù)(-Dn/1是條件收斂的,nz1nnTnoooo定理8如果級(jí)數(shù)工Un絕對(duì)收斂.則級(jí)數(shù)Un必定收斂,n=1nW證明略odod注意：如果級(jí)數(shù)工|Un|發(fā)散.我們不能斷定級(jí)數(shù)工Un也發(fā)散，n1n1CO但是.如果我們用比值法或根值法判定級(jí)數(shù)|Un|發(fā)散.n1Q0則我們可以斷定級(jí)數(shù)Un必定發(fā)散.n1Q0這是因?yàn)?此時(shí)|Un|不趨向于零.從而Un也不趨向于零.因此級(jí)數(shù)Un也是發(fā)散的n1、sinna一例13判別級(jí)數(shù)的收斂性.n1nsinna11匚解因?yàn)閨4一尸一4.而級(jí)數(shù)乙一4是收斂的.nnndn所以級(jí)數(shù)三|四普|也收斂.從而級(jí)數(shù)jsnna絕對(duì)收斂，n4nn4n-2例14判別級(jí)數(shù)Z（_i）n-L

21、（i+1）n的收斂性.nj2n解：由山上焉口1）2.有l(wèi)im師WlimO+Pn/eAl.2nnn-2n）：n22可知limun*0,因此級(jí)數(shù)工（1）n去（1+1）n發(fā)放.n二n/2nn3哥級(jí)數(shù)一、教學(xué)目的與要求：.理解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性、收斂域及和函數(shù)的概念，了解函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和函數(shù)的性質(zhì)。.掌握哥級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法，了解哥級(jí)數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)。.會(huì)利用哥級(jí)數(shù)的性質(zhì)求和。二、重點(diǎn)（難點(diǎn)）：哥級(jí)數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法三、教學(xué)方式：講授式教學(xué)結(jié)合多媒體講授內(nèi)容：一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)：給定一個(gè)定義在區(qū)間I上的函數(shù)列:Ul（X）,U2（X）,U3（X

22、）,Un（X）由這函數(shù)列構(gòu)成的表達(dá)式ui(x)U2(x)U3(x),-un(x)稱為定義在區(qū)間i上的(函數(shù)項(xiàng))級(jí)數(shù).記為unun(X).n對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的一定點(diǎn)X0.若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(X0)收斂.則稱nqQqQ點(diǎn)X0是級(jí)數(shù)Eun(x)的收斂點(diǎn),若常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)fun(Xo)發(fā)散.則稱n1nJqQ點(diǎn)X0是級(jí)數(shù)un(x)的發(fā)散點(diǎn)、。n=1qQ函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)un(x)的所有收斂點(diǎn)的全體稱為它的收斂域n1所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱為它的發(fā)散域在收斂域上.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)ZUn(x)的和是X的函數(shù)s(x).n1qQqQs(x)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)ZUn(x)的和函數(shù).并寫成s(x)=Un(x).n=1n=1oO匯Un(x)是ZUn(

23、x)的簡(jiǎn)便記法.以下不再重述,n1在收斂域上.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)匯Un(x)的和是X的函數(shù)S(X).S(X)稱為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)匯Un(x)的和函數(shù).并寫成S(X)=匯Un(x),這函數(shù)的定義就是級(jí)數(shù)的收斂域。函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)匯Un(x)的前n項(xiàng)的部分和記作Sn(x).即Sn(x)=U1(X)U2(X)U3(X)-Un(x).在收斂域上有Jimsx)=Sx)或Sn(xZs(x)(n*),oO函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)ZUn(x)的和函數(shù)s(x)與部分和Sn(x)的差rn(x)=S(x)-Sn(x)n1qQrn(x)=S(x)Sn(x),叫做函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)zUnrn(x)=S(x)Sn(x),函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)匯Un(x)的余項(xiàng)記為rn(x)

