高等數(shù)學(xué)課件：7-3 物理應(yīng)用

1、7.3 物 理 應(yīng) 用1作功問(wèn)題1、變力作功例在 r 軸的坐標(biāo)原點(diǎn)處置一電量為 q 的正電荷 ,在由它產(chǎn)生的電場(chǎng)的作用下, 一單位正電荷從 r = a處沿 r 軸移動(dòng)到 r = b 點(diǎn) (0 a R ) 推到 h + dh 時(shí) , 作功于是將球完全壓進(jìn)水內(nèi)需作功2、克服重力作功例設(shè)有一半徑為 10 m 的半球形水池內(nèi)儲(chǔ)滿了水 ,現(xiàn)欲將池中水全部抽盡 , 問(wèn)需作功多少 ?解建立坐標(biāo)系如圖所示 .考慮抽掉 x , x+x 這層水所作的功 w ( 水的比重為=1 )這層水的重量 m=V = V 所以 , 抽掉這層水所作的功:由于 是 x 的連續(xù)函數(shù) 故當(dāng) x 很小時(shí) , 于是可證:所以 , 抽掉池中

2、儲(chǔ)水所作的功:例從深井中吊水 , 一吊桶自重 4 公斤 , 纜繩 2公斤/m , 用纜繩從 30 m 深的水井吊水 , 初始時(shí)桶內(nèi)裝有 40 公斤的水 , 并以 2m /秒 的速度勻速上升 , 且桶內(nèi)水以 0.2 公斤/ 秒 速率從桶壁小孔 流出 , 問(wèn)將水吊至井口需作多少功 ?解取坐標(biāo)如圖所示 將水吊至井口所作的功 w = 拉起纜繩所作的功 w1 + 拉起吊桶所作的功 w2 + 提水所作的功 w3(1) 拉起纜繩所作的功 w1在纜繩上取一微元段 x , x + x , 將其提至井口所作的功為:(2) 拉起吊桶所作的功 w2(3) 提水所作的功 w3吊一桶水需要時(shí)間:(秒)在時(shí)刻 t , 桶中

3、的水的質(zhì)量:(公斤)在 t , t+ t 時(shí)間段 , 水被提升的距離:所作的功為所以將水吊至井口所作的功:2 側(cè)壓力問(wèn)題例設(shè)有一半徑為 R 的圓拄體平放在水中( 即圓拄中心軸平行于水面 ) , 其淹沒(méi)情況如圖所示 , 求圓拄體一端面所受的水壓力 解建立坐標(biāo)系如圖所示圓柱底面所受的水壓力 P = 各小細(xì)條所受的水壓力之和考慮 x, x+x 上小細(xì)條所受的水壓力 P , 若記其面積為 S , 壓強(qiáng)為 p , 則 P pS g由于S 2y x , p=x ( 為水的比重 )所以例有等腰梯形水閘 , 上底 6 m , 下底 2 m , 高10 m , 試求當(dāng)水面與上底相接時(shí) , 閘門(mén)所受的水壓力 解建

4、立坐標(biāo)系如圖所示考慮 x, x+x 段上的水壓力 P 3 其它的應(yīng)用例人體心臟輸出的血液量的測(cè)量數(shù)學(xué)模型的建立:人的心血管系統(tǒng)運(yùn)行圖:血液靜脈右心房肺動(dòng)脈肺部 (氧合作用)肺靜脈左心房主動(dòng)脈身體的其余部位心臟的輸出:單位時(shí)間心臟送出的血液量 , 即流向動(dòng)脈的流速 染料稀釋法是用來(lái)測(cè)量心臟輸出的方法 :染料注入右心房 , 并從心臟流入動(dòng)脈 , 在動(dòng)脈內(nèi)插入一探針, 在 0 , T 內(nèi) , 以相同的間隔測(cè)量染料的濃度直至染料全部流逝 設(shè) c(t) 是時(shí)刻 t 時(shí)的染料濃度 ; F 是血流速度( 單位時(shí)間流過(guò)的血液量 (為常數(shù)) ,則在 t , t+ t 時(shí)間段內(nèi) , 流過(guò)的染料量: 染料總量: 所以已知注入右心房的染料總量為 5 (毫克) , 染料濃度c(t) ( mg/L ) 測(cè)得如下表: t012345678910c(t)0.00.42.86.59.88.96.14.02.31.10.0根據(jù)上表 , 利用