圓冪定理講稿

1、關(guān)于圓冪定理第一張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月在經(jīng)過圓外一點的切線上，這一點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長OPAB切線與切線長的區(qū)別與聯(lián)系：（1）切線是一條與圓相切的直線；（2）切線長是指切線上某一點與切點間的線段的長。第二張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 若從O外的一點引兩條切線PA，PB，切點分別是A、B，連結(jié)OA、OB、OP，你能發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？并證明你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論。APO。BPA = PBOPA=OPB證明：PA，PB與O相切，點A，B是切點 OAPA，OBPB 即OAP=OBP=90 OA=OB，OP=OP RtAOPRtBOP(HL) PA = PB

2、OPA=OPB試用文字語言敘述你所發(fā)現(xiàn)的結(jié)論第三張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月PA、PB分別切O于A、BPA = PBOPA=OPB 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。 切線長定理APO。B幾何語言:反思：切線長定理為證明線段相等、角相等提 供了新的方法第四張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月。PBAO（3）連結(jié)圓心和圓外一點（2）連結(jié)兩切點（1）分別連結(jié)圓心和切點反思：在解決有關(guān)圓的切線長問題時，往往需要我們構(gòu)建基本圖形。第五張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月1.切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，

3、圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角，并且垂直平分切點弦。 小 結(jié)：APO。BECDPA、PB分別切O于A、BPA = PB ,OPA=OPBOP垂直平分AB 切線長定理為證明線段相等，角相等，弧相等，垂直關(guān)系提供了理論依據(jù)。必須掌握并能靈活應(yīng)用。2.圓的外切四邊形的兩組對邊的和相等第六張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 例.如圖所示PA、PB分別切圓O于A、B，并與圓O的切線分別相交于C、D，已知PA=7cm，(1)求PCD的周長(2) 如果P=70,求COD的度數(shù)C OPBDAE第七張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月 OABCDEF OABCDE思考題：如圖，AB是O的直徑

4、，AD、DC、BC是切線，點A、E、B為切點，若BC=9，AD=4，求OE的長.哪種更巧妙？你懂了么？第八張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月下面我們首先沿用從特殊到一般的思路,學習與圓有關(guān)的比例線段的幾個定理，希望大家做好記錄.探究1:如圖1,AB是O的直徑,CDAB,AB與CD相交于P,線段PA、PB、PC、PD之間有什么關(guān)系？OBDACP圖1證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:AC.RtAPDRtCPB.第九張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月探究2:將圖中的AB向上（或向下）平移,使AB不再是直徑（如圖），結(jié)論（）還成立嗎？OBDACP圖OBDACP圖PAPB=

5、PCPD(1)證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:AC.RtAPDRtCPB.第十張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月OBDACP圖PAPB=PCPD(1)證明:連接AD、BC.則由圓周角定理的推論可得:AC.APDCPB.探究3:上面討論了CDAB的情形進一步地,如果CD 與AB不垂直，如圖, AB 、CD是圓內(nèi)的任意兩條相交弦,結(jié)論（）還成立嗎？OBDACP圖OBDACP圖PAPB=PCPD(2)PAPB=PCPD(3)綜上所述，不論AB 、 CD具有什么樣的位置，都有結(jié)論（）成立！第十一張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點分成的

6、兩條線段長的積相等.OBDACP幾何語言： AB 、 CD是圓內(nèi)的任意兩條相交弦,交點為P, PAPB=PCPD.上面通過考察相交弦交角變化中有關(guān)線段的關(guān)系，得出相交弦定理.下面從新的角度考察與圓有關(guān)的比例線段第十二張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月探究4:使圓的兩條弦的交點從圓內(nèi)（圖）運動到圓上（圖），再到圓外（圖），結(jié)論(1)還成立嗎？OBDACP圖3OBA(C,P)D圖4OBDACP圖5當點P在圓上,PA=PC=0,所以PAPB=PCPD=0仍成立.當點P在圓外,連接AD、BC,容易證明:PADPCB,所以PA:PC=PD:PB,即PAPB=PCPD仍成立.第十三張，PPT共二十

7、五頁，創(chuàng)作于2022年6月如圖,已知點P為O外一點,割線PBA、PDC分別交O于A、B和C、D. 求證:PAPB=PCPD.證法2：連接AC、BD，四邊形ABDC為O 的內(nèi)接四邊形, PDB= A，又 P=P, PBD PCA. PD ：PA=PB ：PC. PAPB=PCPD.割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每一條割線與圓的交點的兩條線段長的乘積相等.應(yīng)用格式（幾何語言描述）:PAB,PCD是O 的割線, PAPB=PCPD.OCPADB第十四張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月點P從圓內(nèi)移動到圓外PAPB=PCPDOBDACP圖3PAPB=PCPD圖5OCPADBOA(B

