高中數(shù)學(xué)幾類不同增長的函數(shù)模型教案新人教A版

1、3.2.1 幾類不同增長的函數(shù)模型 教學(xué)目標(biāo)：1借助運算器或運算機(jī)制作數(shù)據(jù)表格和函數(shù)圖像,對幾種常見的函數(shù)類型的增長情形進(jìn)行比較,在 實際應(yīng)用的背景中懂得直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的差異；2通過對投資方案的挑選,學(xué)會利用數(shù)據(jù)表格和函數(shù)圖像分析問題和解決問題；引導(dǎo)同學(xué)充分體驗將實際問題“ 數(shù)學(xué)化” 解決的過程,從而懂得“ 數(shù)學(xué)建?！?的思想方法解決問題的有效性；3勉勵同學(xué)收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、 對數(shù)函數(shù)、 冪函數(shù)、 分段函數(shù)等） ,體驗函數(shù)是描述宏觀世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型,從而培育學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愛好；教學(xué)重點：將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型,比較常數(shù)函數(shù)、

2、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異,結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義教學(xué)難點 ：如何挑選和利用不同函數(shù)模型增長差異性分析解決實際問題；技術(shù)手段： 運算機(jī)幫助教學(xué)；教學(xué)方法： 啟示探究式；教學(xué)過程一、創(chuàng)設(shè)情境,引入課題（1）先看一張圖片,這是什么動物？（2）關(guān)于兔子有這樣一段故事：1859 年,有人從歐洲帶進(jìn)澳洲幾只兔子,由于澳洲有茂密的牧草, 而且沒有兔子的天敵,兔子數(shù)量不斷增加, 不到 100 年,兔子們占據(jù)了整個澳大利亞,數(shù)量達(dá)到 75 億只（3）請看畫面；（4）可愛的兔子變得厭惡起來,75 億只兔子吃掉了相當(dāng)于75 億只羊所吃的牧草,草原的載畜率大

3、大降低,而牛羊是澳大利亞的主要牲口這使澳大利亞頭痛不已,他們采納各種方法毀滅這些兔子,直至二十世紀(jì)五十歲月,科學(xué)家采納載液瘤病毒殺死了百分之九十的野兔,澳大利亞人才算松了一口氣（5）一般而言,在抱負(fù)條件（食物或養(yǎng)料充分,空間條件充裕,氣候相宜,沒有敵害等）下,種群在肯定時期內(nèi)的增長大致符合“J” 型曲線；在有限環(huán)境（空間有限,食物有限,有捕食者存在等）中,種群增長到肯定程度后不增長,曲線呈“述后期的增長 . S” 型可用指數(shù)函數(shù)描述一個種群的前期增長,用對數(shù)函數(shù)描（6）生活中的增長現(xiàn)象比比皆是,在我們學(xué)過的函數(shù)中也有很多成增長形狀進(jìn)展的；因此爭論不同 增長函數(shù)模型是特別必要的；二、組織引導(dǎo),合

4、作探究例 1假設(shè)你有一筆資金用于投資,現(xiàn)有三種投資方案供你挑選,這三種方案的回報如下：方案一：每天回報40 元；10 元；方案二：第一天回報10 元,以后每天比前一天多回報方案三：第一天回報 0 .4 元,以后每天的回報比前一天翻一番請問,你會挑選哪種投資方案？【問題 1】挑選正確投資方案的原就是什么？預(yù)案一：誰的回報多；（有條件限制嗎？回報指的是什么是每天回報仍是總回報）預(yù)案二：相同條件下,誰的回報多；（相同條件指的是什么？）答案：從第一天起,相同時間內(nèi)哪一個方案的累計回報數(shù)（總回報數(shù)）多,就選哪一個方案；【問題 2】此題中涉及哪些數(shù)量關(guān)系. 如何利用函數(shù)描述這些數(shù)量關(guān)系. 預(yù)案一： 總回報