24、.它是和函數(shù)S(X)與部分和Sn(x)的差在收斂域上有l(wèi)imjn(x)=0,n、哥級(jí)數(shù)及其收斂性哥級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)中簡(jiǎn)單而常見的一類級(jí)數(shù)就是各項(xiàng)都備函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)這種形式的級(jí)數(shù)稱為哥級(jí)數(shù).它的形式是aoaixa2X2上，anxn.其中常數(shù)ao.ai.a2.an叫做哥級(jí)數(shù)的系數(shù)例如一下級(jí)數(shù) TOC o 1-5 h z ,23n1xxxx.1o1xx2xn,2!n!注：哥級(jí)數(shù)的一般形式是aoa1（x-xo）a2（xo）2-an（xxo）n.經(jīng)變換tRo就得ao%1t珀2t2+.，Wntn+，.哥級(jí)數(shù)Y23n1xxxx，：可以看成是公比為x的幾何級(jí)數(shù).當(dāng)岡1時(shí)它是收斂的；當(dāng)x|劌時(shí).它是發(fā)散的,因此

25、它的收斂域?yàn)椋?.1）,在收斂域內(nèi)有上=1xx2x3一-xn,1-x由此例可得：QO定理1（阿貝爾定理）如果級(jí)數(shù)勺anxn當(dāng)x=xo（xo加）時(shí)收斂.則適合不等式qQ|x|二|anx0n即（n=0,1,2,）.oO這樣級(jí)數(shù)anxn的的一般項(xiàng)的絕對(duì)值n=0n|anxnHanxn一|=|anxS|XM產(chǎn)|nxx0 x0因?yàn)楫?dāng)岡皿時(shí).等比級(jí)數(shù)MM產(chǎn)1n收斂.所以級(jí)數(shù)工|anxn|收斂.n力x0n=0qQ也就是級(jí)數(shù)Zanxn絕對(duì)收斂.n=0定理的第二部分可用反證法證明.倘若哥級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)發(fā)散而有一點(diǎn)x1適合|x1|x0|使級(jí)數(shù)收斂.則根據(jù)本定理的第一部分.級(jí)數(shù)當(dāng)x=x0時(shí)應(yīng)收斂.這與所設(shè)矛盾.定理

26、得證.CO推論如果級(jí)數(shù)Sanxn不是僅在點(diǎn)x=0一點(diǎn)收斂.也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂.則必有一個(gè)完全n=0確定的正數(shù)R存在.使得當(dāng)|x|R時(shí).哥級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；當(dāng)|x|火時(shí).哥級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)x田與x-R時(shí).哥級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散,qQ收斂半徑與收斂區(qū)間：正數(shù)r通常叫做哥級(jí)數(shù)ananxn的收斂半徑開區(qū)間（-RR）叫做哥級(jí)數(shù)n=0qQqQanxn的收斂區(qū)間再由哥級(jí)數(shù)在xR處的收斂性就可以決定它的收斂域哥級(jí)數(shù)fanxnn=0nd0的收斂域是（-R,R）（或-R,R）、（R,R、-R,R之一,qQqQ規(guī)定：若哥級(jí)數(shù)：fanxn只在x田收斂.則規(guī)定收斂半徑R=0,若哥級(jí)數(shù)Zanxn對(duì)一切x都收斂.n=0n-

27、0則規(guī)定收斂半徑R*這時(shí)收斂域?yàn)椋╭,收）,關(guān)于哥級(jí)數(shù)的收斂半徑求法，有下列定理：定理2如果lim|gn|=P.其中an、an由是哥級(jí)數(shù)fanxn的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù).n，二annJ則這哥級(jí)數(shù)的收斂半徑+0P=0R=4-1P=00P=+=caxn1a一簡(jiǎn)要證明lim|n|二lim|亙|x|二|x|,nanxnnan1（1）如果0Pg.則只當(dāng)取|：1n所以收斂半徑為R=1=1.當(dāng)xM時(shí).哥級(jí)數(shù)成為（-1）n41.是收斂的；n=1n當(dāng)x，時(shí).哥級(jí)數(shù)成為().是發(fā)散的,因此.收斂域?yàn)?-1,11,nn二1c例2求哥級(jí)數(shù)11xnn=on!1+x+x2+-X3+xn十，的收斂域,23n!1_解因?yàn)镻=lim

