控制工程系統(tǒng)的穩(wěn)定性

1、控制工程系統(tǒng)的穩(wěn)定性第1頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三系統(tǒng)的穩(wěn)定性基本要求：1.掌握系統(tǒng)穩(wěn)定與相對(duì)穩(wěn)定的概念2.掌握三個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)及其應(yīng)用3.掌握系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定裕度的概念及其計(jì)算重點(diǎn)與難點(diǎn)：1.三個(gè)系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)及其應(yīng)用2.系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定裕度的計(jì)算第2頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念沒有外力作用的自由振蕩若是減幅的，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的；自由振蕩若是增幅的，則系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。 1單擺2小球偏離初始狀態(tài)后能恢復(fù)到初始狀態(tài)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的系統(tǒng)第3頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三穩(wěn)定的含義: 系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差作

2、用下，其過渡過程隨著時(shí)間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的，否則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。理解：(1)線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，與輸入無關(guān)；(2)外力消失后的振蕩是由初始偏差造成的;(3)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生和系統(tǒng)具有正反饋相關(guān);(4)控制理論中僅討論輸入為零，系統(tǒng)僅存有不為零的初態(tài)時(shí)的穩(wěn)定性。第4頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象：二階系統(tǒng)中的三種情況01 減幅（收斂）振蕩=0 等幅振蕩0 增幅（發(fā)散）振蕩系統(tǒng)不穩(wěn)定現(xiàn)象的發(fā)生取決于系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)參數(shù)，與系統(tǒng)輸入無關(guān)；系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定現(xiàn)象說明系統(tǒng)中必有反饋，而且是正反饋。

3、不穩(wěn)定穩(wěn)定第5頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三系統(tǒng)穩(wěn)定的定義： 原來處在平衡狀態(tài)的系統(tǒng)受到擾動(dòng)后會(huì)偏離原來的平衡狀態(tài)，擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能回到原來的平衡狀態(tài)或達(dá)到新的平衡狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 否則，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)穩(wěn)定的條件：結(jié)論：當(dāng)系統(tǒng)所有的特征根都具有負(fù)實(shí)部，即所有特征根都位于復(fù)平面的左半平面，該系統(tǒng)就是穩(wěn)定的。該條件是系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件。所有Resi0 系統(tǒng)不穩(wěn)定，發(fā)散第6頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Routh(代數(shù))穩(wěn)定判據(jù)基于方程式根與系數(shù)的關(guān)系而建立通過對(duì)系統(tǒng)特征方程式的各項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出全部特征根都具有負(fù)實(shí)部的條

4、件，從而判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性系統(tǒng)的特征方程式若所有特征根都具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件:特征方程所有的系數(shù)都大于0則有：所有系數(shù)ai都大于0第7頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三系統(tǒng)特征方程為 a0sn+a1sn-1+an-1s+an=0列Routh勞斯表:sn : a0 a2 a4 a6 sn-1 : a1 a3 a5 a7 sn-2 : b1 b2 b3 b4 sn-3 : c1 c2 c3 s2 e1 e2s1 f1s0 g1系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件第8頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三系統(tǒng)的特征方程式為 列勞斯表 ：60614556661011661

5、21sssss01234第9頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三勞斯穩(wěn)定判據(jù)(1)系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是特征方程所有的系數(shù)都大于0；(2)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表的第一列元素全大于零；(3)勞斯表第一列元素符號(hào)改變的次數(shù)代表特征方程正實(shí)部根的數(shù)目。第10頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三例：設(shè)系統(tǒng)的特征方程式為 試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：特征方程符號(hào)相同，又不缺項(xiàng)，故滿足穩(wěn)定的必要條件。列勞斯表判別：第一列各數(shù)均為正數(shù)故系統(tǒng)穩(wěn)定第11頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三驗(yàn)證:將特征方程式因式分解為 求得所有特征根為： 可見,所有特征根

6、均有負(fù)實(shí)部，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。第12頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三勞斯表中可能出現(xiàn)的兩種特殊情況：1.第一列出現(xiàn)0元素:如：處理方法：用一個(gè)正數(shù)0來代替第一列的0元素，繼續(xù)列寫勞斯表。若該元素的上下兩元素?zé)o符號(hào)變化，且都為正，說明該系統(tǒng)有一對(duì)共軛虛根，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定；若有符號(hào)變化，即有一個(gè)元素為負(fù)，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，而且符號(hào)改變幾次就有幾個(gè)不穩(wěn)定根存在。第13頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三例如:特征方程式：勞斯表()()( - )符號(hào)有變化，說明系統(tǒng)存在不穩(wěn)定根符號(hào)變化2次，系統(tǒng)的不穩(wěn)定根有2個(gè)第14頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)

