人教A版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)期末檢測(cè)試卷(二)

1、期末檢測(cè)試卷(二)(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)一、選擇題(本大題共13小題，每小題4分，共52分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，第110題只有一項(xiàng)符合題目要求；第1113題，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得4分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的不得分)1.以下事件是隨機(jī)事件的是()A.下雨屋頂濕 B.秋后柳葉黃C.有水就有魚 D.水結(jié)冰體積變大答案C解析A，B，D是必然事件.2.在ABC中，若A60，C45，ceq r(3)，則a等于()A.1 B.eq f(3r(2),2) C.eq f(2r(3),3) D.2答案B解析由正弦理得，aeq f(csin A,sin C)eq f(3r(2)

2、,2).3.設(shè)復(fù)數(shù)zeq f(2i,1i)(其中i為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限答案A解析zeq f(2i,1i)eq f(2i1i,1i1i)eq f(2i1i,2)1i，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(1,1)，在第一象限.4.某單位青年、中年、老年職員的人數(shù)之比為1087，從中抽取200名職員作為樣本，若每人被抽取的概率是0.2，則該單位青年職員的人數(shù)為()A.280 B.320 C.400 D.1 000答案C解析由題意知這是一個(gè)分層隨機(jī)抽樣問題，青年、中年、老年職員的人數(shù)之比為1087，從中抽取200名職員作為樣本，要從該單位青年職員

3、中抽取的人數(shù)為eq f(10,1087)20080，每人被抽取的概率為0.2，該單位青年職員共有eq f(80,0.2)400(人).5.已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，|ab|2，則|ab|等于()A.1 B.eq r(2) C.eq r(5) D.eq r(6)答案D解析|ab|2|a|2|b|22ab，abeq f(1,2)，|ab|2|ab|24ab，|ab|26，|ab|eq r(6).6.已知a(2，3)，b(1，2)，且ca，bc1，則c的坐標(biāo)為()A.(3，2) B.(3,2)C.(3，2) D.(3,2)答案C解析設(shè)c(x，y)，則有eq blcrc (avs4alco

4、1(2x3y0，,x2y1，)解得eq blcrc (avs4alco1(x3，,y2.)故c(3，2).7.我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著數(shù)書九章中有“天池盆測(cè)雨”題，大概意思如下：在下雨時(shí)，用一個(gè)圓臺(tái)形的天池盆接雨水，天池盆盆口直徑為2尺8寸，盆底直徑為1尺2寸，盆深1尺8寸，若盆中積水深9寸，則平均降雨量是(注：平均降雨量等于盆中積水體積除以盆口面積；1尺等于10寸)()A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸答案A解析作出圓臺(tái)的軸截面如圖所示，由題意知，BF14寸，OC6寸，OF18寸，OG9寸，即G是OF的中點(diǎn)，GE為梯形OCBF的中位線，GEeq f(146,2)10寸，即積水的上底面半徑為10寸

5、，盆中積水的體積為eq f(1,3)(10036106)9588(立方寸)，又盆口的面積為142196(平方寸)，平均降雨量是eq f(588,196)3(寸)，即平均降雨量是3寸.8.在ABC中，若sin2Asin2B2sin2C，則角C為()A.鈍角 B.直角C.銳角 D.60答案C解析由sin2Asin2B2sin2C，得a2b22c2，即a2b2c2c20，又由余弦定理可得cos Ceq f(a2b2c2,2ab)0，所以角C為銳角.9.甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，兩人都隨機(jī)出拳，則一次游戲兩人平局的概率為()A.eq f(1,3) B.eq f(2,3) C.eq f(

6、1,4) D.eq f(2,9)答案A解析甲、乙兩個(gè)人進(jìn)行“剪子、包袱、錘”的游戲，所以可能出現(xiàn)的結(jié)果列表如下：甲乙錘剪子包袱錘(錘，錘)(錘，剪子)(錘，包袱)剪子(剪子，錘)(剪子，剪子)(剪子，包袱)包袱(包袱，錘)(包袱，剪子)(包袱，包袱)因?yàn)橛杀砀窨芍?，共?種等可能情況.其中平局的有3種(錘，錘)、(剪子，剪子)、(包袱，包袱).設(shè)事件A為“甲和乙平局”，則P(A)eq f(3,9)eq f(1,3).10.正方體ABCDA1B1C1D1中，直線AD與平面A1BC1所成角的正弦值為()A.eq f(1,2) B.eq f(r(3),2) C.eq f(r(3),3) D.eq f

