黑龍江省哈爾濱市122中學2023學年高考沖刺模擬數(shù)學試題（含解析）

1、2023學年高考數(shù)學模擬測試卷注意事項:1答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時請按要求用筆。3請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知過點且與曲線相切的直線的條數(shù)有（ ）A0B1C2D32已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，則其共軛復數(shù)（ ）ABCD3在復平面內(nèi)

2、，復數(shù)對應的點的坐標為（ ）ABCD4阿波羅尼斯（約公元前262190年）證明過這樣的命題：平面內(nèi)到兩定點距離之比為常數(shù)的點的軌跡是圓.后人將這個圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點，間的距離為2，動點與，的距離之比為，當，不共線時，的面積的最大值是（ ）ABCD5在明代程大位所著的算法統(tǒng)宗中有這樣一首歌謠，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛馬羊，要求賠償五斗糧，三畜戶主愿賠償，牛馬羊吃得異樣馬吃了牛的一半，羊吃了馬的一半”請問各畜賠多少？它的大意是放牧人放牧時粗心大意，牛、馬、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、馬、羊向其主人要求賠償五斗糧食（1斗=10升），三畜的主人同意賠償，但牛、馬、羊吃的青

3、苗量各不相同馬吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是馬的一半問羊、馬、牛的主人應該分別向青苗主人賠償多少升糧食？（ ）ABCD6若向量，則與共線的向量可以是（）ABCD7若復數(shù)（）是純虛數(shù)，則復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限8中國的國旗和國徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以、為頂點的多邊形為正五邊形，且，則（ ）ABCD9已知向量，則向量在向量方向上的投影為（ ）ABCD10一個圓錐的底面和一個半球底面完全重合，如果圓錐的表面積與半球的表面積相等，那么這個圓錐軸截面底角的大小是（ ）ABCD11中國古代中的“禮、樂、射

4、、御、書、數(shù)”合稱“六藝”.“禮”，主要指德育；“樂”，主要指美育；“射”和“御”，就是體育和勞動；“書”，指各種歷史文化知識；“數(shù)”，數(shù)學.某校國學社團開展“六藝”課程講座活動，每藝安排一節(jié)，連排六節(jié)，一天課程講座排課有如下要求：“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰，則“六藝”課程講座不同的排課順序共有（ ）種.A408B120C156D24012將3個黑球3個白球和1個紅球排成一排，各小球除了顏色以外其他屬性均相同，則相同顏色的小球不相鄰的排法共有（ ）A14種B15種C16種D18種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知的終邊過點，若，則_14平行四邊形中，

5、為邊上一點（不與重合），將平行四邊形沿折起，使五點均在一個球面上，當四棱錐體積最大時，球的表面積為_.15若函數(shù)在區(qū)間上恰有4個不同的零點，則正數(shù)的取值范圍是_.16拋物線的焦點坐標為_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知函數(shù), （1）當x0時，f（x）h（x）恒成立，求a的取值范圍；（2）當x0時，研究函數(shù)F（x）=h（x）g（x）的零點個數(shù)；（3）求證：（參考數(shù)據(jù)：ln1.10.0953）18（12分）若不等式在時恒成立，則的取值范圍是_.19（12分）記無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，令，則稱是“極差數(shù)列”.（1）若，求的前項和；（2）證

6、明：的“極差數(shù)列”仍是；（3）求證：若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.20（12分）在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，直線的極坐標方程為，設與交于、兩點，中點為，的垂直平分線交于、.以為坐標原點，極軸為軸的正半軸建立直角坐標系.（1）求的直角坐標方程與點的直角坐標；（2）求證：.21（12分）在中，角，所對的邊分別為，已知，角為銳角，的面積為.（1）求角的大??；（2）求的值.22（10分）若數(shù)列滿足：對于任意，均為數(shù)列中的項，則稱數(shù)列為“數(shù)列”（1）若數(shù)列的前項和，試判斷數(shù)列是否為“數(shù)列”？說明理由；（2）若公差為的等差數(shù)列為“數(shù)列”，求的取值范圍；（3）若數(shù)列為“數(shù)列”，且對于任意，均有

