二元函數(shù)的泰勒公式課件

1、10.4 二元函數(shù)的泰勒公式 就本節(jié)自身而言，引入高階偏導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)出泰勞公式的需要；而泰勞公式除了用于近似計算外, 又為建立極值判別準(zhǔn)則作好了準(zhǔn)備. 三、極值問題 一、高階偏導(dǎo)數(shù)二、中值定理和泰勒公式一、高階偏導(dǎo)數(shù) 如果它們關(guān)于 x 與 y 的偏導(dǎo)數(shù)也 導(dǎo)數(shù)有如下四種形式: 存在, 說明具有二階偏導(dǎo)數(shù)二元函數(shù)的二階偏類似地可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù), 例如 的三階偏導(dǎo)數(shù)共有八種情形: 解 由于 例1 數(shù)為 例2 注意 在上面兩個例子中都有 的混合偏導(dǎo)數(shù): 由此看到, 這兩個混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān). 那么 在什么條件下混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)呢? 為此 式. 由于 因此有類似地有 這兩個累次極限相等

2、. 下述定理給出了使 (1) 與 (2) 相等的一個充分條件 連續(xù)，則 證 令 于是有 (4)(3)由 (4) 則有 (5)如果令在且相等，這就得到所要證明的 (3) 式 合偏導(dǎo)數(shù)都與求導(dǎo)順序無關(guān) 注2 這個定理對 n 元函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)也成立. 例 由定理假設(shè) 都在點 連 續(xù), 故當(dāng) 時, (7) 式兩邊極限都存 如三元函數(shù) 的如下六個三階混合偏導(dǎo)數(shù) 若在某一點都連續(xù)，則它們在這一點都相等 今后在牽涉求導(dǎo)順序問題時, 除特別指出外, 一般 都假設(shè)相應(yīng)階數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù) 復(fù)合函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù) 設(shè) 數(shù) 同樣存在二階連續(xù) 同理可得 例3 改寫成如下形式: 由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式，有 自變量的復(fù)合函數(shù)

3、所以 二、中值定理和泰勒公式 二元函數(shù)的中值公式和泰勒公式, 與一元函數(shù)的拉 也有相同的公式，只是形式上更復(fù)雜一些 先介紹凸區(qū)域 若區(qū)域 D 上任意兩點的連線都含于 D, 則稱 D 為凸區(qū)域 (圖10.3- 6). 這就是說, 若 D 為 一切 恒有的一元連續(xù)函數(shù), 且在 (0, 1) 內(nèi)可微. 根據(jù)一元函數(shù) 其中 中值定理， ，使得 (10) (9), (10) 兩式即得所要證明的 (8) 式 注 若 D 為嚴(yán)格凸區(qū)域，即 ，都有 分析 將上式改寫成 例4 對 應(yīng)用微分中值定 理，證明存在某個 之間應(yīng)用微分中值定理計算偏導(dǎo)數(shù): 證 首先, 當(dāng) , 有 再 定理 9 (泰勒定理) 若 在點 內(nèi)

4、任一點 內(nèi)有直到 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 則對 其中證 類似于定理8 的證明，先引入輔助函數(shù) (11) 式稱為 的 n 階泰勒公式, 并稱其中 而首項 也可看作 的情形. 件，于是有由假設(shè)， 上滿足一元函數(shù)泰勒公式的條應(yīng)用復(fù)合求導(dǎo)法則, 可求得 的各階導(dǎo)數(shù)如下: (12)公式 (11)將 (13), (14) 兩式代入 (12) 式, 就得到所求之泰勒 時的特殊情形. 此時的 n 階泰勒公式可寫作 則僅需 內(nèi)存在 n 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)即可, 將它們代入泰勒公式 (15)，即有 與1、例7 的結(jié)果 (1. 32) 相比較，這是更接近于真 微分近似相當(dāng)于現(xiàn)在的一階泰勒公式三、極值問題 多元函數(shù)的極值問題是

