理論力學質點動力學基本方程

1、理論力學質點動力學基本方程第1頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學引 言一.研究對象：二.力學模型：研究物體的機械運動與作用力之間的關系2.質點系：由有限或無限個有著一定聯(lián)系 的質點組成的系統(tǒng)。 1.質點：具有一定質量而不考慮其形狀大小的物體。 剛體是一個特殊的質點系，由無數(shù)個相互間保持距離 不變的質點組成。又稱為不變質點系。例如： 研究衛(wèi)星的軌道時，衛(wèi)星 質點； 剛體作平動時,剛體 質點。第2頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學自由質點系：質點系中各質點的運動不受約束的限制。 非自由質點系：質點系中的質點的運動受到約束的限制。 質點系是力學

2、中最普遍的抽象化模型；包括剛體,彈性體,流體。三.動力學分類:質點動力學質點系動力學質點動力學是質點系動力學的基礎。四.動力學的基本問題：大體上可分為兩類： 第一類：已知物體的運動情況，求作用力； 第二類：已知物體的受力情況，求物體的運動。 綜合性問題：已知部分力，部分運動求另一部分力、部分運動。 已知主動力，求運動，再由運動求約束反力。第3頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四第六章 質點動力學理論力學第4頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四 61 慣性參考系中的質點動力學 62 非慣性參考系中的質點動力學第六章 質點動力學第5頁，共45頁，2022年，

3、5月20日，17點8分，星期四動力學一.慣性參考系6-1 慣性參考系中的質點動力學二.牛頓定律1.一般工程問題：固定于地面或相對于地面作勻速直線平動；2.人造衛(wèi)星、洲際導彈問題：地心為原點，三軸指向三個恒星；3.天體運動問題：太陽為中心、三軸指向三個恒星。1.第一定律（慣性定律）：2.第二定律（力與加速度之間的關系定律）：3.第三定律（作用與反作用定律）：第6頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學 將動力學基本方程 表示為微分形式的方程，稱為質點的運動微分方程。1.矢量形式2.直角坐標形式三.質點的運動微分方程第7頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四

4、動力學 3.自然形式 質點運動微分方程除以上三種基本形式外,還可有極坐標形式, 柱坐標形式等等。 應用質點運動微分方程，可以求解質點動力學的兩類問題。第8頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學 四.質點動力學的兩類基本問題1.已知質點的運動規(guī)律，求作用于質點上的力； -求微分問題。2.已知質點上所受的力，求質點的運動規(guī)律。 -按質點運動的初始條件和力的函數(shù)關系對運動微分方程進行求解，從數(shù)學角度看，是解微分方程或求積分，并確定相應的積分常數(shù)的問題。第9頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四 例1 在曲柄滑槽機構中，活塞和滑槽的質量共為50kg。曲柄OA長

5、r=0.3m，繞軸O作勻速轉動，轉速n=120r/min。求滑塊作用在滑槽上的水平力（各處摩擦不計）。第10頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四質心ClxyFAF2GF1解：（1）取活塞為研究對象； （2）受力分析，畫受力圖； （3）運動分析，寫出運動方程；第11頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四FAF2GF1求加速度由得第12頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四 例2： 離心式轉速計工作原理如圖所示。彈性細繩ACD系住的小球質量為m。彈性細繩的原長(未受力時的長度)為CD，彈簧常數(shù)為k。設AB=CB=l，試求轉速計穩(wěn)定轉動時,其轉

6、動軸的角速度與偏角的關系以及桿AB所受的力。OABlCyxSmgFaAO第13頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四 解：取小球A為研究對象，分析受力。 細繩的彈性力F沿AC線，大小為 列出小球A的運動微分方程 ABlCyxSmgFaAO求小球的加速度。 第14頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四如果sin0，則由第一式可解得故桿AB所受的力的大小為，方向與S相反。 再將S的值代入第二式，注意到三角關系，可解得系統(tǒng)穩(wěn)定轉動時的最小角速度為 即第15頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學第一類問題解題步驟和要點： 正確選擇研究對象（一

7、般選擇聯(lián)系已知量和待求量的質點）。 正確進行受力分析,畫出受力圖(應在一般位置上進行分析)。 正確進行運動分析（分析質點運動的特征量）。 選擇并列出適當形式的質點運動微分方程（建立坐標系）。 求解未知量。第16頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學解：選重物(抽象為質點)為研究對象 受力分析如圖所示運動分析，沿以O為圓心, L為半徑的圓弧擺動。課堂練習. 橋式起重機跑車吊掛一重為G的重物，沿水平橫梁作勻速運動，速度為 ，重物中心至懸掛點距離為L。突然剎車，重物因慣性繞懸掛點O向前擺動，求鋼絲繩的最大拉力。第17頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力