7、7分，星期三列勞斯表上下兩行符號(hào)不變，說明有純虛根存在，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。將特征方程式因式分解為特征根為 系統(tǒng)等幅振蕩第15頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三2.出現(xiàn)全0行:處理方法：由全0行上方的元素行得到輔助方程，對(duì)其求導(dǎo)，用求導(dǎo)后的方程系數(shù)作為勞斯表新的行元素繼續(xù)列寫勞斯表。由輔助方程可以求得系統(tǒng)特殊的特征根，如為相反數(shù)的一對(duì)實(shí)根、或一對(duì)純虛根、或一對(duì)共軛復(fù)根。第16頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三8 242 12 160 0 0某行所有項(xiàng)系數(shù)均為零的情況，說明特征方程有對(duì)稱的根.建輔助方程,求導(dǎo)后繼續(xù)計(jì)算例：系統(tǒng)特征方程式為列勞斯表 第17頁(yè)，

8、共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三由輔助方程 s4+6s2+8=0可得：雖然無根在右半平面，但有根在虛軸上，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。 第18頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Routh穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用1.可在不求特征根的情況下判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2.可確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍,分析系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)穩(wěn)定性的影響3.可檢驗(yàn)穩(wěn)定裕度,求使系統(tǒng)具有一定穩(wěn)定裕度的結(jié)構(gòu)參數(shù)的取值范圍。 令s=z-(0), 將其代入系統(tǒng)特征方程，可得關(guān)于z的多項(xiàng)式，以判斷系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。第19頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三例:說明如圖所示系統(tǒng)的穩(wěn)定條件解：求

9、出閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程 Ts+(1+K)=0 第20頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三例：?jiǎn)挝环答佅到y(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試求K的穩(wěn)定范圍。解：系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程：列勞斯表 系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件 K00.35-0.025K0得 K14所以保證系統(tǒng)穩(wěn)定，K的取值范圍為0K14。第21頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下，試確定K和a取何值時(shí)，系統(tǒng)將以角頻率=2rad/s進(jìn)行持續(xù)振蕩。解：理解題意，系統(tǒng)持續(xù)振蕩，即系統(tǒng)作等幅振蕩，亦即系統(tǒng)存在共扼純虛根；角頻率=2rad/s，即共扼純虛根為s=j2第22頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，

10、15點(diǎn)7分，星期三由結(jié)構(gòu)圖求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程列勞斯表：a0令得到全0行使系統(tǒng)存在純虛根求純虛根聯(lián)立求解第23頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下，已知T1=0.1,T2=0.25，試求使系統(tǒng)特征根均位于s=-1線的左側(cè)的K的取值范圍。解：理解題意，使系統(tǒng)特征根均位于s=-1線的左側(cè)，即對(duì)Routh判據(jù)(s=0)進(jìn)行坐標(biāo)移動(dòng)。令s=s+1，則s=s-1，代入系統(tǒng)特征方程并整理后再利用Routh判據(jù)進(jìn)行求解。第24頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三先求系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程：將s=s-1代入整理可得：第25頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，

11、5月20日，15點(diǎn)7分，星期三列勞斯表：根據(jù)Routh穩(wěn)定判據(jù)可知：若要系統(tǒng)穩(wěn)定則需所以，當(dāng)0.675K4.8時(shí)，該系統(tǒng)所有特征根均位于s=-1的左側(cè)。第26頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Nyquist(幾何)穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的特點(diǎn)：1.不需要求取系統(tǒng)特征根就可以判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定；2.利用閉環(huán)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)求取系統(tǒng)開環(huán)頻率特性即可判斷閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定；3.如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，可以求出系統(tǒng)不穩(wěn)定的閉環(huán)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)；4.可以求出系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定的穩(wěn)定裕度，從而指出提高和改善系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的途徑；5.是一種幾何判據(jù)。第27頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，1