5、多元函數(shù)微分學(xué)的重要應(yīng) 用, 這里仍以二元函數(shù)為例進(jìn)行討論. 有定義. 若 極大值點、極小值點統(tǒng)稱極值點 的極大 (或極小) 值點. 極大值、極小值統(tǒng)稱極值; 極 注意 這里討論的極值點只限于定義域的內(nèi)點 點, 是 g 的極大值點, 但不是 h 的極值點這是因 同極值; 也取相同極值. 于是 得到二元函數(shù)取極值的必要條件如下:定理 10 (極值的必要條件) 若函數(shù) 在點 值 (注 由定義可見, 若 在點取極值, 則當(dāng)固 存在偏導(dǎo)數(shù), 且在取得極值, 則必有 的穩(wěn)定點. 上述定理指出: 偏導(dǎo)數(shù)存在時, 極值點必是穩(wěn)定點. 但要注意: 穩(wěn)定點并不都是極值點在例 6 中之所 以只討論原點, 就是因為

6、原點是那三個函數(shù)的惟一 穩(wěn)定點；而對于函數(shù) h, 原點雖為其穩(wěn)定點,但卻不 是它的極值點. 與一元函數(shù)的情形相同, 多元函數(shù)在偏導(dǎo)數(shù)不存在 原點沒有偏導(dǎo)數(shù), 但 (17)定點, 則有如下結(jié)論: 于是有 證 由 在的二階泰勒公式，并注意到條件二次型 連續(xù)函數(shù) ( 仍為一正定二次型 ) 首先證明: 當(dāng) 正定時， 在點 取得極小 值這是因為，此時對任何 恒使 極大值由于 因此在此有界 閉域上存在最小值 ，于是有即在點 取得極小值亦取 則沿著過 的任何直線 最后證明: 當(dāng) 為不定矩陣時, 在點 不 極小值, 則將導(dǎo)致 必須是正半定的. 也就是 的或負(fù)半定的，這與假設(shè)相矛盾這表明 必須是負(fù)半定的. 同理

7、, 倘若 取 系，定理11又可寫成如下比較實用的形式 根據(jù)對稱矩陣的定號性與其主子行列式之間的關(guān) 若如定理11 所設(shè)，則有如下結(jié)論: 是否取得極值 解 由方程組 例7 取得極小值; 取得極大值; 例8 討論 是否存在極值 得極值?因 ，故原點不是 的 極值點. 又因 處處可微，所以 沒有極值點. 解 容易驗證原點是 的穩(wěn)定點, 且 故由定理11 無法判斷 在原點是否取得極值 但因為在原點的任意小鄰域內(nèi), 當(dāng) 時 由極值定義知道, 極值只是函數(shù)的一個局部性概念.想求出函數(shù)在有界閉域上的最大值和最小值, 方法 與一元函數(shù)問題一樣：需先求出在該區(qū)域上所有穩(wěn) 定點、無偏導(dǎo)數(shù)點處的函數(shù)值, 還有在區(qū)域邊

8、界上 的這類特殊值；然后比較這些值, 其中最大 (小)者 即為問題所求的最大 (小) 值 以 f (0, 0) = 0 不是極值 ( 參見圖10.3-7 ) 例10 證明: 圓的所有外切三角形中, 以正三角形的 面積為最小證 如圖10.3- 8 所示, 設(shè)圓的半徑為 a, 任一外切三角 圖10.3-8圖10.3-7式為 其中 . 為求得穩(wěn)定點, 令 形為 ABC, 三切點處的半徑相夾的中心角分別為 在定義域內(nèi), 上述方程組僅有惟一解: 的二階偏導(dǎo)數(shù): 此穩(wěn)定點處取得極小值 因為 , 面積函數(shù) S 在定義域中處處存在偏正三角形的面積為最小解 (i) 求穩(wěn)定點：解方程組 導(dǎo)數(shù)，而具體問題存在最小值

9、，故外切三角形中以 因此 得穩(wěn)定點 (ii) 求極值：由于 的黑賽矩陣為 (iii) 求在 上的特殊值: 當(dāng) 當(dāng)，當(dāng)，算出 單調(diào)增, 算出兩端值 圖形, 上面的討論都能在圖中清晰地反映出來 一點與一元函數(shù)是不相同的，務(wù)請讀者注意！ 注 本例中的 上雖然只有惟一極值, 且為極 小值，但它并不因此成為 上的最小值這 圖 10.3 - 9 例12 ( 最小二乘法問題 ) 設(shè)通過觀察或?qū)嶒灥玫揭?上，即大體上可用直線 方程來反映變量 x 與 y 之間的對應(yīng)關(guān)系 ( 參見 圖10.3-10 ). 現(xiàn)要確定一 直線, 使得與這 n 個點 的偏差平方之和為最小( 最小二乘方 ) 圖 10.3 - 10 解 設(shè)所求