28、lan11=lim(n.1)!=limn!-=0.nann二n二(n1)!n!所以收斂半徑為R3,從而收斂域?yàn)?q,代).oO例3求哥級(jí)數(shù)Zn!xn的收斂半徑,n=0解因?yàn)?nl(n1)!.=lim1HAi=lim=n一ann:n!所以收斂半徑為R斗,即級(jí)數(shù)僅在xV處收斂.例4求哥級(jí)數(shù)0萼x2n的收斂半徑n以n!)2解級(jí)數(shù)缺少奇次哥的項(xiàng).定理2不能應(yīng)用.可根據(jù)比值審斂法來(lái)求收斂半徑：哥級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)記為Un(x)=空x2n.n，(n!)2因?yàn)閘im|un4(|=4岡2.n-:Un(x)1o11當(dāng)4x2即岡時(shí)級(jí)數(shù)收斂；當(dāng)4|x|21即|x|72時(shí)級(jí)數(shù)發(fā)散.所以收斂半徑為R-22.提示Un 1提示U

29、n 1僅)Un(x)2(n 1)!x2(n 1)(n 1)!2(2n)!x2n(n!)2_(2n 2)(2n 1) 2(n 1)2-：(x-1)n,例5求哥級(jí)數(shù)(n)的收斂域.nW2nnn解令t=K-1.上述級(jí)數(shù)變?yōu)閆2nn因?yàn)閘im|-二因?yàn)閘im|-二an2n n2n 1 (n 1)所以收斂半徑R二,二1二(_1)當(dāng)tJ時(shí).級(jí)數(shù)成為1-.此級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)t-2時(shí).級(jí)數(shù)成為Z.此級(jí)數(shù)收斂,nnn-1nn因此級(jí)數(shù)二一的收斂域?yàn)槎?2因?yàn)?)_12.即_1勺3.n42nn所以原級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1,3).三、騫級(jí)數(shù)的運(yùn)算設(shè)備級(jí)數(shù)匯anxn及匯bnxn分別在區(qū)間(-R,R)及(R,R)內(nèi)收斂.則在(-

30、R,R)與(-R*R)中較小的區(qū)間內(nèi)有加法：E3nXn+Ebnxn封(an叱n)xn. TOC o 1-5 h z 減法：E3nxn-Ebnxn=E(an-bn)xn,00oO乘法(Z：anxn)(.二bnxn)=aobo(aobiaibo)x(aob2aibia2bo)x-(aobnabn_i-anbo)xn,nOnOqo、anxn除法：=Cnxnbnxnn=0這里假定bo #0這里假定bo #0。為了決定系數(shù) g ,可以將Zbnxn與zcnxn相乘，然后比較n=0n=0qQ與Zanxn的同次塞項(xiàng)系數(shù)得出。n=0關(guān)于哥級(jí)數(shù)，有以下的重要性質(zhì)oO性質(zhì)1哥級(jí)數(shù)Zanxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域

31、I上連續(xù).n=0如果哥級(jí)數(shù)在x京(或x=R)也收斂.則和函數(shù)s(x)在(-R,R(或-R,R)連續(xù),qQ性質(zhì)2哥級(jí)數(shù)Zanxn的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積并且有逐項(xiàng)積分公式n=0(xs(x)dx=；(.anxn)dx=、:anxndx=-an-xn1(xI)n=0n=0n=0n1逐項(xiàng)積分后所得到的哥級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑qQ性質(zhì)3哥級(jí)數(shù)Zanxn的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-RR)內(nèi)可導(dǎo)并且有逐項(xiàng)求導(dǎo)公式n=0s(x)(Canxn)=y(azn)-nanxn(|x|R)n=0n=0n=1逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的哥級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑例6求哥級(jí)數(shù)：f xn的和函數(shù)n=on 1解

32、求得哥級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?11)設(shè)和函數(shù)為s(x),即s(x) = Z 逐項(xiàng)求導(dǎo)后所得到的哥級(jí)數(shù)和原級(jí)數(shù)有相同的收斂半徑例6求哥級(jí)數(shù)：f xn的和函數(shù)n=on 1解 求得哥級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?11)設(shè)和函數(shù)為s(x),即s(x) = Z xn n =0n 1x三一11)顯然 s(0)=1 ,二 1在 xs(x)xn 1n zz0n 1的兩邊求導(dǎo)得xs(x) 工n =0 n 1xn 1)= xnn =0_ 11 -x對(duì)上式從0到x積分.得xs(x)=；11xdx = -ln(1-x) 1是.當(dāng) x 加時(shí).有 s(x) =-ln(1-x),從而 s(x) = x1-1ln(1-x) 0；|x卜1 xx =