12、5點(diǎn)7分，星期三1、幅角原理幅角原理是Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)分析問題的思路是從相角的變化來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定。對(duì)于系統(tǒng)的一個(gè)極點(diǎn)s=p：令D(s)=s-p D(j)=j-p若把D(j)看成矢量由P點(diǎn)指向j極點(diǎn)第28頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三如果P點(diǎn)在負(fù)實(shí)軸上（系統(tǒng)是穩(wěn)定的），當(dāng)由0+時(shí)，矢量D(j)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90；如果P點(diǎn)在正實(shí)軸上（系統(tǒng)是不穩(wěn)定的），當(dāng)由0+時(shí)，矢量D(j)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90；極點(diǎn)第29頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三這樣就可以將穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為D(j)的相角變化問題：對(duì)n階系統(tǒng)：當(dāng)由0+時(shí)，如果D(j)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n90，

13、系統(tǒng)穩(wěn)定；不等于n90，系統(tǒng)不穩(wěn)定；若有m個(gè)極點(diǎn)在右半平面，則D(j)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)(n-m)90。當(dāng)由-+時(shí)，上面的結(jié)論中的角度改為n180或(n-m)180。第30頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三即，當(dāng)從-+變化時(shí)： S左半平面上的零、極點(diǎn)矢量均變化+弧度；S右半平面上的零、極點(diǎn)矢量均變化-弧度。設(shè)n階系統(tǒng)有P個(gè)開環(huán)極點(diǎn)在S右半平面，則有(n-P)個(gè)開環(huán)極點(diǎn)在S左半平面，系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)的相角為：第31頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三構(gòu)造一個(gè)復(fù)變函數(shù)F(s)：若F(s)有P個(gè)極點(diǎn)、Z個(gè)零點(diǎn)位于S平面的右半平面，則當(dāng)由-+時(shí)，極點(diǎn)相位變化：零點(diǎn)相位變化

14、：F(j)的相位變化：第32頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三結(jié)論：當(dāng)由-+時(shí)，F(xiàn)(j)將圍繞原點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)N=P-Z圈。注意：P為F(S)位于右半平面的極點(diǎn)Z為F(S)位于右半平面的零點(diǎn)F(j)第33頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三2、開環(huán)傳遞函數(shù)、閉環(huán)傳遞函數(shù)與F(s)之間的關(guān)系如圖為控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)圖：如果令則根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可求得：第34頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三令F(s)=1+GK(s)，則有比較上面三個(gè)表達(dá)式，可知：F(s)與GK(s)有相同的極點(diǎn)；F(s)的零點(diǎn)與GB(s)的極點(diǎn)相同；第35頁(yè)，共86頁(yè)，

15、2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三結(jié)論：線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程的特征根都具有負(fù)實(shí)部,即GB(s)在s平面的右半平面沒有極點(diǎn)，亦即F(s)在s平面的右半平面沒有零點(diǎn)，即Z0。第36頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三GK(j)=F(j)-1，GK(j)曲線逆時(shí)針方向圍繞(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)為N=P-Z 第37頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三3、結(jié)論Z=P-N，如果Z=0，則系統(tǒng)穩(wěn)定；否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。其中，P為系統(tǒng)開環(huán)極點(diǎn)位于S平面右半平面的個(gè)數(shù)；N為系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1，j0)點(diǎn)的圈數(shù)；Z為系統(tǒng)閉

16、環(huán)極點(diǎn)位于S平面右半平面的個(gè)數(shù)。第38頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Nyquist穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)內(nèi)容：當(dāng)由-到+時(shí)，若系統(tǒng)開環(huán)頻率特性逆時(shí)針包圍（-1,j0）點(diǎn)P圈，其中P是開環(huán)傳遞函數(shù)在s平面右半平面的極點(diǎn)數(shù)，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。推論：對(duì)開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)即P0，其閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性不包圍(-1,j0)點(diǎn)。第39頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三如，某系統(tǒng) ，其Nyquist曲線如圖，判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。12+ 0Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈，即N=1而開環(huán)有一個(gè)位于右半平面的極點(diǎn)，即P=1，所以