7、，求數(shù)列的通項公式2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【答案解析】設切點為，則，由于直線經(jīng)過點，可得切線的斜率，再根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出曲線在點處的切線斜率，建立關(guān)于的方程，從而可求方程【題目詳解】若直線與曲線切于點，則，又，解得，過點與曲線相切的直線方程為或，故選C【答案點睛】本題主要考查了利用導數(shù)求曲線上過某點切線方程的斜率，求解曲線的切線的方程，其中解答中熟記利用導數(shù)的幾何意義求解切線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎題2、B【答案解析】先根據(jù)復數(shù)的乘法

8、計算出，然后再根據(jù)共軛復數(shù)的概念直接寫出即可.【題目詳解】由，所以其共軛復數(shù).故選：B.【答案點睛】本題考查復數(shù)的乘法運算以及共軛復數(shù)的概念，難度較易.3、C【答案解析】利用復數(shù)的運算法則、幾何意義即可得出【題目詳解】解：復數(shù)i（2+i）2i1對應的點的坐標為（1，2），故選：C【答案點睛】本題考查了復數(shù)的運算法則、幾何意義，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題4、A【答案解析】根據(jù)平面內(nèi)兩定點，間的距離為2，動點與，的距離之比為，利用直接法求得軌跡，然后利用數(shù)形結(jié)合求解.【題目詳解】如圖所示：設，則，化簡得，當點到（軸）距離最大時，的面積最大，面積的最大值是.故選：A.【答案點睛】本題主要考

9、查軌跡的求法和圓的應用，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.5、D【答案解析】設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,易知成等比數(shù)列,結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可求出答案.【題目詳解】設羊戶賠糧升,馬戶賠糧升,牛戶賠糧升,則成等比數(shù)列,且公比,則,故,.故選:D.【答案點睛】本題考查數(shù)列與數(shù)學文化,考查了等比數(shù)列的性質(zhì),考查了學生的運算求解能力,屬于基礎題.6、B【答案解析】先利用向量坐標運算求出向量,然后利用向量平行的條件判斷即可.【題目詳解】故選B【答案點睛】本題考查向量的坐標運算和向量平行的判定,屬于基礎題,在解題中要注意橫坐標與橫坐標對應,縱坐標與縱坐標對應,切不可錯位.7、B【

10、答案解析】化簡復數(shù)，由它是純虛數(shù)，求得，從而確定對應的點的坐標【題目詳解】是純虛數(shù)，則，對應點為，在第二象限故選：B【答案點睛】本題考查復數(shù)的除法運算，考查復數(shù)的概念與幾何意義本題屬于基礎題8、A【答案解析】利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運算的幾何意義，便可解決問題【題目詳解】解：.故選：A【答案點睛】本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運算法則等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎題9、A【答案解析】投影即為，利用數(shù)量積運算即可得到結(jié)論.【題目詳解】設向量與向量的夾角為，由題意，得，所以，向量在向量方向上的投影為.故選：A.【答案點睛】本題主要考察了

11、向量的數(shù)量積運算，難度不大，屬于基礎題.10、D【答案解析】設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,再表達圓錐表面積與球的表面積公式,進而求得即可得圓錐軸截面底角的大小.【題目詳解】設圓錐的母線長為l,底面半徑為R,則有,解得,所以圓錐軸截面底角的余弦值是,底角大小為.故選：D【答案點睛】本題考查圓錐的表面積和球的表面積公式,屬于基礎題.11、A【答案解析】利用間接法求解，首先對6門課程全排列，減去“樂”排在第一節(jié)的情況，再減去“射”和“御”兩門課程相鄰的情況，最后還需加上“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰的情況；【題目詳解】解：根據(jù)題意，首先不做任何考慮直接全排列則有（種），當“樂”排

