《蒙特卡羅方法及應(yīng)用》1.蒙特卡羅方法概述

1、蒙特卡羅方法及應(yīng)用0.1 課程安排0.1.1 主要基礎(chǔ)課程 高等數(shù)學(xué)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計、核物理、核輻射測量原理0.1.2 采用教材 蒙特卡羅方法在實驗核物理中的應(yīng)用0.1.3 主要參考書 蒙特卡羅方法及其在粒子輸運問題中的應(yīng)用0.1.4 學(xué)時安排課堂教學(xué)26學(xué)時，實驗12學(xué)時0.1.5 考核方式（100分）作業(yè)（10%） 獨立、認(rèn)真、按時完成每次作業(yè)?？荚嚕?0%）嚴(yán)格按照制度進行考勤 (10%） 抽查、事前請批假實驗（30%）簽到、實驗報告0.1.6 輔導(dǎo)和作業(yè)每周集中輔導(dǎo)一次可以到實驗室（地學(xué)樓A307）答疑在教學(xué)過程中，穿插習(xí)題課課前早到，個別交流提問0.1.7 怎樣學(xué)習(xí)？專心、努力。做

2、任何事情，只要肯專心、努力的去做，總會有收獲?；ū匾臅r間。上課、作業(yè)、實驗與答疑，課后復(fù)習(xí)。掌握課程思路，抓住要點。舉一反三，靈活應(yīng)用。綜合訓(xùn)練，拓展思維。第一章 蒙特卡羅方法概述蒙特卡羅方法的基本思想蒙特卡羅方法的收斂性與誤差蒙特卡羅方法的特點蒙特卡羅方法的主要應(yīng)用范圍作 業(yè)第一章 蒙特卡羅方法概述 蒙特卡羅方法(隨機抽樣技巧或統(tǒng)計試驗方法)。半個多世紀(jì)以來，由于計算機技術(shù)的發(fā)展，這種方法作為一種獨立的方法提出來，并首先在核武試驗中得到了應(yīng)用。 蒙特卡羅方法是一種計算方法，但與一般數(shù)值計算方法有很大區(qū)別。它是以概率統(tǒng)計理論為基礎(chǔ)的一種方法。由于蒙特卡羅方法能夠比較逼真地描述事物的特點及物理

3、實驗過程，解決一些數(shù)值方法難以解決的問題，因而該方法的應(yīng)用領(lǐng)域廣泛。蒙特卡羅方法的基本思想 蒙特卡羅方法首先在核武試驗與研制中得到了應(yīng)用。但其基本思想并非新穎，人們在生產(chǎn)實踐和科學(xué)試驗中就已發(fā)現(xiàn)，并加以利用。兩個例子 例1. 求圓周率 例2. 求定積分基本思想計算機模擬試驗過程例1. 求圓周率正方形內(nèi)均勻投擲點數(shù)N落入1/4圓周內(nèi)點數(shù)k如果采用正方形的內(nèi)切園，是否可以？計算公式如何？ 基本思想：把隨機事件（變量）的概率特征與數(shù)學(xué)分析的解聯(lián)系起來. 用試驗方法確定 例1 用M-C 模擬求圓周率的估計值. 110 設(shè)二維隨機變量(X, Y)在正方形內(nèi)服從均勻分布. (X, Y)落在圓內(nèi)的概率為:

4、計算機上做n 次擲點試驗： 產(chǎn)生n 對二維隨機點(xi，yi) ，i1 ,2, , n .xi 和yi 是隨機數(shù)對. 檢查每對隨機數(shù)是否滿足:相當(dāng)于第i個隨機點落在1/4圓內(nèi).若有k 個點落在l4圓內(nèi) 隨機事件“點落入1/4圓內(nèi)”的頻率為 k/n 根據(jù)大數(shù)定律, 事件發(fā)生的頻率依概率收斂于事件 發(fā)生的概率p，即有得圓周率的估計值為且當(dāng)試驗次數(shù)足夠大時, 其精度也隨之提高. 分析：實際上概率值為恰為1/4圓的面積 頻率法： 利用隨機變量落進指定區(qū)域內(nèi)的頻率來計算定積分. 平均值法： 利用隨機變量的平均值(數(shù)學(xué)期望)來計算定積分.例2. 求定積分 求解方法： 求解析式獲得準(zhǔn)確數(shù)值解、 積分的數(shù)值方

