材料力學(xué)第六章 截面的幾何性質(zhì)慣性矩

1、材料力學(xué)第六章 截面的幾何性質(zhì)慣性矩第1頁，共11頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)3分，星期四第六章 截面的幾何性質(zhì)第一節(jié) 靜矩和形心一、靜矩(面積矩）定義： 微面積dA對(duì)z軸和y軸的靜矩分別為 和 截面（面積A)對(duì)z軸和y軸的靜矩分別為： 靜矩為代數(shù)值。靜矩單位： 不同截面對(duì)同一坐標(biāo)軸的靜矩不同；同一截面對(duì)不同坐標(biāo)軸的靜矩也不同。 若截面形心坐標(biāo)為zc、yc，將面積視為平行力（即看作等厚、均質(zhì)薄板的重力），由合力矩定理可得： 當(dāng)Sz=0或Sy=0時(shí)，必有yc=0或zc=0，可知截面對(duì)某軸的靜矩為零時(shí)，該軸必通過截面形心；反之，若某軸通過形心，則截面對(duì)該軸的靜矩為零。返回下一張上一張小結(jié)第2頁

2、，共11頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)3分，星期四 二、形心公式： 三、組合截面的靜矩：n個(gè)簡單圖形組成的截面，其靜矩為：四、組合截面形心公式： 例5-1 求圖示T形截面形心位置。 解：取參考坐標(biāo)軸y、z,由對(duì)稱圖形,zc=0。 分解圖形為、兩個(gè)矩形，則若分解為、三個(gè)矩形，則返回下一張上一張小結(jié)第3頁，共11頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)3分，星期四第二節(jié) 慣性矩和慣性積一、極慣性矩： 定義：平面圖形中任一微面積dA與它到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離平方的乘積2dA,稱為該面積dA對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)o的極慣性矩。 截面對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)o的極慣性矩為： 簡單圖形的極慣性矩可由定義式積分計(jì)算。 實(shí)心圓截面： 空心圓截面

3、： 二、慣性矩： 定義：平面圖形中任一微面積dA對(duì)z軸、y軸的慣性矩分別為：y2dA和Z2dA；則整個(gè)圖形（面積為A)對(duì)z軸、y軸的慣性矩分別為：返回下一張上一張小結(jié)第4頁，共11頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)3分，星期四 定義:平面圖形內(nèi)，微面積dA與其兩個(gè)坐標(biāo)z、y的乘積zydA在整個(gè)圖形內(nèi)的積分稱為該圖形對(duì)z、y軸的慣性積。 特點(diǎn)：慣性積是截面對(duì)某兩個(gè)正交坐標(biāo)軸而言。不同截面對(duì)同一對(duì)軸或同一截面對(duì)不同軸的慣性積均不同。慣性積是代數(shù)值。 單位： 若截面有一根為對(duì)稱軸,則該截面對(duì)包括此對(duì)稱軸在內(nèi)的一對(duì)正交坐標(biāo)軸的慣性積必為零。 慣性矩是對(duì)某軸而言的，同一截面對(duì)不同軸的慣性矩值不同。 慣性矩

4、單位：m4或mm4； 慣性矩恒為正值。 簡單圖形對(duì)軸的慣性矩由定義式積分計(jì)算。返回下一張上一張小結(jié)三、慣性積：第5頁，共11頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)3分，星期四 例5-2 求矩形截面對(duì)其對(duì)稱軸的慣性矩和慣性積。 解：取yoz坐標(biāo)系。取微面積dA=bdy,則：取微面積dA=hdz,則：例5-3 圓形截面對(duì)其形心軸的慣性矩。 解：取yoz坐標(biāo)系。取微面積dA=2zdy,則：取微面積dA=dzdy，則：返回下一張上一張小結(jié)第6頁，共11頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)3分，星期四第三節(jié) 慣性矩和慣性積的平行移軸和轉(zhuǎn)軸公式 一、平行移軸公式：注意：y、z軸必須是形心軸。二、轉(zhuǎn)軸公式：返回下一張

5、上一張小結(jié)第7頁，共11頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)3分，星期四 第四節(jié) 主慣性軸和主慣性矩： 主慣性軸（主軸）使截面對(duì)zo、yo軸的慣性積 的這對(duì)正交坐標(biāo)軸；特點(diǎn)：兩個(gè)形心主慣性矩是截面對(duì)過形心所有各軸的慣性矩中的極大值和極小值； 有一根對(duì)稱軸的截面，形心主軸是對(duì)稱軸和與之垂直的形心軸； 有兩根對(duì)稱軸的截面，形心主軸是兩根對(duì)稱軸； 無對(duì)稱軸的截面，由轉(zhuǎn)軸公式求對(duì)形心的慣性積為零的 角，即 形心主慣性軸。 主慣性矩（主慣矩）截面對(duì)主慣性軸的慣性矩； 形心主慣性軸（形心主軸）通過形心的主慣性軸； 形心主慣性矩（形心主慣矩）截面對(duì)形心主軸的慣性矩。第五節(jié) 組合截面慣性矩的計(jì)算 工程中常遇到組合

6、截面。計(jì)算其形心主慣性矩時(shí)，應(yīng)先確定形心位置、形心主軸，再求形心主慣性矩。返回下一張上一張小結(jié)第8頁，共11頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)3分，星期四例54:試計(jì)算圖示T形截面的形心主慣性矩。解:(1)確定形心坐標(biāo)yc. (2)計(jì)算形心主慣性矩： (z、y軸即形心主軸）返回下一張上一張小結(jié)第9頁，共11頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)3分，星期四小 結(jié)一、靜矩：性質(zhì)：截面對(duì)某軸的靜矩為零時(shí)，該軸必通過截面形心； 二、極慣性矩：實(shí)心圓截面： 空心圓截面：三、慣性矩： 四、慣性積：矩形截面： 圓形截面：幾何關(guān)系：五、平行移軸公式：返回下一張上一張小結(jié)第10頁，共11頁，2022年，5月20日，4點(diǎn)3分，星期四 六、主慣性軸和主慣性矩： 形心主慣性軸（形心主軸）通過形心的主慣性軸； 形心主慣性矩（形心主慣矩）截面對(duì)形心主軸的慣性矩。 主慣性軸（主軸）使 的這對(duì)正交坐標(biāo)軸； 主慣性矩（主慣矩）截面對(duì)主慣性軸的慣性矩；七、平面圖形幾何性質(zhì)的幾何意義： 1. 靜矩：圖形的形心相對(duì)于指定坐標(biāo)軸之間距離的遠(yuǎn)近程度； 2. 極慣性矩：圖形的面積相對(duì)于指定坐標(biāo)原點(diǎn)之間分布的集中或分散程度； 3. 慣性矩