12、在第一節(jié)有（種），當“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），當“樂”排在第一節(jié)，且“射”和“御”兩門課程相鄰時有（種），則滿足“樂”不排在第一節(jié)，“射”和“御”兩門課程不相鄰的排法有（種），故選：【答案點睛】本題考查排列、組合的應用，注意“樂”的排列對“射”和“御”兩門課程相鄰的影響，屬于中檔題12、D【答案解析】采取分類計數(shù)和分步計數(shù)相結(jié)合的方法，分兩種情況具體討論，一種是黑白依次相間，一種是開始僅有兩個相同顏色的排在一起【題目詳解】首先將黑球和白球排列好，再插入紅球.情況1：黑球和白球按照黑白相間排列（“黑白黑白黑白”或“白黑白黑白黑”），此時將紅球插入6個球組成的7個空中即可，因此共有27

13、=14種；情況2：黑球或白球中僅有兩個相同顏色的排在一起（“黑白白黑白黑”、“黑白黑白白黑”、“白黑黑白黑白”“白黑白黑黑白”），此時紅球只能插入兩個相同顏色的球之中，共4種.綜上所述，共有14+4=18種.故選：D【答案點睛】本題考查排列組合公式的具體應用，插空法的應用，屬于基礎題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值【題目詳解】的終邊過點，若， 即答案為-2.【答案點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導公式，屬基礎題.14、【答案解析】依題意可得、四點共圓，即可得到，從而得到三角形為正三角形，利用余弦定理可得，且

14、，要使四棱錐體積最大，當且僅當面面時體積取得最大值，利用正弦定理求出的外接圓的半徑，再又可證面，則外接球的半徑，即可求出球的表面積；【題目詳解】解：依題意可得、四點共圓，所以因為，所以，所以三角形為正三角形，則，利用余弦定理得即，解得，則所以，當面面時，取得最大，所以的外接圓的半徑，又面面，且面面， 面所以面，所以外接球的半徑所以故答案為：【答案點睛】本題考查多面體的外接球的相關(guān)計算，正弦定理、余弦定理的應用，屬于中檔題.15、；【答案解析】求出函數(shù)的零點，讓正數(shù)零點從小到大排列，第三個正數(shù)零點落在區(qū)間上，第四個零點在區(qū)間外即可【題目詳解】由，得， ，解得故答案為：【答案點睛】本題考查函數(shù)的零

15、點，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)零點，然后題意，把正數(shù)零點從小到大排列，由于0已經(jīng)是一個零點，因此只有前3個零點在區(qū)間上由此可得的不等關(guān)系，從而得出結(jié)論，本題解法屬于中檔題16、【答案解析】變換得到，計算焦點得到答案.【題目詳解】拋物線的標準方程為，所以焦點坐標為故答案為：【答案點睛】本題考查了拋物線的焦點坐標，屬于簡單題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析；（3）見解析【答案解析】（1）令H（x）=h（x）f（x）=ex1aln（x+1）（x0），求得導數(shù)，討論a1和a1，判斷導數(shù)的符號，由恒成立思想可得a的范圍；（2）求得F（x）=h（x）

16、g（x）的導數(shù)和二階導數(shù)，判斷F（x）的單調(diào)性，討論a1，a1，F(xiàn)（x）的單調(diào)性和零點個數(shù)；（3）由（1）知，當a=1時，ex1+ln（x+1）對x0恒成立，令；由（2）知，當a=1時，對x0恒成立，令，結(jié)合條件，即可得證【題目詳解】（）解：令H（x）=h（x）f（x）=ex1aln（x+1）（x0），則，若a1，則，H（x）0，H（x）在0，+）遞增，H（x）H（0）=0，即f（x）h（x）在0，+）恒成立，滿足，所以a1； 若a1，H（x）=ex在0，+）遞增，H（x）H（0）=1a，且1a0，且x+時，H（x）+，則x0（0，+），使H（x0）=0進而H（x）在0，x0）遞減，在（x0，

