D10.4重積分的應(yīng)用課件

1、第四節(jié)一、曲面的面積 二、物體的質(zhì)心 三、物體的轉(zhuǎn)動慣量 四、物體的引力 重積分的應(yīng)用 第十章 1. 能用重積分解決的實(shí)際問題的特點(diǎn):所求量是 對區(qū)域具有可加性 用微元分析法 (元素法)建立積分式 分布在有界閉域上的整體量 3. 解題要點(diǎn):畫出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、 定出積分限、計算要簡便 2. 用重積分解決問題的方法: 回顧、立體體積 曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面則其體積為 占有空間有界域 的立體的體積為一、曲面的面積設(shè)光滑曲面則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn)處小切平面的面積 d A 無限積累而成. 設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素)則故有曲面面積公式若光滑曲面方程為則有即直角坐

2、標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系其中適用范圍:1) 積分域表面為球面（或一部分） ;2) 被積函數(shù)含一、曲面的面積故有曲面面積公式即例2 求半徑為的球的表面積。解上半球面的方程：所求曲面面積在積分區(qū)域上是無界的設(shè)作一個小閉區(qū)域分布在上的那部分球面面積為解設(shè)第一卦限部分的面積為 A1 ，則由對稱性，所求的面積為二、物體的質(zhì)心設(shè)平面有n個質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo)分別位于為為？若物體為占有xOy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度 若物體為占有xOy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,( A 為D 的面積)得D 的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度 對 x 軸的 靜矩 對 y 軸的

3、靜矩若 為空間物體，則質(zhì)心則得形心坐標(biāo)：例3. 求位于兩圓和的質(zhì)心. 解: 利用對稱性可知而之間均勻薄片 解 取半球體的對稱軸為 軸，原點(diǎn)取在 球心上，設(shè)球的半徑為 .利用球面坐標(biāo)計算三重積分 其中適用范圍:1) 積分域表面為球面（或一部分） ;2) 被積函數(shù)含1、曲面的面積重積分的應(yīng)用 2、物體的質(zhì)心得D 的形心坐標(biāo):( A 為D 的面積)(1)平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量三 轉(zhuǎn)動慣量. （2）物體的轉(zhuǎn)動慣量設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù)該物體位于(x , y , z) 處的微元 因此物體 對 z 軸 的轉(zhuǎn)動慣量:對 x 軸的轉(zhuǎn)動慣量為 因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量之和, 故

4、連續(xù)體的轉(zhuǎn)動慣量可用積分計算. yz類似可得:對 y 軸的轉(zhuǎn)動慣量對 z 軸的轉(zhuǎn)動慣量解: 取球心為原點(diǎn), z 軸為 l 軸,則球體的質(zhì)量例6.求密度為 的均勻球體對于過球心的一條軸 l 的設(shè)球所占 域?yàn)?用球坐標(biāo)) 轉(zhuǎn)動慣量. ,G 為引力常數(shù)四、物體的引力設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,物體對位于點(diǎn)P0(x0, y0, z0)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力為其密度函數(shù)引力元素在三坐標(biāo)軸上分量為其中若求 xOy 面上的平面薄片D,對點(diǎn)P0處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力分量, 因此引力分量為 則上式改為D上的二重積分, 密度函數(shù)改為 即可. 例如, 其中: 例7.設(shè)面密度為 ,半徑為R的圓形薄片求它對位于點(diǎn)解: 由對稱性知引力處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. 。例10. 求半徑為R的均勻球?qū)ξ挥诘膯挝毁|(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.解: 利用對稱性知引力分量點(diǎn)為球的質(zhì)量作業(yè)P175 1 3習(xí)題課 ( t 為時間) 的雪堆在融化過程中,其側(cè)面滿足方程設(shè)長度單位為厘米, 時間單位為小時, 設(shè)有一高度為已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比(比例系數(shù) 0.9 ),問高度為130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小時? (2001考研)備用