5、數(shù)與天數(shù)的關(guān)系；設(shè)總回報數(shù)為y 元,投資天數(shù)為x 就方案一： y=40 xx N* ；方案二：y101223LLx2x101x x5x25x；2方案三：y0.4141；請同學(xué)課下進(jìn)一步探究；預(yù)案二： 每天回報數(shù)與投資天數(shù)之間的關(guān)系；設(shè)第 x 天所得回報是y 元, 就 方案一可用函數(shù)y=40 x N* 進(jìn)行描述 ; 方案二可以用函數(shù)y=10 xx N* 進(jìn)行描述 ; 方案三可以用函數(shù)y0.42x1xN*進(jìn)行描述；【問題 3】你能熟悉一下方案中的三個函數(shù)嗎？方案一是常數(shù)函數(shù)；方案二是一次函數(shù)；方案三是指數(shù)型函數(shù),方案二、三中的函數(shù)都是增函數(shù)；【問題 4】下面利用這三個函數(shù)關(guān)系式, 算出每天的回報數(shù)

6、,請?zhí)顚懺诒硪恢?；x/ 天方案一y/ 元方案二y/ 元方案三y/ 元1 每天回報數(shù)每天回報數(shù)每天回報數(shù)40 10 0.4 2 40 20 0.8 3 40 30 1.6 4 40 40 3.2 5 40 50 6.4 6 40 60 12.8 7 40 70 25.6 8 40 80 51.2 9 40 90 102.4 10 40 100 204.8 30 40 300 214748364.8【問題 5】這三個函數(shù)增長速度怎樣,通過哪個量來判定這三個函數(shù)的增長速度？（通過增加量（增長量）來判定,也就是從其次天起,每一天與前一天的變化量）下面請同學(xué)再算一下每一種方案的增加量；x/ 天方案一方案

7、二增加量方案三每天回報數(shù)增加量每天回報數(shù)每天回報數(shù)增加量1 y/ 元y/ 元10 y/ 元40 10 0.4 2 40 0 20 0.8 0.4 3 40 0 30 10 1.6 0.8 4 40 0 40 10 3.2 1.6 5 40 0 50 10 6.4 3.2 6 40 0 60 10 12.8 6.4 7 40 0 70 10 25.6 12.8 8 40 0 80 10 51.2 25.6 9 40 0 90 10 102.4 51.2 10 40 0 100 10 204.8 102.4 30 40 0 300 10 214748364.8107374182.4【問題 6】這三

8、種方案的增加量有何特點？可以看到,方案一、方案二增長量固定不變,而方案三是“ 指數(shù)增長”,其“ 增長量” 是成倍增加的,從第 7 天開頭,方案三比其他兩個方案增長得快得多,這種增長速度是方案一、方案二所無法企及的；下面再從圖象的角度來熟悉一下：（函數(shù)圖象是分析問題的好幫手,為了便于觀看,我們用虛線連接離散的點）我們看到： 底為 2 的指數(shù)函數(shù)模型比線性函數(shù)模型增長速度要快得多【問題 7】從這三種方案每天所得回報看,你能得到什么結(jié)論？第 13 天,方案一最多；在第四天,方案一和方案二一樣多,方案三最少；在第 58 天,方案二最多；因此,把指數(shù)增長也稱為指數(shù)爆炸；第 9 天以后,方案三比其他兩個方

9、案所得回報多得多,到第 30 天,所得回報已超過 2 億元；【問題 8】依據(jù)這里的分析,是否應(yīng)作這樣的挑選：投資 5 天以下選方案一,投資 58 天選方案二,投資 8 天以上選方案三？【問題 9】下面再算一下 三種方案的累計回報,填寫在表格中；【問題 10】從累計的回報數(shù)看,你會挑選哪種方案？結(jié)論： 投資 16 天,應(yīng)挑選第一種投資方案；投資 7 天,應(yīng)挑選第一或二種投資方案；投資 810 天,應(yīng)挑選其次種投資方案；投資 11 天（含 11 天）以上,應(yīng)挑選第三種投資方案；【問題 11】從上面問題可以看出,幾種常見函數(shù)的增長情形如下：常數(shù)函數(shù)一次函數(shù)指數(shù)型函數(shù)保持不變直線上升指數(shù)爆炸【問題 1

10、2】解決實際問題的一般步驟是什么？數(shù)學(xué)化實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題 數(shù)學(xué)問題問 題 解 決數(shù) 學(xué) 解 答符合實際實際問題結(jié)論回到實際問題數(shù)學(xué)問題結(jié)論例 2某公司為了實現(xiàn) 1000 萬元利潤的目標(biāo),預(yù)備制定一個勉勵銷售部門的嘉獎方案：在銷售利潤達(dá)到 10 萬元時,按銷售利潤進(jìn)行嘉獎,且獎金 y （單位：萬元）隨銷售利潤 x （單位：萬元）的增加而增加但獎金不超過 5 萬元現(xiàn)有三個嘉獎模型：y 0.25 x ,y 1 . 002 x,y log 7 x 1問：其中哪個模型能符合公司的要求？【問題 1】此題涉及到的三個函數(shù)都是什么函數(shù)？【問題 2】 x 的取值范疇,即函數(shù)的定義域是什么？x由于公司總的利