5、法求近似數(shù)值解， 蒙特卡羅近似求解蒙特卡羅方法基本思想： 將求面積轉(zhuǎn)化為求落在函數(shù)下方的點數(shù)與長度為(b-a)的正方形內(nèi)的點數(shù)之比，類似求圓周率方法?；舅枷?由以上兩個例子可以看出，當(dāng)所求問題的解是某個事件的概率，或者是某個隨機變量的數(shù)學(xué)期望，或者是與概率、數(shù)學(xué)期望有關(guān)的量時，通過某種試驗的方法，得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機變量若干個具體觀察值的算術(shù)平均值，通過它得到問題的解。 當(dāng)隨機變量的取值僅為1或0時，它的數(shù)學(xué)期望就是某個事件的概率?；蛘哒f，某種事件的概率也是隨機變量（僅取值為1或0）的數(shù)學(xué)期望。 因此，通俗地說，蒙特卡羅方法是用隨機試驗的方法計算積分。即，將所要計算的積分看作服從

6、某種分布密度函數(shù)f(r)的隨機變量(r)的數(shù)學(xué)期望 通過某種試驗，得到個觀察值r1，r2，rN（用概率語言來說，從分布密度函數(shù)f(r)中抽取個子樣r1，r2，rN，），將相應(yīng)的個隨機變量的值g(r1)，g(r2)，g(rN)的算術(shù)平均值 作為積分的估計值（近似值）。 為了得到具有一定精度的近似解，所需試驗的次數(shù)應(yīng)該很多，通過人工方法作大量的試驗相當(dāng)困難，甚至是不可能的。 因此，蒙特卡羅方法的基本思想雖然早已被人們提出，卻很少被使用。自1940年代以來，由于計算機的出現(xiàn)，可以通過計算機來模擬隨機試驗過程，把巨大數(shù)目的隨機試驗交由計算機完成，使得蒙特卡羅方法得以廣泛地應(yīng)用，在現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)中發(fā)揮應(yīng)有

7、的作用。 蒙特卡羅方法的收斂性，誤差 蒙特卡羅方法作為一種計算方法，其收斂性與誤差是普遍關(guān)心的一個重要問題。收斂性誤差收斂性 由前述可知，蒙特卡羅方法是由隨機變量X的簡單子樣X1，X2，XN的算術(shù)平均值： 作為所求解的近似值。 由大數(shù)定律可知，如X1，X2，XN獨立同分布，且具有有限期望值（E(X)），則 即隨機變量X的簡單子樣的算術(shù)平均值 ，當(dāng)子樣數(shù)充分大時，以概率1收斂于它的期望值E(X)。誤差 蒙特卡羅方法的近似值與真值的誤差問題，概率論的中心極限定理給出了答案。該定理指出，如果隨機變量序列X1，X2，XN獨立同分布，且具有有限非零的方差2 ，即 f(x)是X的分布密度函數(shù)。則 當(dāng)N充分

8、大時，有如下的近似式 其中稱為置信度，1稱為置信水平。 這表明，不等式 近似地以概率 1成立，且誤差收斂速度的階為 。 通常，蒙特卡羅方法的誤差定義為 上式中 與置信度是一一對應(yīng)的，根據(jù)問題的要求確定出置信水平后，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，就可以確定出 。 下面給出幾個常用的與的數(shù)值： 關(guān)于蒙特卡羅方法的誤差需說明兩點：第一，蒙特卡羅方法的誤差為概率誤差，這與其他數(shù)值計算方法是有區(qū)別的。第二，誤差中的均方差是未知的，必須使用其估計值 來代替，在計算所求量的同時，可計算出 。 0.50.050.003 0.67451.963蒙特卡羅方法的特點優(yōu)點能夠比較逼真地描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程。