7、(r(6),3)答案C解析如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，直線AD與B1C1平行，則直線AD與平面A1BC1所成角的正弦值即為B1C1與平面A1BC1所成角的正弦值.因?yàn)锳1BC1為等邊三角形，則B1在平面A1BC1上的投影即為A1BC1的中心O，則B1C1O為B1C1與平面A1BC1所成角.可設(shè)正方體邊長(zhǎng)為1，顯然BOeq f(r(3),3)eq r(2)eq f(r(6),3)，因此B1Oeq r(1blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),3)2)eq f(r(3),3)，則sinB1C1Oeq f(B1O,B1C1)eq f(r(3),3).11.從裝有兩個(gè)紅球和三

8、個(gè)黑球的口袋里任取兩個(gè)球，那么不互斥的兩個(gè)事件是()A.“至少有一個(gè)黑球”與“都是黑球”B.“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”C.“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”D.“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”答案AB解析“至少有一個(gè)黑球”中包含“都是黑球”，A正確；“至少有一個(gè)黑球”與“至少有一個(gè)紅球”可能同時(shí)發(fā)生，B正確；“恰好有一個(gè)黑球”與“恰好有兩個(gè)黑球”不可能同時(shí)發(fā)生，C不正確；“至少有一個(gè)黑球”與“都是紅球”不可能同時(shí)發(fā)生，D不正確.12.在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，如圖，則下列等式成立的是()A.|eq o(AC,sup6()|2eq o(AC,sup6()eq o(AB

9、,sup6()B.|eq o(BC,sup6()|2eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()C.|eq o(AB,sup6()|2eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()D.|eq o(CD,sup6()|2eq f(o(AC,sup6()o(AB,sup6()o(BA,sup6()o(BC,sup6(),|o(AB,sup6()|2)答案ABD解析eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()|eq o(AC,sup6()|eq o(AB,sup6()|cos A，由|eq o(AB,sup6()|cos A|eq o(AC,sup6()|可得|eq

10、 o(AC,sup6()|2eq o(AC,sup6()eq o(AB,sup6()，即選項(xiàng)A正確，eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()|eq o(BA,sup6()|eq o(BC,sup6()|cos B，由|eq o(BA,sup6()|cos B|eq o(BC,sup6()|可得|eq o(BC,sup6()|2eq o(BA,sup6()eq o(BC,sup6()，即選項(xiàng)B正確，由eq o(AC,sup6()eq o(CD,sup6()|eq o(AC,sup6()|eq o(CD,sup6()|cos(ACD)0，知選項(xiàng)C錯(cuò)誤，由圖可知RtACDRtABC，

11、所以ACBCABCD，由選項(xiàng)A，B可得|eq o(CD,sup6()|2eq f(o(AC,sup6()o(AB,sup6()o(BA,sup6()o(BC,sup6(),|o(AB,sup6()|2)，即選項(xiàng)D正確.13.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，且EFeq f(1,2)，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.ACAFB.EF平面ABCDC.三棱錐ABEF的體積為定值D.AEF的面積與BEF的面積相等答案AD解析A.因?yàn)锳CBD，而BDB1D1，所以ACB1D1，即ACEF，若ACAF，則AC平面AEF，即可得ACAE，由圖分析顯然不成立，故A不正