8、)PCD使割線PA繞P點運動到切線的位置，是否還有PAPB=PCPD？證明:連接AC、AD,同樣可以證明PADPCA,所以PA:PC=PD:PA,即PA2=PCPD仍成立.第十五張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月如圖,已知點P為O外一點，PA切O于點A，割線PCD 交O于C、D. 求證：PA2=PCPD.證明：連接AC、AD，PA切O于點A,D= PAC.又 P=P, PAC PDA. PA ：PD=PC ：PA. PA2= PCPD.切割線定理:從圓外一點引圓的切線和條割線,切線長是這點到割線與圓的交點的兩條線段長的比例中項.應(yīng)用格式（幾何語言描述）:PA是O 的切線,PCD是O 的

9、割線, PA=PCPD.ODPCA探究5:使圓的割線PD繞點P運動到切線位置，可以得出什么結(jié)論？第十六張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月點P從圓內(nèi)移動到圓外.相交弦定理PAPB=PCPDOBDACP圖3割線定理PAPB=PCPD圖5OCPADB使割線PA繞P點運動到切線的位置.OA(B)PCD切割線定理PA2=PCPD使割線PC繞P點也運動到切線的位置.切線長定理PA=PC,APO=CPOOA(B)PC(D)第十七張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月思考：從這幾個定理的結(jié)論里大家能發(fā)現(xiàn)什么共同點？1.結(jié)論都為乘積式;2.幾條線段都是從同一點出發(fā);3.都是通過三角形相似來證明（都隱

10、含著三角形相似）.PC切O于點C = PAPB=PC切割線定理OBPCA割線PCD、PAB交O于點C、D和A、B = PAPB=PCPD割線定理OBCADPAB交CD于點P = PAPB=PCPD相交弦定理OBPCADPA 、PC分別切O于點A 、C = PA=PC,APO=CPO切線長定理OA(B)PC(D)另外，從全等角度可以得到：第十八張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月2.聯(lián)系直角三角形中的射影定理，你還能想到什么？ADCBCO說明了“射影定理”是“相交弦定理”和“切割線定理”的特例！BADC第十九張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例1 如圖,圓內(nèi)的兩條弦AB、CD相交于

11、圓內(nèi)一點P,已知PA=PB=4,PC=PD/4.求CD的長.OBPCAD解：設(shè)CD=x,則PD=4/5x,PC=1/5x.由相交弦定理，得PAPB=PCPD,44=1/5x4/5x,解得x=10.CD=10.第二十張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月練習1.如圖,割線PAB,PCD分別交圓于A,B和C,D.(1)已知PA=5,PB=8,PC=4,則PD= ,PT=(2)已知PA=5,PB=8,PO=7,則半徑R=103ODPATBCPAPB=(7-R) (7+R)PAC PDB BED AEC PAD PCB OCPADBE第二十一張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月練習2.如圖,

12、A是O上一點,過A切線交直徑CB的延長線于點P,ADBC，D為垂足.求證：PB :PD=PO:PC.分析：要證明PB ：PD=PO ：PC ,很明顯PB、PD、PO、PC在同一直線上無法直接用相似證明，且在圓里的比例線段通?；癁槌朔e式來證明,所以可以通過證明PB PC=PD PO,而由切割線定理有PA2=PB PC,只需再證PA2=PD PO，而PA為切線,所以連接OA,由射影定理 得到.第二十二張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 如圖,E是圓內(nèi)兩弦AB和CD的交點，直線EF/CB,交AD的延長線于點F，F(xiàn)G切圓于點G.求證：(1) DFEEFA; (2)EF=FG.OBECADF

13、G證明： (1)EF/CB, DEF=DCB.DCB和DAB都是 上的圓周角.DAB =DCB=DEF.DFE=EFA（公共角）, DFEEFA.(2)由(1)知 DFEEFA，EF2 =FAFD.又FG是圓的切線，F(xiàn)G2 =FAFD.EF2 =FG2 ,即FG=EF.第二十三張，PPT共二十五頁，創(chuàng)作于2022年6月例3如圖，兩圓相交于A、B兩點，P為兩圓公共弦AB上任意一點，從P引兩圓的切線PC、PD，求證：PC=PD.PC2=PAPB, PD2=PAPB.CPADB證明：由切割線定理可得：PC2=PD2. 即PC=PD例4如圖，AB是O的直徑，過A、B引兩條弦AD和BE，相交于點C求證：ACAD+BCBE=AB2AEDCBFO證明：連接AC、