9、受幾何條件限制小。收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān)。具有同時計算多個方案與多個未知量的能力。誤差容易確定。程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn)。 缺點收斂速度慢。誤差具有概率性。在粒子輸運問題中，計算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān)。能夠比較逼真地描述具有隨機性質(zhì)的事物的特點及物理實驗過程 從這個意義上講，蒙特卡羅方法可以部分代替物理實驗，甚至可以得到物理實驗難以得到的結(jié)果。 用蒙特卡羅方法解決實際問題，可以直接從實際問題本身出發(fā)，而不從方程或數(shù)學(xué)表達式出發(fā)。它有直觀、形象的特點。受幾何條件限制小 解析方法必須考慮空間幾何條件，往往要求是規(guī)則的。對不規(guī)則的幾何條件，難以做到。 蒙特卡羅方法可不受這些限制。 另外，在具有隨機性質(zhì)的

10、問題中，如考慮的系統(tǒng)形狀很復(fù)雜，難以用一般數(shù)值方法求解，而使用蒙特卡羅方法不會有原則上的困難。收斂速度與問題的維數(shù)無關(guān) 使用蒙特卡羅方法時，抽取的子樣總數(shù)N與維數(shù)s無關(guān)。維數(shù)的增加，除了增加相應(yīng)的計算量外，不影響問題的誤差。 這一特點，決定了蒙特卡羅方法對多維問題的適應(yīng)性。 而一般數(shù)值方法，隨著維數(shù)的增加，復(fù)雜程度和難度都會增加，產(chǎn)生所謂“維數(shù)災(zāi)難” 。具有同時計算多個方案與多個未知量的能力 對于那些需要計算多個方案的問題，使用蒙特卡羅方法有時不需要像常規(guī)方法那樣逐個計算，而可以同時計算所有的方案，其全部計算量幾乎與計算一個方案的計算量相當(dāng)。舉例。 另外，使用蒙特卡羅方法還可以同時得到若干個所

11、求量。舉例。 誤差容易確定 對于一般計算方法，要給出誤差并不是一件容易的事情，而蒙特卡羅方法則不然。根據(jù)蒙特卡羅方法的誤差公式，可以在計算所求量的同時計算出誤差。對于很復(fù)雜的蒙特卡羅方法計算問題，也是容易確定的。 一般計算方法常存在著有效位數(shù)損失問題，而要解決這一問題有時相當(dāng)困難，蒙特卡羅方法則不存在這一問題。 程序結(jié)構(gòu)簡單，易于實現(xiàn) 在計算機上進行蒙特卡羅計算時，程序結(jié)構(gòu)簡單，分塊性強，易于實現(xiàn)。 1) 收斂速度慢 如前所述，蒙特卡羅方法一般不容易得到精確度較高的近似結(jié)果。對于維數(shù)少（三維以下）的問題，不如其他方法好。 2) 誤差具有概率性 由于蒙特卡羅方法的誤差具有概率性，不是一般意義下的

12、誤差。在粒子輸運問題中，計算結(jié)果與系統(tǒng)大小有關(guān) 經(jīng)驗表明，只有當(dāng)系統(tǒng)的大小與粒子的平均自由程可以相比較時（一般在十個平均自由程左右），蒙特卡羅方法計算的結(jié)果較為滿意。但對于大系統(tǒng)或小概率事件的計算問題，計算結(jié)果往往比真值偏低。而對于大系統(tǒng)，數(shù)值方法則是適用的。 因此，在使用蒙特卡羅方法時，可以考慮把蒙特卡羅方法與解析（或數(shù)值）方法相結(jié)合，取長補短，既能解決解析（或數(shù)值）方法難以解決的問題，也可以解決單純使用蒙特卡羅方法難以解決的問題。這樣，可以發(fā)揮蒙特卡羅方法的特長，拓展應(yīng)用范圍。 蒙特卡羅方法的主要應(yīng)用范圍 蒙特卡羅方法所特有的優(yōu)點使得應(yīng)用范圍廣，主要應(yīng)用范圍包括：粒子輸運問題，統(tǒng)計物理，典型數(shù)學(xué)問題，真空技術(shù)，激光技術(shù)以及醫(yī)學(xué)，生物，探礦等方面。 蒙特卡羅方法在粒子輸運問題中的