柯西不等式在高考中的運用1

1、等號成立條件：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪l件：當(dāng)且僅當(dāng)時?？挛鞑坏仁剑?1)二維形式bdbd公式變形：bdbd（2）一般形式bd，bbbb,bb,b,ib,iii等號成立條件：n，或,b中有一為零。ibbbiin（3）柯西不等式的三角形式bd設(shè),b,d都是實數(shù)，則bdbd.從題型上來分，柯西不等式可用于不等證明問題和最值問題兩大類。其中不等證明問題可細分為分式和不等式證明問題、整式和不等式證明問題；最值問題又可進一步細分為多元變量代數(shù)式的最值問題和一元變量的最值問題。1、求最值問題（1）求多元變量代數(shù)式的最值求多元變量代數(shù)式的最小值時，可考慮多元變量代數(shù)式放置在柯西不等式的左邊；當(dāng)求多元變量代數(shù)式的最大

2、值時，可考慮多元變量代數(shù)式放置在柯西不等式的右邊。6例（2012高考浙江卷文科第9,滿足，則6的最小值是（）。B.B.A.D.6解：由解：由，得（*）（*）即即，所以，且時，mb時等號成立。所以的最小值是5，故選C.例7（2014年高考陜西卷理科第15題）設(shè),b,m,且bmand，則mn的最小值為。解：由柯西不等式，得bmmanb即mn.所以mn，當(dāng)且僅當(dāng)所以mn的最小值是。例8（2013高考湖南卷理科第10題）已知,b,b，則b的最小值為。解：由柯西不等式得bb，即b，當(dāng)且僅當(dāng)b時等號成立，即，即b時取最小值12.例9（2011年高考浙江卷理科第16題）設(shè),，則的最大值是。，即.解：由，即.

3、由柯西不等式，得由柯西不等式，得，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號。即，所以.A.A.,時，所以,例10（2011bb，則）bB.4C.D.5解：由式子知，故選C。bbb7.（2013高考陜西）已知,b,m,均為正數(shù)，且bmn，則ambnbm的最小值為.【答案】2【解析】由柯西不等式可得ambnbmambmbnmnb1.【2013,b,b，則b的最小值為.【答案】12【解析】bbb且當(dāng)b時，取最小值為12.【考點】柯西不等式.1.【2015成都月考】對于，當(dāng)非零實數(shù),b滿足b且使b最大時，的最小值為.b【答案】【解析】由題可知：bb，bbbbb即b，當(dāng)且僅當(dāng)，即b（同號）時，b取得最大值，此時，b當(dāng)且僅當(dāng),

4、b,時，取最小值。b（2）求一個變量的最值例10.（2014年高考浙江卷文科第16題）已知實數(shù),b,滿足b，b，則a的最大值是。b解：由b，b得b由柯西不等式，得bb.（*）（*）將（*）式帶入（*）式得，解得經(jīng)驗證，當(dāng)b時，.所以a的最大值是。.評注求一個變量的最值的主要方法是將目標(biāo)變量分離出來，然后利用柯西不等式建立目標(biāo)變量的不等式，進而解不等式獲得該變量的最值。1.函數(shù)的最大值。解析：由柯西不等式得【變式】2015江蘇易大聯(lián)考】求函數(shù)：最大值.【解析】易求得原函數(shù)的定義域為，即時等號成立，所以.故函數(shù)：最大值為。（2015陜西卷文-24.選修4-5：不等式選講）【原題】已知關(guān)于的不等式b

5、的解集為（）求實數(shù),b的值；例4（2008年全國卷理科）若直線過點M，則（）.（）求的最大值例4（2008年全國卷理科）若直線過點M，則（）.2、不等式證明問題b.b.bC.bb解由柯西不等式，得解由柯西不等式，得.bb又點M在直線上，即，bbb，即例1（2013年高考文科24題第2小題）設(shè),b,b.b證明：.bb證明由柯西不等式，得bbbb代入b，得b例2（2009年高考浙江卷）已知正數(shù),.證明：.證明由柯西不等式，得.評注從例1和例2可以看出，對于分式和不等式的證明，可以考慮給該分和配上一個由各個分式的分母的和構(gòu)成的因式。例3（2008,b,bbbb.bbbb即b即bb.（*）bb，即，即

6、b.bb結(jié)合（*）式，得bbb評注當(dāng)使用一次柯西不等式后無法得到結(jié)果時，可考慮再次應(yīng)用柯西不等式.例5（2013年高考浙江卷，自選模塊）設(shè)正數(shù),b,滿足b，求證，并給出等號成立的條件.由柯西不等式，得證明由柯西不等式，得即，.當(dāng)且僅當(dāng)時，即,b時，等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)時，即,b時，等號成立.代入b，得.即等號成立的條件是b.b（【試題解析】）由b，得bb則b（b（當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，故（3）在其他題型中的運用例5（湖北卷，理9）已知F,F是橢圓和雙曲線的公共焦點，是它們的一個FPF）A.B.C.3.D.2.解不妨設(shè)橢圓方程為bb，其離心率為e，雙曲線方程為mm，其離心率為e，兩曲線的公共點在第

7、一象限，PFd，PFd，F(xiàn)F，則ddddmdddd可得m，即ee由柯西不等式得由柯西不等式得eeeee，eee當(dāng)且僅當(dāng)e,e時等號成立，故ee的最大值為eee，從而選A。評注：此題可以轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題求解，但是不易想到，很靈活，且計算量較大。由此我們可以看出，在解題中若能善于利用柯西不等式，有時會非常簡捷。,例11.設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點，是它的兩個頂點，直線,與相交于點，與橢圓相交于E,F兩點.求四邊形AEBF面積的最大值.解析：，4所示，由橢圓的對稱性易知四邊形AEBF的面積等于四邊形的面積的兩倍.設(shè)點F,，所以四邊形AEBF面積.由柯西不等式的變式公式，得OBF，當(dāng)且僅當(dāng)，注意到且，即時上式取等號.故四邊形AEBF面積最大值為.點評：觀察目標(biāo)函數(shù)變形為以便于利用柯西不等式的變形公式.利用柯西不等式的變形公式是求解問題的關(guān)鍵，敬請讀者細細品味和充分領(lǐng)悟。（3）柯西不等式的三角形式設(shè),b,d都是實數(shù)，則bdbdbd助三角形任意兩邊和大于第三邊加以理解。下面談?wù)勥@一形式在解題中的應(yīng)用。例4.求函數(shù)的最小值。解析：由bdbdbd，得，點評：在應(yīng)用三角形式求最小值時，我們要注意兩點：在使用公式過程中，要能夠抵消變量；要盡可能的使定值最大。比如本題若變成雖然產(chǎn)生結(jié)論，但“2”并不是最小值。例5.求函數(shù)的最大值；解