向量及其線性關(guān)系

1、2.3 向量間的線性關(guān)系一、向量的線性組合考慮線性方程組例得令第 1 個(gè)方程第 2 個(gè)方程第 3 個(gè)方程稱 是 或的線性組合.可以由 線性表示.1 定義2.8 成立，使關(guān)系式由向量組如果存在一組實(shí)數(shù) 或稱可以則稱可以表為的線性組合,向量組線性表示. 設(shè) 2Rn 中，稱為n 維單位向量組 Rn 中的任一向量，單位向量組 線性表示.都可以由在 n 維向量空間 3例1 可以表為的線性組合設(shè)4例2 解 即方程組無解,線性表示.判斷 能否由 線性表示.不能由 設(shè)設(shè)5(2.10)( 2.10 )(2.10)即方程組(2.10)有解可以由線性表示.方程組(2.10)無解不能由線性表示.即6( 2.10 )即

2、如果方程組(2.10)可以由向量組線性表示,( 2.10 )則且表示法唯一;如果方程組 可由向量組則線性表示,且表示法不唯一.(2.10)有無窮多解,即有唯一解,7例方程組有唯一解：方程組可寫為：表法唯一；例方程組有無窮多解.方程組可寫為表法不唯一.8總有解總有解零向量可以表示為任一向量組的線性組合.即9 二、 線性相關(guān)與線性無關(guān)考慮線性方程組例得令第 1 個(gè)方程第 2 個(gè)方程第 3 個(gè)方程10稱 線性相關(guān).11例 只有當(dāng)系數(shù)即只有都是0時(shí),才有稱 線性無關(guān).12 定義2.9 對(duì)于 中的向量組如果存在 個(gè)不全為0的實(shí)數(shù)使得則稱向量組線性相關(guān). 定義2.10 中的向量組如果不是線性相關(guān),就稱為線

3、性無關(guān).換句話說,如果只有當(dāng)才有時(shí),則稱向量組線性無關(guān).13說明:當(dāng)系數(shù)問:若有若沒有不全為0的則稱則稱線性相關(guān);當(dāng)然成立.上式是否也可能成立?使上式成立,使上式成立,對(duì)任意s個(gè)n 維向量時(shí)，不全為0時(shí),不全為0,當(dāng)線性無關(guān).14例如向量組只有當(dāng)系數(shù)向量組線性相關(guān).時(shí),才有線性無關(guān).如果15 三、 有關(guān)線性相關(guān)與無關(guān)的一些結(jié)論16系數(shù) 一個(gè)向量組中例則這個(gè)向量組線性相關(guān).必線性相關(guān).所以不全為0,若含有零向量，17s個(gè)向量存在s個(gè)不全為0的數(shù)當(dāng)s =1 時(shí),1個(gè)向量1線性相關(guān)存在1個(gè)存在同時(shí) 一個(gè)向量構(gòu)成的向量組不全為0的數(shù) 線性相關(guān)使線性相關(guān)使一個(gè)向量構(gòu)成的向量組 線性無關(guān)使18例不全為0,

4、故1,2 ,s線性相關(guān). 一個(gè)向量組中則這個(gè)向量組必線性相關(guān)。若有兩個(gè)向量的對(duì)應(yīng)分量成比例,19當(dāng)s=2時(shí),2個(gè)向量1,2線性相關(guān)存在2個(gè)不妨設(shè)1,2的對(duì)應(yīng)分量兩個(gè)向量線性相關(guān)不全為0的數(shù)s個(gè)向量存在s個(gè)不全為0的數(shù)使線性相關(guān)使它們的對(duì)應(yīng)分量成比例.設(shè)成比例.則20 四、的一些方法判別向量組是否線性相關(guān)21 線性相關(guān)齊次線性方程組有非零解.是n維向量組 線性無關(guān)齊次線性方程組僅有零解.定理22存在不全為0的數(shù)存在不全為0的數(shù)存在不全為0的數(shù)齊次線性方程組(2.12)有非零解.使使使得證 線性相關(guān)23齊次線性方程組有非零解. 線性相關(guān)24定理向量組線性相關(guān)（無關(guān)）25（無關(guān)）秩定理向量組線性相關(guān)

5、26當(dāng)m n時(shí) 推論 是向量組所含向量的個(gè)數(shù)；是每個(gè)向量的維數(shù). 此向量組一定線性相關(guān).小于 線性相關(guān) 線性相關(guān)向量的維數(shù),當(dāng)向量組中向量組中所含向量的個(gè)數(shù)時(shí)，27例如:n+1個(gè)n維向量5個(gè)3維向量線性相關(guān);線性相關(guān)線性相關(guān)2個(gè)1維向量,3個(gè)2維向量,4個(gè)3維向量線性相關(guān);線性相關(guān).28當(dāng) 時(shí), 線性相關(guān)（無關(guān)）秩29例線性無關(guān).30例 解 線性相關(guān)判斷向量組1 2 3 只作行變換的線性相關(guān)性.相關(guān)，寫出向量間的一個(gè)非平凡的線性關(guān)系.如果線性31例判別向量組是否線性相關(guān),如果線性相關(guān)，寫出向量間的一個(gè)非平凡的線性關(guān)系.解 只作行變換線性相關(guān).非平凡的線性關(guān)系.是向量間的一個(gè)32例判別向量組是否