12、確；B.因?yàn)镋FBD，EF平面ABCD，BD平面ABCD，所以EF平面ABCD，故B正確；C.VABEFeq f(1,3)SBEFeq f(1,2)ACeq f(1,3)eq f(1,2)EFBB1eq f(1,2)ACeq f(1,12)EFBB1AC，所以體積是定值，故C正確；D.設(shè)B1D1的中點(diǎn)是O，點(diǎn)A到直線EF的距離是AO，而點(diǎn)B到直線EF的距離是BB1，所以AOBB1，SAEFeq f(1,2)EFAO，SBEFeq f(1,2)EFBB1，所以AEF的面積與BEF的面積不相等，D不正確.二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分)14.在感冒流行的季節(jié)，設(shè)甲、乙患感冒的概率

13、分別為0.6和0.5，則兩人都不感冒的概率是_，兩人中有人患感冒的概率是_.答案0.20.8解析“有人感冒”這一事件包括甲、乙中有一人感冒和全都感冒.設(shè)事件A：甲患感冒，事件B：乙患感冒.則則兩人都不感冒這一事件的概率為P(eq xto(A)eq xto(B)1P(A)1P(B)0.2，兩人中有人感冒這一事件的概率為P(eq xto(A)BAeq xto(B)AB)P(eq xto(A)B)P(Aeq xto(B)P(AB)P(eq xto(A)P(B)P(A)P(eq xto(B)P(A)P(B)P(eq xto(A)P(B)P(A)0.40.50.60.8.15.已知非零向量a，b滿足|a

14、|4|b|，且b(a2b)，則a與b的夾角為_.答案eq f(2,3)解析設(shè)a與b的夾角為，根據(jù)題意，可得b(a2b)0，即|a|b|cos 2b20，代入|a|4|b|，得到cos eq f(1,2)，于是a與b的夾角為eq f(2,3).16.某人5次上班途中所花的時(shí)間(單位：分鐘)分別為x，y,10,11,9.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10，方差為2，則|xy|的值為_.答案4解析由題意可得，xy20，(x10)2(y10)28，設(shè)x10t，y10t，則2t28，解得t2，|xy|2|t|4.17.ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知ab，c22b2(1sin C)，則C_.答

15、案eq f(,4)解析c22b2(1sin C)，可得，sin C1eq f(c2,2b2)，又ab，由余弦定理可得，cos Ceq f(a2b2c2,2ab)1eq f(c2,2b2)sin C，sin Ccos C0，可得eq r(2)sineq blc(rc)(avs4alco1(Cf(,4)0，C(0，)，可得Ceq f(,4)eq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)，f(3,4)，Ceq f(,4)0，可得Ceq f(,4).三、解答題(本大題共6小題，共82分)18.(12分)已知|a|4，|b|8，a與b夾角是120.(1)求ab的值及|ab|的值；(2)當(dāng)k為何值時(shí)

16、，(a2b)(kab)?解(1)由向量的數(shù)量積的運(yùn)算公式，可得ab|a|b|cos 12048eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)16，|ab|eq r(a2b22ab)eq r(4282216)4eq r(3).(2)因?yàn)?a2b)(kab)，所以(a2b)(kab)ka22b2(2k1)ab0，整理得16k128(2k1)(16)0，解得k7.即當(dāng)k7時(shí)，(a2b)(kab).19.(12分)如圖，在三棱錐ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點(diǎn)，ABAD，AEBC.求證：(1)EF平面ACD；(2)AECD.證明(1)因?yàn)樵贐CD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BD，BC的中點(diǎn)，所

17、以EFCD，又因?yàn)镋F平面ACD，CD平面ACD，從而EF平面ACD.(2)因?yàn)辄c(diǎn)E是BD的中點(diǎn)，且ABAD，所以AEBD，又因?yàn)锳EBC，BC平面BCD，BD平面BCD，BCBDB，故AE平面BCD，因?yàn)镃D平面BCD，所以AECD.20.(14分)在ABC中，cos(AC)0，sin Aeq f(1,3).(1)求sin C的值；(2)設(shè)ABC的平分線與AC交于D，若AC3，求BD的長(zhǎng).解(1)由cos(AC)0，得ACeq f(,2)，又由ABC，所以Beq f(,2)，所以sin Csineq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)A)cos Aeq f(2r(2),3).(2