17、+）遞增，所以當x（0，x0）時H（x）H（0）=0，即當x（0，x0）時，f（x）h（x），不滿足題意，舍去；綜合，知a的取值范圍為（，1（）解：依題意得，則F（x）=exx2+a，則F（x）=ex2x0在（，0）上恒成立，故F（x）=exx2+a在（，0）遞增，所以F（x）F（0）=1+a，且x時，F(xiàn)（x）；若1+a0，即a1，則F（x）F（0）=1+a0，故F（x）在（，0）遞減，所以F（x）F（0）=0，F(xiàn)（x）在（，0）無零點； 若1+a0，即a1，則使，進而F（x）在遞減，在遞增，且x時，F(xiàn)（x）在上有一個零點，在無零點，故F（x）在（，0）有一個零點綜合，當a1時無零點；當a1時

18、有一個零點（）證明：由（）知，當a=1時，ex1+ln（x+1）對x0恒成立，令，則即； 由（）知，當a=1時，對x0恒成立，令，則，所以；故有【答案點睛】本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間，考查函數(shù)零點存在定理的運用，考查分類討論思想方法，以及運算能力和推理能力，屬于難題對于函數(shù)的零點問題，它和方程的根的問題，和兩個函數(shù)的交點問題是同一個問題，可以互相轉(zhuǎn)化；在轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)交點時，如果是一個常函數(shù)一個含自變量的函數(shù)，注意讓含有自變量的函數(shù)式子盡量簡單一些18、【答案解析】原不等式等價于在恒成立，令，求出在上的最小值后可得的取值范圍.【題目詳解】因為在時恒成立，故在恒成立.令，由可得.令，則為上的

19、增函數(shù)，故.故.故答案為：.【答案點睛】本題考查含參數(shù)的不等式的恒成立，對于此類問題，優(yōu)先考慮參變分離，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的新函數(shù)的最值問題，本題屬于基礎題.19、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【答案解析】（1）由是遞增數(shù)列，得，由此能求出的前項和.（2）推導出，由此能證明的“極差數(shù)列”仍是.（3）證當數(shù)列是等差數(shù)列時，設其公差為，是一個單調(diào)遞增數(shù)列，從而，由，分類討論，能證明若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【題目詳解】（1）解：無窮數(shù)列的前項中最大值為，最小值為，是遞增數(shù)列，的前項和.（2）證明：，的“極差數(shù)列”仍是（3）證明：當數(shù)列是等差數(shù)列時，設其公差為，根據(jù)，的定

20、義，得：，且兩個不等式中至少有一個取等號，當時，必有，是一個單調(diào)遞增數(shù)列，是等差數(shù)列，當時，則必有，是一個單調(diào)遞減數(shù)列，.是等差數(shù)列，當時，中必有一個為0，根據(jù)上式，一個為0，為一個必為0，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列，則數(shù)列是等差數(shù)列.綜上，若數(shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列.【答案點睛】本小題主要考查新定義數(shù)列的理解和運用，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的單調(diào)性，考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法，屬于難題.20、（1），；（2）見解析.【答案解析】（1）將曲線的極坐標方程變形為，再由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立，求出點、的坐標，即可得出線段的中點的坐標；（2）求得，寫出直線的參數(shù)方程，將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立，利用韋達定理求得的值，進而可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）曲線的極坐標方程可化為，即，將代入曲線的方程得，所以，曲線的直角坐標方程為.將直線的極坐標方程化為普通方程得，聯(lián)立，得或，則點、，因此，線段的中點為；（2）由（1）得，易知的垂直平分線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），代入的普通方程得，因此，.【答案點睛】本題考查曲線的極坐標方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化，同時也考查了直線參數(shù)幾何意義的應用，涉及韋達定理的應用，考查計算能力，屬