高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)32

1、14. 導(dǎo) 數(shù) 學(xué)問要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念 導(dǎo)數(shù)的幾何意義、 物理意義導(dǎo)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法就函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 函數(shù)的極值函數(shù)的最值1. 導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱） 的定義： 設(shè)x 是函數(shù)yfx定義域的一點(diǎn), 假如自變量x 在x 處x0fx 0.有 增 量x , 就 函 數(shù) 值y 也 引 起 相 應(yīng) 的 增 量yfx0 xfx0； 比 值yfx0 xfx0稱為函數(shù)yfx在點(diǎn)x 到x0 x之間的平均變化率；假如極限xxlim x0ylim x0fx 0 x fx 0存在, 就稱函數(shù)yfx在點(diǎn)x 處可導(dǎo), 并把這個(gè)極限叫做xxyfx在x 處的導(dǎo)數(shù), 記作 0f x 0或y|xx 0,即f

2、 x 0=lim x0ylim x 0fx0 x fx0. xx注：x 是增量,我們也稱為“轉(zhuǎn)變量 ”,由于x 可正,可負(fù),但不為零. 以知函數(shù)yfx定義域?yàn)?A ,yf x的定義域?yàn)锽 ,就 A 與 B 關(guān)系為AB. 2. 函數(shù)yfx在點(diǎn)x 處連續(xù)與點(diǎn) 0 x 處可導(dǎo)的關(guān)系：0函數(shù)yfx 在點(diǎn)x 處連續(xù)是yfx在點(diǎn)x 處可導(dǎo)的必要不充分條件. 可以證明,假如yfx在點(diǎn)x 處可導(dǎo),那么 0yfx點(diǎn)x 處連續(xù) . 0事實(shí)上,令xx0 x,就xx0相當(dāng)于x0. 于是lim x x 0fxlim x0fx 0 xlim x 0fxx0fx0fx 0lim x 0fx0 xfx 0 xfx0lim x

3、 0fx0 x fx0lim x0lim x0fx0fx00fxx假如yfx 點(diǎn)x 處連續(xù),那么yf x 在點(diǎn)x 處可導(dǎo),是不成立的. 例：fx|x|在點(diǎn)x00處連續(xù),但在點(diǎn)x00處不行導(dǎo),由于y|x|,當(dāng)x 0 時(shí),xxy1；當(dāng)x 0 時(shí),y1,故lim x0y不存在 . xxx注：可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù). 可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù). 3. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：fx處的切線的斜率,函數(shù)yfx 在點(diǎn)x 處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線 0yfx 在點(diǎn)x 0,也 就 是 說 , 曲 線yfx 在 點(diǎn) Px 0,fx 處 的 切 線 的 斜 率 是f x0, 切 線 方 程 為yy0fxx

4、x0.4. 求導(dǎo)數(shù)的四就運(yùn)算法就： u v u v y f 1 x f 2 x . f n x y f 1 x f 2 x . f n x uv vu v u cv c v cv cv（ c 為常數(shù)） u vu v uv v 2 v 0 注： u, v 必需是可導(dǎo)函數(shù) . 如兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo),就它們和、 差、積、商必可導(dǎo)； 如兩個(gè)函數(shù)均不行導(dǎo),就它們的和、 差、積、商不愿定不行導(dǎo) . 例如：設(shè) f x 2 sin x 2,g x cos x 2,就 f x , g x 在 x 0 處均不行導(dǎo),但它們和x xf x g x sin x cos x 在 x 0 處均可導(dǎo) . 5. 復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法就：

5、f x x f u x 或 y x y u u x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法就可推廣到多個(gè)中間變量的情形 . 6. 函數(shù)單調(diào)性：函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yfx在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 假如f x0,就yfx為增函數(shù)；假如f x0,就yfx為減函數(shù) . 常數(shù)的判定方法；假如函數(shù)y0fx在區(qū)間 I 內(nèi)恒有f x =0,就yfx 為常數(shù) . y2x3在,上并不是注：fx0是 f（x）遞增的充分條件,但不是必要條件,如都有fx ,有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0 時(shí) f（x） = 0,同樣fx0是 f（x）遞減的充分非必要條件 . 一般地, 假如 f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零,在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)）,那么 f（ x）在

6、該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)削減）的 . 7. 極值的判別方法： （極值是在 x 鄰近全部的點(diǎn), 都有 f x f x 0 ,就 f x 0 是函數(shù) f x 的極大值,微小值同理）當(dāng)函數(shù)fx在點(diǎn)x 處連續(xù)時(shí),f x 0,那么fx0是極大值；假如在x 鄰近的左側(cè)f x 0,右側(cè)假如在x 鄰近的左側(cè)f x 0,右側(cè)f x 0,那么fx0是微小值 . 也就是說x 是極值點(diǎn)的充分條件是x 點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào),而不是f x =0. 此外,函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn) .當(dāng)然,極值是一個(gè)局部概念,極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的,即有可能極大值比微小值?。ê瘮?shù)在某一點(diǎn)鄰近的點(diǎn)不同）. 注：如點(diǎn) x 是可導(dǎo)函

