圓錐曲線中的最值問題教學(xué)提綱

1、學(xué)習(xí)資料圓錐曲線最值問題一、構(gòu)造直線的橫、縱截距求最值例1、若實數(shù) x, y 滿足 x 2y 22x4 y0 ,求 x2 y0 的最大值 .二、構(gòu)造直線的斜率求最值例 2、若實數(shù)x, y 滿足 (x2) 2y 23 ,求 y 的最大值 .x三、構(gòu)造點到直線的距離公式求最值例 3、已知圓 (x3)2( y3) 21，求 2xy1 的最值 .各種學(xué)習(xí)資料，僅供學(xué)習(xí)與交流學(xué)習(xí)資料四、構(gòu)造平面內(nèi)兩點間距離公式求最值例 4、平面內(nèi)有兩點A( 1,0), B(1,0), P 為圓 (x 3) 2( y 4) 2221上一點，求 PAPB的最大值、最小值.五、構(gòu)造三點共線的線段求最值例 5、已知橢圓 x 2

2、y 21的右焦點為 F，且有定點A(1,1) ，又 P 為橢圓上任意一點，259求 PFPA 的最大值 .六、利用圓錐曲線的第二定義求最值例 6、若點 A 的坐標(biāo)為 (3,2) ， F 為拋物線 y 22x 的焦點，點P 在該拋物線上移動，求PA PF 的最小值 .各種學(xué)習(xí)資料，僅供學(xué)習(xí)與交流學(xué)習(xí)資料七、利用圓錐曲線的參數(shù)方程求最值例 7、已知點P 是橢圓 x28 y 28 上到直線 l : xy40 的距離最小的點，則點P 的坐標(biāo)是（）A. ( 8,1)B.( 1,8) C.(0, 1) D.(22,0)3333八、利用重要不等式求最值例 8、 已知圓 C : ( xa) 2( yb) 28

3、,(ab0) 過坐標(biāo)原點，則圓心C到直線xyl :1距離的最小值等于（）abA.2B. 2C.2 2D.ab各種學(xué)習(xí)資料，僅供學(xué)習(xí)與交流學(xué)習(xí)資料解答：例題 1 分析 : x2y 22 x4 y0 ,即 ( x 1)2( y 2) 25y(x, y) 即是此圓上一點 ,設(shè) x 2y b, 則 x 2 y 的最值即是直線 x 2yb 0Ox在 x 軸截距的最值 ,故可利用直線截距求解 . 解 : 如圖 1， x, y滿足 x2y 22x 4 y 0 .(x.y)是圓（ x1) 2( y2)25上的點,x2 y 10 0設(shè) x 2 y b,則 當(dāng) 直 線 x2 y b 0 與 圓 相 切 時圖 11

4、2( 2)b有:55(5b) 225b0或b102y 的最大值為 10.例題 2分析:yy0 xx，聯(lián)想到動點 ( x, y) 到原點的連線的斜率，則問題轉(zhuǎn)化為求斜率0k 的最大值 . 解 : 如圖 2,設(shè) ky ,則ykx. ，yxA當(dāng)直線與圓切于A 點 ,圓 ( x 2)2y 23的圓心為 C,則CA OA.OC(2,0)x易知 OC2, AC3,OA1, ktg AOC3.所以 y 的最大值是3圖 2x例題 3 分析：P( x, y) 到直線 2xy 12xy 1y0 的距離為54F2xy 1即是圓 (x3) 2( y3) 21上的動點到3C2E1直線 2xy1 0距離的5 倍，所以構(gòu)造

5、點到直線AO 12 3 4x各種學(xué)習(xí)資料，僅供學(xué)習(xí)與交流圖 3學(xué)習(xí)資料的距離公式求解. 解 : 如圖 3，作直線 2xy10 ，過圓心 C (3,3) 作直線 2xy10 的垂線 AC 交圓 ( x3) 2( y3) 21于兩點 E、 F.則 E 到直線 2xy10 的距離最小， F 到直線 2xy10 的距離最大 .圓心 C 到直線 2x y10 的距離為：AC23318552xy1 的最大值為5(81)85 ，最小值為5(81)8555例題 4 分析：設(shè) P( x, y) 為圓 (x 3)2( y4) 21上任意一點，22( x 1) 2y 2(x1) 2y22( x2y 2 ) 2PAP