18、)在RtABC中，sin Aeq f(1,3)，AC3，所以BCACsin A3eq f(1,3)1，在DBC中，sinBDCsineq blc(rc)(avs4alco1(f(,4)A)eq f(r(2),2)(sin Acos A)eq f(4r(2),6)，由正弦定理得，eq f(BD,sin C)eq f(BC,sinBDC)，所以BDeq f(BCsin C,sinBDC)eq f(f(2r(2),3),f(4r(2),6)eq f(8r(2)4,7).21.(14分)某集團(tuán)公司為了加強(qiáng)企業(yè)管理，樹立企業(yè)形象，考慮在公司內(nèi)部對(duì)遲到現(xiàn)象進(jìn)行處罰，現(xiàn)在員工中隨機(jī)抽取200人進(jìn)行調(diào)查，當(dāng)不

19、處罰時(shí)，有80人遲到，處罰時(shí)，得到如下數(shù)據(jù)：處罰金額x(單位：元)50100150200遲到的人數(shù)y5040200若用表中數(shù)據(jù)所得頻率代替概率.(1)當(dāng)處罰金額定為100元時(shí)，員工遲到的概率會(huì)比不進(jìn)行處罰時(shí)降低多少？(2)將選取的200人中會(huì)遲到的員工分為A，B兩類：A類員工在罰金不超過100元時(shí)就會(huì)改正行為；B類是其他員工.現(xiàn)對(duì)A類與B類員工按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷，則前兩位均為B類員工的概率是多少？解(1)設(shè)“當(dāng)罰金定為100元時(shí)，某員工遲到”為事件A，則P(A)eq f(40,200)eq f(1,5)，不處罰時(shí)，某員工遲到的概率為eq f(80,200)eq f(2

20、,5).當(dāng)罰金定為100元時(shí)，比不制定處罰，員工遲到的概率會(huì)降低eq f(1,5).(2)由題意知，A類員工和B類員工各有40人，分別從A類員工和B類員工各抽出兩人，設(shè)從A類員工抽出的兩人分別為A1，A2，從B類員工抽出的兩人分別為B1，B2，設(shè)“從A類與B類員工按分層隨機(jī)抽樣的方法抽取4人依次進(jìn)行深度問卷”為事件M，則事件M中首先抽出A1的基本事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)共6種，同理，首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6種，故事件M共有4624(種

21、)基本事件，設(shè)“抽取4人中前兩位均為B類員工”為事件N，則事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)共4種基本事件，P(N)eq f(4,24)eq f(1,6)，抽取4人中前兩位均為B類員工的概率是eq f(1,6).22.(15分)某市為增強(qiáng)市民的環(huán)境保護(hù)意識(shí)，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組20,25)，第2組25,30)，第3組30,35)，第4組35,40)，第5組40,45，得到的頻率分布直方圖如圖所示.(1)若從第3,4,5組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取6

22、名志愿者參加廣場(chǎng)的宣傳活動(dòng)，應(yīng)從第3,4,5組各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的條件下，該市決定在這6名志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第5組志愿者有被抽中的概率.解(1)第3組的人數(shù)為0.310030，第4組的人數(shù)為0.210020，第5組的人數(shù)為0.110010，因?yàn)榈?,4,5組共有60名志愿者，所以利用分層隨機(jī)抽樣的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每組抽取的人數(shù)分別為：第3組eq f(30,60)63；第4組eq f(20,60)62；第5組eq f(10,60)61.所以應(yīng)從第3,4,5組中分別抽取3人，2人，1人.(2)設(shè)“第5組的志愿者有被抽中”為事件A.記第3組

23、的3名志愿者為A1，A2，A3，第4組的2名志愿者為B1，B2，第5組的1名志愿者為C1，則從6名志愿者中抽取2名志愿者有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有15種等可能情況.其中第5組的志愿者被抽中的有5種，P(A)eq f(5,15)eq f(1,3).答第5組的志愿者有被抽中的概率為eq f(1,3).23.(15分)如圖在AOB中，D是邊OB的中點(diǎn)，C是OA上靠近O的三等分點(diǎn)，AD與BC交于M點(diǎn)，設(shè)eq o(OA,s