7、數(shù) 0 f x 的極值點(diǎn),就 f x =0. 但反過來不愿定成立 . 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),其一點(diǎn) x 是極值點(diǎn)的必要條件是如函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo),就導(dǎo)數(shù)值為零 . 例如：函數(shù) y f x x 3,x 0 使 f x =0,但 x 0 不是極值點(diǎn) . 例如：函數(shù) y f x | x |,在點(diǎn) x 0 處不行導(dǎo),但點(diǎn) x 0 是函數(shù)的微小值點(diǎn) . 8. 極值與最值的區(qū)分：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較,最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較 . 注：函數(shù)的極值點(diǎn)確定有意義 . 9. 幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：I.C0（ C 為常數(shù)）R）sinx cosxxarcsinxx 1x2x21cosx sinarccosxnnx

8、n1（n11II. lnx 1logax1logaearctanxx 111x2xx axaarccotexexxlna1x2III. 求導(dǎo)的常見方法：常用結(jié)論：ln|x|a21 x. xan或yxa1xa 2.xa n兩邊同取自然對(duì)數(shù),可轉(zhuǎn)化形如yxa 1x.xb 1xb 2.xb n求代數(shù)和形式 . 無理函數(shù)或形如xyxx這類函數(shù),如yxx取自然對(duì)數(shù)之后可變形為lnyxlnx,對(duì)兩邊求導(dǎo)可得ylnx1yylnxyyxxlnxxx. yx導(dǎo)數(shù)學(xué)問點(diǎn)總結(jié)復(fù)習(xí)經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一：求導(dǎo)公式；例 1. f x是f x 1x32 x1的導(dǎo)函數(shù),就f 1的值是；3考點(diǎn)二：導(dǎo)數(shù)的幾何意義；例2. 已 知

9、函 數(shù)yx2f x 的 圖 象 在 點(diǎn)M1,f1處 的 切 線 方 程 是y1x2, 就2f1f124x；例 3.曲線yx32在點(diǎn) 1,3處的切線方程是；點(diǎn)評(píng)：以上兩小題均是對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查；考點(diǎn)三：導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用；例 4.已知曲線C：yx33 x22x,直線l :ykx,且直線l 與曲線C 相切于點(diǎn)x0, y00 x0,求直線 l 的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)；“切點(diǎn)既在曲線上又在切點(diǎn)評(píng)：本小題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義的應(yīng)用；解決此類問題時(shí)應(yīng)留意線上 ”這個(gè)條件的應(yīng)用；函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)是相應(yīng)曲線上過該點(diǎn)存在切線的充分條件,而不是必要條件；考點(diǎn)四：函數(shù)的單調(diào)性；例 5.已知 f x ax 3 3 x 2

10、x 1 在 R 上是減函數(shù),求 a 的取值范點(diǎn)評(píng)： 此題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用；對(duì)于高次函數(shù)單調(diào)性問題,要有求導(dǎo)意識(shí)；考點(diǎn)五：函數(shù)的極值；例 6. 設(shè)函數(shù)f x 2x33 ax23 bx8 c 在x1及x2時(shí)取得極值；（1）求 a、b 的值；（2）如對(duì)于任意的x0 3, ,都有f x 2 c 成立,求 c 的取值范疇；f x在各點(diǎn)評(píng)：此題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；求可導(dǎo)函數(shù)fx的極值步驟：求導(dǎo)數(shù)f x；求f x0的根； 將f x0的根在數(shù)軸上標(biāo)出,得出單調(diào)區(qū)間,由區(qū)間上取值的正負(fù)可確定并求出函數(shù)fx的極值；考點(diǎn)六：函數(shù)的最值；例 7. 已知 a 為實(shí)數(shù),f x x 24 x a；求導(dǎo)數(shù) f x；（2）如 f 1 0,求 f x在區(qū)間 2 , 2 上的最大值和最小值；點(diǎn)評(píng)： 此題考查可導(dǎo)函數(shù)最值的求法；求可導(dǎo)函數(shù) f x 在區(qū)間 a, b 上的最值, 要先求出函數(shù) f x 在區(qū)間 a, b 上的極值,然后與 f a 和 f b 進(jìn)行比較,從而得出函數(shù)的最大最小值；考點(diǎn)七：導(dǎo)數(shù)的綜合性問題；例 8. 設(shè)函數(shù)f