17、閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。由圖可知：所以Z=P-N=0第40頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Nyquist穩(wěn)定判據(jù)幾點(diǎn)說明：1.開環(huán)Nyquist曲線關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱；故一般只畫由0+到+時(shí)的曲線，然后對(duì)稱畫出-到0-的一半。2.積分環(huán)節(jié)的處理:當(dāng)開環(huán)傳遞函數(shù)含有積分環(huán)節(jié)時(shí)，由-到+時(shí)，積分環(huán)節(jié)對(duì)應(yīng)的Nyquist曲線是半徑為按順時(shí)針方向從v90到-v90的圓弧。當(dāng)只畫由0到+時(shí)的曲線時(shí)，就補(bǔ)畫從-v90到0半徑為的圓弧。3.開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)時(shí)有可能穩(wěn)定的； 開環(huán)穩(wěn)定的系統(tǒng)，閉環(huán)也有可能不穩(wěn)定。第41頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三4.若P=0，僅考察GK

18、(j)是否圍繞(-1,j0)點(diǎn)； 若P0，應(yīng)先求出P，再查GK(j)逆時(shí)針圍繞 (-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)，若少于P則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。5.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的應(yīng)用，其關(guān)鍵是作GK(j)的Nyquist曲線。第42頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三由圖可知：N=0由開環(huán)傳遞函數(shù)可知：P=0所以：Z=P-N=0故系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，而且無論K取何值,閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。例1：0型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為試判系統(tǒng)閉環(huán)是否穩(wěn)定。解：先作系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線第43頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三例2:存在導(dǎo)前環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試對(duì)其閉環(huán)判穩(wěn)。解：作Nyq

19、uist曲線(1)當(dāng)T1、T2、T3很大，而T4、T5很小，在為有限值時(shí)，有可能使曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)，如曲線1所示，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。(2)若減小K，或增大T4、T5，其Nyquist曲線如曲線2所示，不包圍(-1,j0)點(diǎn)，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。第44頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三例3：型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為解：作Nyquist曲線特殊：積分環(huán)節(jié)，補(bǔ)畫半圓。 P=0，N=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 第45頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三例4：型系統(tǒng)，開環(huán)傳遞函數(shù)為解：作Nyquist曲線特殊：根據(jù)T1、T2的取值不同，其Nyquist曲線就不同，有以下

20、三種情況： (a)T1T2不包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定經(jīng)過(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定第46頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Nyquist穩(wěn)定判據(jù)應(yīng)用1.根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)判斷系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性方法:畫Nyquist曲線，注意與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)與(-1,j0)點(diǎn)的位置關(guān)系數(shù)圈數(shù)N，注意逆時(shí)針為正、順時(shí)針為負(fù)觀察開環(huán)傳遞函數(shù)的右半平面極點(diǎn)數(shù)P計(jì)算Z=P-N，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性第47頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三2.根據(jù)系統(tǒng)某參數(shù)的取值討論系統(tǒng)穩(wěn)定性方法:畫Nyquist曲線，注意參數(shù)對(duì)與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)的影響與(

21、-1,j0)點(diǎn)的位置關(guān)系根據(jù)參數(shù)取值范圍不同，負(fù)實(shí)軸上交點(diǎn)與(-1,j0)點(diǎn)的位置不同，分別：數(shù)圈數(shù)N，注意逆時(shí)針為正、順時(shí)針為負(fù)觀察傳遞函數(shù)的右半平面極點(diǎn)數(shù)P計(jì)算Z=P-N，判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性第48頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三例5：對(duì)非最小相位系統(tǒng) 判斷其系統(tǒng)穩(wěn)定性。 解：分析該系統(tǒng)的特點(diǎn)：(a)在s右半平面有一個(gè)極點(diǎn)，即P=1，開環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定；(b)型系統(tǒng)。求系統(tǒng)開環(huán)頻率特性：第49頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三作Nyquist曲線如圖:求出Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)交點(diǎn)與(-1,j0)的位置關(guān)系將決定系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性可得：23時(shí)曲線

22、與實(shí)軸相交，交點(diǎn)為：第50頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三討論：K1即交點(diǎn)在(-1,j0)的右側(cè)時(shí)，Nyquist曲線逆時(shí)針圍繞(-1,j0)點(diǎn)一圈，則N=1,Z=P-N=0，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。K1即交點(diǎn)在(-1,j0)的左側(cè)時(shí)，Nyquist曲線順時(shí)針圍繞(-1,j0)點(diǎn)一圈，則N=-1,Z=P-N=2，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。第51頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三例6：對(duì)于系統(tǒng) ，試分析K對(duì) 系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。解：作Nyquist曲線注意：K對(duì)Nyquist曲線的影響：起始點(diǎn)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)曲線形狀不變，只是范圍變換第52頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20

