對稱特征值問題

1、對稱特征值問題 第1頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三 Sturm 序列定義：多項式序列 即為 的特征多項式. 稱為矩陣 的Sturm序列.第2頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三有：性質(zhì)1 ，僅有實根. 這是因為矩陣 的任意k階主子矩陣都是對稱矩陣， 為它的特征多項式，所以它的k個零點都是實數(shù).第3頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三性質(zhì)2 無根，相鄰兩多項式 ， 無公共根. 性質(zhì)3 若 是 的根，則第4頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三事實上, 因為 ,而故有：性質(zhì)4 多項式序列 中相繼兩多項式 和的零點交

2、錯隔開.即 假設(shè)為 的k個零點，則： 第5頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三從而 每個的零點均為單重實零點. 證明：（歸納法） 由于 又：故： 第6頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三同理： 故： 于是由 ,得出 類似可得 于是又由 便得 對于 ，均有： 第7頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三性質(zhì)5 在 的鄰域，所有多項式 都為正， 且當(dāng) 自左向右變動經(jīng)過 的零點 時， 的下降或上升是與 或一致的.Sturm序列基本性質(zhì)： 1.相鄰多項式無公共根 2.若 3.相鄰兩多項式的根彼此交錯 第8頁，共17頁，2022年，5月20日，2點

3、13分，星期三以下記： 為數(shù)列 中相鄰兩數(shù)符號一致的數(shù)目（同號數(shù)）. 例如：注：若 ，則取它的符號與前一個同號. 例如：矩陣第9頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三此時必先求出 的表達式.求多項式 的值時，可用上述遞推公式，不表6.4 第10頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三-31344.224.55111111140-2-3-3.22-3.5-412-4056.3688.25123208-3-7.626-14.875-328016-16-11-0.91719.062804211100第11頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三定理9

4、 若實對稱三對角矩陣 的所有次對角元素不為 零，則 是 在區(qū)間 中根的數(shù)目， 即矩陣 的 的特征根的數(shù)目. 證明：由性質(zhì)5知， 時 的同號數(shù) 現(xiàn)讓 從 起從左向右變動。 當(dāng) 不經(jīng)過所有 的零點 時， 顯然不變； 當(dāng) 經(jīng)過 的零點 時，也不改變. 第12頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三事實上，對于充分小的 在 內(nèi) 均不變號， 根據(jù)性質(zhì)3和5以及關(guān)于 的符號規(guī)定， 在 內(nèi)和 同號，和反號在 內(nèi)和 反號，和同號它們的符號變化為表6.5，6.6之一.總之，通過 的零點時， 不改變. 第13頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三+表6.5表6.6第14頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三當(dāng) 通過 的零點 時，根據(jù)同樣的論證， 由與 （包括在點 ）同號變到與它反號，因而失去一個同號數(shù)，定理證畢. 計算實對稱三對角矩陣特征值的二分法 任意區(qū)間 中所含C的特征值數(shù)目為若C的特征值排列為：且則：第15頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三求特征值 的二分法如下： 給定包含 的初始區(qū)間 （由特征值的位置估計定理1，可取 ）對（1）取 的中點 （2）計算 的同號數(shù) （3）若 則否則（4）若 則令否則第16頁，共17頁，2022年，5月20日，2點13分，星期三 特征向量的計算