33、0qQ因?yàn)?xs(x) = Jn=01 xn 1,x=T二馬xnTdxn =0n 1二:二 xndx = ：dx = -ln(1 -x). 0n0 1 -x所以.當(dāng) x0 時(shí).有s(x) = 1ln(1x). x從而s(x)=-ln(1 -x) x10：岡二1x =0提示應(yīng)用公式0 xF(x)dx=F(x)F(0)即F(x)=F(0)+jxF(x)dx上=1xx2x3+xn,1-x(1)n一例7求級(jí)數(shù)工匕)7的和.n=0n11解考慮哥級(jí)數(shù)Z-xn.此級(jí)數(shù)在T,1)上收斂.設(shè)其和nn1二(-1)n函數(shù)為s(x).則s(1)=工AL即哆n=0n即哆在例6中已得到xs(x)=ln(1r).于是-s(

34、-1)=ln2.s(1)=ln不4函數(shù)展開成哥級(jí)數(shù)一、教學(xué)目的與要求：.了解函數(shù)展開為泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件。.會(huì)利用基本初等函數(shù)的麥克勞林展開式將一些簡(jiǎn)單的函數(shù)間接展開成哥級(jí)數(shù)。二、重點(diǎn)(難點(diǎn))：初等函數(shù)展成泰勒級(jí)數(shù)三、教學(xué)方式：講授式教學(xué)結(jié)合多媒體講授內(nèi)容：一、泰勒級(jí)數(shù)問(wèn)題：給定函數(shù)f(x).要考慮它是否能在某個(gè)區(qū)間內(nèi)“展開成哥級(jí)數(shù)”.就是說(shuō).是否能找到這樣一個(gè)哥級(jí)數(shù).它在某區(qū)間內(nèi)收斂.且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x).如果能找到這樣的哥級(jí)數(shù).我們就說(shuō).函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成哥級(jí)數(shù).或簡(jiǎn)單地說(shuō)函數(shù)f(x)能展開成哥級(jí)數(shù).而該級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達(dá)了函數(shù)f(x).以前學(xué)過(guò)泰勒多項(xiàng)式：

35、如果f(x)在點(diǎn)xo的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù).則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于f(x)=f(x0)f(x0)(x-x0)-f2xo)(x-x0)2f()(x0)(x-x0)nRn(x).n!f(n1)()其中Rn(x)=(x-x0)n41(次于x與x0之間(n1)!泰勒級(jí)數(shù)：如果f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù)f(x)f(x).f(n)(x).則當(dāng)n4時(shí).f(x)在點(diǎn)x0的泰勒多項(xiàng)式Pn(x)=f(x0)f(xo)(x刈)f(x0)(x-x0)2f7x)(x-x0)n2!n!成為哥級(jí)數(shù)f(X0)f(Xo)(xXo)f(x0)(xX0)2fx0)(xX0)3-(X0)(x-xo)n2!3!n!這

36、一哥級(jí)數(shù)稱為函數(shù)f(X)的泰勒級(jí)數(shù),顯然.當(dāng)X4o時(shí)(X)的泰勒級(jí)數(shù)收斂于f(X0),但是除了XT0外(X)的泰勒級(jí)數(shù)是否收斂？如果收斂.它是否一定收斂于f(X)?對(duì)此，有以下定理：定理設(shè)函數(shù)f(X)在點(diǎn)X0的某一鄰域U(Xo)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù).則f(X)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級(jí)數(shù)的充分必要條件是f(X)的泰勒公式中的余項(xiàng)Rn(X)當(dāng)0時(shí)的極限為零.即limRn(X)=0(xU(Xo).ni二二證明先證必要性，設(shè)f(x)在U(xo)內(nèi)能展開為泰勒級(jí)數(shù).即f(x)Cf(n)(x)f(x)=f(Xo)f(Xo)(X-Xo)(x-Xo)2-(x-Xo).2!n!又設(shè)Sn4(x)是f(x)的泰勒級(jí)數(shù)的前