23、日，15點(diǎn)7分，星期三取K=1和K=100作Nyquist曲線如圖Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)為-K/60P=0當(dāng)曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)時(shí)，系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定當(dāng)-K/6060 時(shí)系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定當(dāng) K=60 時(shí)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定當(dāng) K60 時(shí)系統(tǒng)不穩(wěn)定。1/6100/6-1/60-10/6-1K=1K=100第53頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三例7:單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為 試討論不同K值時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。方法？1.畫出Nyquist曲線；2.考慮到K對(duì)系統(tǒng)開環(huán)Nyquist曲線的影響不改變形狀，只作縮小或放大，改變與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求出與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)特別是與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)；3.比

24、較交點(diǎn)與(-1,j0)點(diǎn)的位置關(guān)系；4.根據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)進(jìn)行討論。第54頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三解：1.求系統(tǒng)頻率特性：幅頻、相頻、實(shí)頻、虛頻2.畫Nyquist曲線：3.求交點(diǎn)：4.討論不同K值時(shí)系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)定性的影響：當(dāng) 時(shí)，曲線不包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定。當(dāng) 時(shí)，曲線通過(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。當(dāng) 時(shí)，曲線包圍(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 第55頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Bode穩(wěn)定判據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)是利用系統(tǒng)開環(huán)頻率特性的極坐標(biāo)圖來判定系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性。如果將系統(tǒng)開環(huán)極坐標(biāo)圖變?yōu)殚_環(huán)對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖即

25、Bode圖，同樣也可以用來判定系統(tǒng)閉環(huán)的穩(wěn)定性Bode穩(wěn)定判據(jù)。第56頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三穿越的概念在Nyquist圖中畫一個(gè)單位圓，負(fù)實(shí)軸上所有點(diǎn)的相位為-180。當(dāng)Nyquist曲線穿過負(fù)實(shí)軸時(shí)，如果是在(-1,j0)點(diǎn)左邊穿過，則稱為“穿越”。(-1,j0)正穿越：自上而下，相位增加負(fù)穿越：自下而上，相位減小第57頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三特殊的：當(dāng)Nyquist曲線從負(fù)實(shí)軸出發(fā)時(shí)，沿增加的方向，開環(huán)Nyquist曲線自(-1,j0)點(diǎn)左邊的負(fù)實(shí)軸向下為半次正穿越；自(-1,j0)點(diǎn)左邊的負(fù)實(shí)軸向上為半次負(fù)穿越?？偨Y(jié)：(-

26、1,j0)正穿越半次正穿越半次負(fù)穿越負(fù)穿越第58頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三例：a點(diǎn)、b點(diǎn)：正穿越； c點(diǎn)：負(fù)穿越；第59頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三比較不同K值的三個(gè)系統(tǒng)K很小，負(fù)穿越一次順時(shí)針包圍2圈，N=-2不穩(wěn)定K較大，負(fù)、正穿越各一次順時(shí)針包圍1圈、逆時(shí)針包圍1圈，N=0穩(wěn)定K更大,正穿越一次、負(fù)穿越二次順時(shí)針包圍2圈，N=-2不穩(wěn)定 第60頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三分析圖可知：正穿越一次，Nyquist曲線就逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)一圈；負(fù)穿越一次，Nyquist曲線就順時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)

27、一圈；因此，開環(huán)Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)等于正、負(fù)穿越次數(shù)之差。第61頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Nyquist穩(wěn)定判據(jù)的推導(dǎo)利用穿越的概念對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷：Nyquist曲線逆時(shí)針包圍(-1,j0)點(diǎn)的圈數(shù)N=N+-N-（ N+正穿越次數(shù)，N-負(fù)穿越次數(shù)），如果Z=P/2 - N=0，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定。其中P為系統(tǒng)開環(huán)位于S右半平面的極點(diǎn)數(shù)，Z為系統(tǒng)閉環(huán)位于S右半平面的極點(diǎn)數(shù)。：0+第62頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三舉例系統(tǒng)開環(huán)頻率特性分別為如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 第63頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，