6、線性相關(guān),如果線性相關(guān),試寫出向量間的一個(gè)非平凡的線性關(guān)系.解線性無關(guān).33向量組存在一組不全為0的數(shù)是向量組 存在一組數(shù) 無不全為 0 的要求如是使使 線性相關(guān)的線性組合1,2的線性組合.34例 線性無關(guān),討論向量組 的線性相關(guān)性.解設(shè)整理,得線性無關(guān),即已知向量組 35其系數(shù)行列式為解當(dāng)s為奇數(shù)時(shí),方程組(*)有非零解,當(dāng)s為偶數(shù)時(shí),故存在不全使(*)式成立,此時(shí)方程組(*)僅有零解,此時(shí)線性無關(guān).為0的線性相關(guān).36向量組的線性組合.線性相關(guān)其中至少有一個(gè)向量是的充要條件是：其余s-1個(gè)向量 定理2.6 五、 有關(guān)線性相關(guān)與無關(guān)的定理例如：1,2,3線性相關(guān)的線性組合.3是1 ,2的線性

7、組合.2是1 ,337向量組的線性組合.線性相關(guān)其中至少有一個(gè)向量是的充要條件是：其余s-1個(gè)向量 定理2.6 證 則存在一組不全為0的數(shù)不妨設(shè)即1為 設(shè) 即1為使線性相關(guān).的線性組合.其余s-1個(gè)向量的線性組合.必要性 則38線性相關(guān)中至少有一個(gè)向量是其余s-1個(gè)向量充分性 不妨設(shè)1是移項(xiàng),得不全為0 線性相關(guān).證畢中至少有一個(gè)向量是其余向量的線性組合,則的線性組合，設(shè)的線性組合.39線性相關(guān)中至少有一個(gè)向量是其余s-1個(gè)向量的線性組合.線性無關(guān)中任意一個(gè)向量其余s-1個(gè)向量的線性組合.都不是40例如：設(shè)向量可由向量組如果則表示方法線性表示,定理.7 在中則表示方法不唯一;線性無關(guān),表法不唯

8、一.表法唯一.是唯一的.線性相關(guān),如果41證設(shè)證表法唯一：兩式相減,得因?yàn)榧从稍O(shè)的方法是唯一的.設(shè)向量可由向量組線性表示,定理.7 在中則表示方法是唯一的.線性無關(guān),所以線性表示如果線性無關(guān),線性無關(guān),42設(shè)向量可由向量組如果則表法不唯一.線性表示,定理.7 在 中，證設(shè)證表法不唯一：設(shè)則存在不全為零使得又因不全為零,故式與的系數(shù)不全即 由向量組不唯一.的實(shí)數(shù)相同.線性相關(guān),線性表示的方法線性相關(guān),43如 Rn 中的任一向量 都可以由單位向量組 線性表示.線性無關(guān)， 可以由線性表示的方法是唯一的.44證 所以存在一組不全為0的數(shù)若k=0,不全為零不全為零則得到可由1,2,s線性表示.矛盾.線性

9、無關(guān),則可由而向量組 線性相關(guān),定理 如果向量組 線性表示,且表法唯一.使得線性相關(guān).且表法唯一.線性相關(guān),因?yàn)?5 定理 則整個(gè)向量組線性相關(guān),有一部分向量(稱為部分組) 如果向量組中如線性相關(guān).系數(shù)不全為零.從而線性相關(guān).也線性相關(guān).部分組46 定理 證不妨設(shè)其中前r個(gè)向量 存在不全為零的數(shù)系數(shù): 不全為零線性相關(guān)至少一個(gè)不等于0則整個(gè)向量組也線性相關(guān).線性相關(guān),中有一部分線性相關(guān).線性有一部分向量(稱為部分組)設(shè)向量組相關(guān),使 如果向量組中47逆否命題:中有一部分線性相關(guān)中任一部分線性相關(guān)整個(gè)向量組 線性無關(guān)都線性無關(guān)整個(gè)向量組 48設(shè)n維向量組線性無關(guān),也線性無關(guān)。即 向量組(1)線性無關(guān)，則在每個(gè)向量上再添m個(gè)分量所得到的n+m維向量組則“加長”后得到的也線性無關(guān).向量組組(2)定理 49即證 設(shè)即線性無關(guān).線性無關(guān).50組（1）線性無關(guān)組（2）線性無關(guān)組（2）線性相關(guān)組（1）線性相關(guān) 一個(gè)向量組線性性相關(guān). 相關(guān),則“縮短”后得到的向量組也線 一個(gè)向量組線性性無關(guān). 無關(guān),則“加長”后得到的向量組也線51例 判斷下列命