11、潤目標(biāo)為1000 萬元,所以人員銷售利潤一般不會超過公司總的利潤；于是,10,1000；【問題 3】某個嘉獎模型符合公司要求,要滿意哪些條件？獎金總數(shù)不超過 5 萬元,即 0 y 5；【問題 4】結(jié)合圖象,并通過運算哪個模型的獎金總數(shù)不超過 5 萬？（1）對于模型 y=0.25x, 它在區(qū)間 10,1000 上遞增 , 當(dāng) x=20 時, y=5,因此,當(dāng) x20,1000 時,y5, 因此該模型不符合要求；（ 2）對于模型 y 1.002 x, 由函數(shù)圖象 , 并利用運算器 , 可知在區(qū)間 805,806 內(nèi)有一個點滿意 1.002 x 0 5 , 由于它在 10,1000上遞增 , 因此當(dāng)

12、 x x 時 ,y5, 因此該模型也不符合要求；（3）對于模型 y log 7 x 1 , 它在區(qū)間 10,1000 上遞增 , 而且當(dāng)x=1000 時 , ylog 100014.555 , 所以它符合獎金總數(shù)不超過5 萬元的要求；【問題 5】你對對數(shù)型函數(shù)模型增長有怎樣的熟悉？結(jié)論：對數(shù)增長模型比較適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律；【問題6】請你爭論冪函數(shù)yxnn0 、指數(shù)函數(shù)yaxa1、對數(shù)函數(shù)ylogax a1 在區(qū)間0,上的增長差異；三、課堂練習(xí)1、四個變量y1,y2,y3,y4隨變量 x 變化的數(shù)據(jù)如下表：關(guān)于x 呈指數(shù)型函數(shù)變化的變量是；四、小結(jié)與反思1 、函數(shù)是描述客觀世界變化

13、規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型 不同的變化規(guī)律需要用不同的函數(shù)模型來描述；2、具分析確利用數(shù)函分析爭論模體會直指對定據(jù)數(shù)線數(shù)數(shù)體函型表圖上爆增問數(shù)格像題升炸長模型3 、對數(shù)增長模型比較適合于描述增長速度平緩的變化規(guī)律；指數(shù)增長模型比較適合于描述增長速度驟變的變化規(guī)律；五、作業(yè) 收集一些社會生活中遞增的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例,對它們的增長速度進(jìn)行比較,了 解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用 . 教學(xué)設(shè)計說明本節(jié)課的內(nèi)容是人教社一般高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書A 版數(shù)學(xué)必修1 第三章 3.2.1幾種不同增長的函數(shù)模型（第一課時） ,本節(jié)課的重點是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,結(jié)合實例體會直線直線上升、指數(shù) 爆炸、對數(shù)增長

14、等不同函數(shù)類型增長的含義；難點在于如何挑選和利用不同函數(shù)模型增長差異性分析解決 實際問題本課設(shè)計的思路是通過“ 澳大利亞兔災(zāi)” 的故事引入,一就激發(fā)同學(xué)愛好,二就讓同學(xué)初步感知指數(shù)增長即 “ 指數(shù)爆炸”的含義； 然后組織同學(xué)探究投資決策和嘉獎模型兩個實際問題,通過挑選變量、建立模型,利用數(shù)據(jù)表格、函數(shù)圖象爭論模型,體會不同函數(shù)模型增長的含義及其差異；結(jié)合運算機(jī)幫助教學(xué)在培育同學(xué)才能方面表達(dá)如下 1.設(shè)立“ 數(shù)學(xué)探究”、“ 數(shù)學(xué)建?！?等學(xué)習(xí)活動,為同學(xué)形成積極主動的、多樣的學(xué)習(xí)方式進(jìn)一步制造有利的條件,以激發(fā)同學(xué)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)愛好,勉勵同學(xué)在學(xué)習(xí)過程中,培育獨立摸索、積極探究的習(xí)慣； 2. 引導(dǎo)同學(xué)自主探究函數(shù)模型的差異性、動手制作表格和作圖、合作溝通爭論、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)數(shù)