28、5月20日，15點(diǎn)7分，星期三用Nyquist穩(wěn)定判據(jù)穿越次數(shù)來判穩(wěn)：Nyquist圖N+=1，N-=1，N=N+-N-=0若開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定即P=0，則系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定；若系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定即P0，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。第64頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Nyquist圖與Bode圖的關(guān)系Nyquist圖中的單位圓對(duì)應(yīng)到Bode圖中是對(duì)數(shù)幅頻特性曲線中的0dB線即為橫軸；Nyquist圖中的負(fù)實(shí)軸對(duì)應(yīng)到Bode圖中是對(duì)數(shù)相頻特性曲線中的-180線；Nyquist曲線與單位圓的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)到Bode圖中是對(duì)數(shù)幅頻特性曲線與橫軸的交點(diǎn)；(-1,j0)-180第65頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，

29、5月20日，15點(diǎn)7分，星期三ReImNyquist曲線與單位圓的交點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的頻率為C，稱為剪切頻率或幅值穿越頻率；Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的頻率為g，稱為相位穿越頻率；穿越頻率(-1,j0)-18020lgA()()CgCg第66頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Nyquist圖中的正穿越在Bode圖中為相頻特性曲線沿增加的方向、自下而上的穿過-180線；反之，相頻特性曲線沿增加的方向、自上而下的穿過-180線，稱為負(fù)穿越；若對(duì)數(shù)相頻特性曲線自-180線開始向上，稱為半次正穿越；自-180線開始向下，稱為半次負(fù)穿越。-180-90GH-270半次負(fù)穿越

30、半次正穿越w正穿越負(fù)穿越第67頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Bode穩(wěn)定判據(jù)判據(jù)內(nèi)容：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：在Bode圖上，當(dāng)由0變到+時(shí)，在開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性為正值的頻率范圍內(nèi)，開環(huán)對(duì)數(shù)相頻特性對(duì)-180線正穿越與負(fù)穿越次數(shù)之差為P/2時(shí)，閉環(huán)穩(wěn)定；否則不穩(wěn)定。其中P為系統(tǒng)開環(huán)位于S右半平面的極點(diǎn)數(shù)。第68頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三Bode穩(wěn)定判據(jù)推論：對(duì)于最小相位系統(tǒng)，P=0，若C g，則系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定；若C =g，則系統(tǒng)閉環(huán)臨界穩(wěn)定。如果系統(tǒng)開環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線有多個(gè)幅值穿越頻率C ，則取最大的C 進(jìn)行判斷。說明：當(dāng)C g根據(jù)Bo

31、de穩(wěn)定判據(jù)，系統(tǒng)閉環(huán)不穩(wěn)定。1248163102030104060C-180-45-90-135-270gL()()第72頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三三種穩(wěn)定判據(jù)的比較已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為試分析K取不同值時(shí)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。1.應(yīng)用Routh穩(wěn)定判據(jù)求閉環(huán)傳遞函數(shù)：求特征方程：列Routh表：根據(jù)Routh判據(jù)，找不等式組，求參數(shù)取值范圍欲使系統(tǒng)穩(wěn)定，則有：S218-KSK-6s08-K第73頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三2.Nyquist穩(wěn)定判據(jù)：求開環(huán)頻率特性：幅頻、相頻實(shí)頻、虛頻畫Nyquist曲線：起始點(diǎn)：終止點(diǎn)：與軸的

32、交點(diǎn)：第74頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三比較實(shí)軸交點(diǎn)與(-1,j0)點(diǎn)的位置關(guān)系：(-1,j0)(-1,j0)(-1,j0)第75頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三3.Bode穩(wěn)定判據(jù)：開環(huán)傳遞函數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)形式：畫Bode圖：特別注意相頻特性曲線！-180-90124第76頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三K值變化時(shí)，幅頻特性曲線則上下移動(dòng)， 但不影響相頻特性曲線 ；有三種情況： 之間：半次負(fù)穿越、 一次正穿越； 之間：一次正穿越； 之間及以下 ： 沒有穿越-180-90124第77頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三 之間： 半次負(fù)穿越、一次正穿越-180-90124第78頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三 之間： 一次正穿越 代入幅頻特性可得:-180-90124第79頁(yè)，共86頁(yè)，2022年，5月20日，15點(diǎn)7分，星期三 之間及以下 ： 沒有