6、B而 x2y 2 可構(gòu)造為圓上的點到坐標(biāo)原點距離的平方，yE從而將問題轉(zhuǎn)化為兩點間距離問題，使原問題明朗化.4C3 解 : 設(shè) P(x, y) 為圓 ( x3)2( y4)21上任意一點，則D222( x 1)2y2( x1)2y22(x2y2)21BPAPBA如圖 4，過圓心 C 作直線 OC 交圓 C 于 D、 E 兩點，-1O234xyF圓 C 上點 D 即是到原點距離的最小點，E 即是到原點距離的最大點 .圖 4(3 0)2( 40) 254C而： OC3E2OD514, OE51 6,1BAO224 2234 ，最大值為 262274 .-112 3 4x則 PAPB 的最小值為 2

7、圖 4例題 5 分析：設(shè)橢圓的左焦點為F ,則由橢圓定義知PFPF10 ，PFPA10 PFPA10PAPF問題轉(zhuǎn)化為求PAPF的最大值 .聯(lián)想到構(gòu)造三點共線的線段，連結(jié) AF延長交橢圓于 P 點，由三角形知識易知PAPF的最大值為AF，問題得以解決 . 解 : 如圖 5，設(shè) F 為橢圓的左焦點，則由橢圓定義PFPF10 ，各種學(xué)習(xí)資料，僅供學(xué)習(xí)與交流學(xué)習(xí)資料則 PFPA10PFPA 10 PA PF連結(jié) AF 延長交橢圓于 P 點，若 P 與 P 點不同 .y則在APF 中APAPFAFP AP FFFP0OxPAPF的最大值為AFPa5, b 3,c4圖 5F (4,0), A(1,1)A

8、F26 ，故 PFPA 得最大值為 1026例題 6 分析： A(3,2) 在拋物線內(nèi)，設(shè)P 到準(zhǔn)線的距離為PT ，則由拋物線定義PAPFPAPT ，當(dāng)且僅當(dāng) P、 A、 T 三點共線時， PAPF 的值最小 . 解 : 如圖 6， P 為拋物線上任意一點，過 P 作 PT 垂直于準(zhǔn)線 l ，則y由拋物線定義知PFPTP0T0A2則 PFPAPTPATP1過A 作準(zhǔn)線l 的垂線交拋物線y22x 于 P 點，-1OF123yFx交準(zhǔn)線 l 于 T 點 .4C3由三角形知識知E2PTPAP TPA TA圖 6 A11B準(zhǔn)線 l 的方程為 x-1O 12 3 4x，A T3( 1)27圖 422故

9、PAPF 的最小值為 72各種學(xué)習(xí)資料，僅供學(xué)習(xí)與交流學(xué)習(xí)資料例題 7分析:先將橢圓方程 x 28y 28 化為標(biāo)準(zhǔn)方程x 2y21，即 a 2 2,b 1 ,8再將標(biāo)準(zhǔn)方程轉(zhuǎn)化成參數(shù)方程的坐標(biāo) ,x2 2 cos ( 為參數(shù)） 就得到動點 P( 2 2 cos ,sin )ysin利用點到直線的距離公式及三角函數(shù)的求最值的方法, 問題得到解決. 解 : 將 x28 y 28 化成參數(shù)方程x 22 cos ( 為參數(shù)） ，設(shè) P( 2 2 cos, sin ) ，ysin22 cossin43sin()42 2 ,cos1則 d2（其中 sin）233當(dāng) sin()1時， dmin2.2此時可以取得，從而可得到 P(8,1) .故選 A.233例題 8分析：由圓 C : (x a)2( yb) 28, (ab 0) 過坐標(biāo)原點得 a 2b 28，抓住定值 a2b 28 , 利用重要不等式a2b2ab 求最值，但是不要忽視等號成