37、ny項(xiàng)的和.則在U(xo)內(nèi)sn由(x)tf(x)(n-),而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=Sn+(x)+Rn(x),于是Rn(x)T(x)-Sn+(x)T。(n*).是 Sn l(x)=f(x)Rn(x)f(x).再證充分性，設(shè)Rn(x)To(n是 Sn l(x)=f(x)Rn(x)f(x).因?yàn)閒(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=Sn+(x)+Rn(x).于即f(x)的泰勒級(jí)數(shù)在U(Xo)內(nèi)收斂.并且收斂于f(x).在泰勒級(jí)數(shù)中取xo=o.得f(o) f (o)xf_ .xn .f(o) f (o)xf_ .xn .2!n!此級(jí)數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù).展開式的唯一性：如果f

38、(x)能展開成X的哥級(jí)數(shù).那么這種展式是唯一的.它一定與f(x)的麥克勞林這是因?yàn)?如果f(x)在點(diǎn)xo=o的某鄰域(-R.R)內(nèi)能展開成x的哥級(jí)數(shù).即f(x)=aoaixa2X2-anxn上那么根據(jù)哥級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo).有2一_n1f(x)=ai2a2X3a3Xnanx:f(x)=2!a232a3X，n(nT)anxn，f(x)-3!a3:!，:!n(n-1)(n-2)anxn3f(n)(x)=n!an(n1)n(n-1)-2anix,于是得f(o)f(n)(o)aof(o).aid(o).a2=-an=2!n!注意：如果f(x)能展開成X的哥級(jí)數(shù).那么這個(gè)哥級(jí)數(shù)就是f(x)的麥克

39、勞林級(jí)數(shù)，但是.反過(guò)來(lái)如果f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)在點(diǎn)xo4的某鄰域內(nèi)收斂.它卻不一定收斂于f(x),因此.如果f(x)在點(diǎn)xo=0處具有各階導(dǎo)數(shù).則f(x)的麥克勞林級(jí)數(shù)雖然能作出來(lái).但這個(gè)級(jí)數(shù)是否在某個(gè)區(qū)間內(nèi)收斂.以及是否收斂于f(x)卻需要進(jìn)一步考察,二、函數(shù)展開成哥級(jí)數(shù)展開步驟第一步求出f(x)的各階導(dǎo)數(shù)：(x)(x).,f(n)(x).,第一步第二步求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0處的值：f(0)f(0)f(0).-f(n)(0).第三步寫出嘉級(jí)數(shù) TOC o 1-5 h z f(0)f(0)xf20)x2八0并求出收斂半徑R.第四步考察在區(qū)間(-R,R)內(nèi)時(shí)是否Rn(xZ0(n), HYP

40、ERLINK l bookmark164 o Current Document f(n1)(,)1nmEnm1可xn是否為零.如果Rn(x)T0(n).則f(x)在(-R.R)內(nèi)有展開式f (x) = f (0) f (0)x =0)x22f (x) = f (0) f (0)x =0)x22f (0)n!xn(-RxR).例1將函數(shù)f(x)=ex展開成x的哥級(jí)數(shù).解所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為f(n)(x)=ex(n=1.2,-).因此f(n)(0)=1(n=1.2.),于是得級(jí)數(shù)2!n!1x4：x22xn2!n!它的收斂半徑R=,對(duì)于任何有限的數(shù)|Rn(xx對(duì)于任何有限的數(shù)|Rn(xx、e(n 1

41、)!-(:介于0與x之間).有n 1.|x| |x 1nlx | ；e| 11 (n 1)!一.lxln1而im=0.所以hmiRn(x)i=0.從而有展開式n(n1)!nnex=1xx21xn(-二:x:二),2!n!例2將函數(shù)f(x)=sinx展開成x的哥級(jí)數(shù),解因?yàn)閒(n)(x)=sin(x+n5)(ng.2.).所以f(n)(0)順序循環(huán)地取0.1.01,(n=0.1.2.3).于是得級(jí)數(shù)x_X3x5,.(_1尸x2.3!5!(2n-1)!它的收斂半徑為R=-；對(duì)于任何有限的數(shù)x、t(階于。與x之間).有sin?1-兇ni(nJX|S，0()因此得展開式3535sin x =x 3!5!(-