8、學列出自然形式的質點運動微方程求解未知量注減小繩子拉力途徑：減小跑車速度或者增加繩子長度。 拉力Tmax由兩部分組成, 一部分等于物體重量,稱為靜拉力一部分由加速度引起，稱為附加動拉力。全部拉力稱為動拉力。第18頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學2.第二類：已知作用在質點上的力，求質點的運動（積分問題） 已知的作用力可能是常力, 也可能是變力。變力可能是時間、位置、速度或者同時是上述幾種變量的函數(shù)。 如力是常量或是時間及速度函數(shù)時， 可直接分離變量 。 如力是位置的函數(shù)，需進行變量置換第19頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學列直角坐標形式

9、的質點運動微分方程并對其積分運算微分方程 積分一次 再積分一次 解：屬于已知力為常量的第二類問題。 選擇填充材料M為研究對象，受力如圖所示，M作斜拋運動。例3 煤礦用填充機進行填充, 為保證充填材料拋到距離為S=5米,H=1.5米的頂板A處。求 (1)充填材料需有多大的初速度v0 ? (2)初速 與水平的夾角a0？ 第20頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學初始條件：第21頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學代入最高點A處值，得： 即將到達A點時的時間t, x=S, y=H 代入運動方程，得發(fā)射初速度大小與初發(fā)射角 為約束條件：第22頁，共4

10、5頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四 例4：求質量為m的質點M在粘性介質中自由下落的運動方程。設質點受到的阻尼力Fr=-cv，c稱為粘度系數(shù)，簡稱粘度。初始時質點在介質表面上被無初速度釋放。第23頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四解：取質點M為研究對象，作用其上的力有重力和介質阻尼力，均為已知，求質點的運動，屬于動力學第二類問題。在任意位置上，有本題中力是速度的函數(shù)，采用變量分離法，考慮運動初始條件：t=0，x0=0，v0=0，對上式積分一次 或第24頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四于是有即分離變量，再積分一次質點的運動方程 第25頁，

11、共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四 質點開始做加速運動，速度增大，隨著時間的增加，質點其與速度方向相同的加速度逐漸減小。當t時，速度圖形趨于一漸近線，即質點的速度趨于常數(shù)。 此速度為質點在阻尼介質中運動的極限速度。跳傘運動員著地時的速度即可由該式求出。第26頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學例5 發(fā)射火箭，求脫離地球引力的最小速度。解：屬于已知力是位置的函數(shù)的第二類問題。 取火箭(質點)為研究對象, 建立坐標如圖示。火箭在任意位置x 處受地球引力F 的作用。 則在任意位置時的速度 即：第27頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動

12、力學可見，v 隨著 x 的增加而減小。若則在某一位置x=R+H 時速度將減小到零，火箭回落。若時，無論x多大（甚至為）, 火箭也不會回落。因此脫離地球引力而一去不返 時（）的最小初速度（第二宇宙速度）第28頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學第二類問題解題步驟如下：正確選擇研究對象。正確進行受力分析，畫出受力圖。 判斷力是什么性質的力（應放在一般位置上進行分析， 對變力建立力的表達式）。正確進行運動分析。 除應分析質點的運動特征外，還要確定 出其運動初始條件。第29頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學選擇并列出適當?shù)馁|點運動微分方程。 如力是

13、常量或是時間及速度函數(shù)時， 可直接分離變量 。 求解未知量。應根據(jù)力的函數(shù)形式決定如何積分，并利用運動的初始條件，求出質點的運動。如力是位置的函數(shù)，需進行變量置換第30頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四動力學一.基本方程6-2 非慣性參考系中的質點動力學對于動參考系Oxyz 將上式代入牛頓第二定律F=ma=m(ar+ae+aC)或表示為 mar=F-maemaC 第31頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四令：FIe=-mae，F(xiàn)IC=-maC，分別稱為牽連慣性力和科氏慣性力。質點相對運動微分方程 質點相對運動的動力學方程。 第32頁，共45頁，2022

14、年，5月20日，17點8分，星期四當非慣性參考系作平動時， 當非慣性參考系作勻速直線平動時， 即質點的相對運動動力學方程與絕對運動動力學方程完全相同。古典力學的相對性原理：在一個系統(tǒng)內部所做的任何力學試驗，都不能確定這一系統(tǒng)是靜止的還是在作勻速直線平動。也稱為伽利略、牛頓相對性原理。第33頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四當質點相對于動參考系作勻速直線運動時， 當質點相對于動參考系靜止不動時， 第34頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四 例6 固定在鉛垂桿CD上的直管AB繞軸線以勻角速度轉動，直管軸線與轉動軸成45角，管內有一小球由相對靜止狀態(tài)開始運動

15、。設小球的起始位置到O點的距離為a。忽略摩擦，求小球沿直管的運動方程。第35頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四解：取小球為研究對象 質點的相對運動動力學方程在x方向的投影式為第36頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四該微分方程的解可表示為其中x1為（a）式的齊次方程 的解x2為（a）式的非齊次方程的特解于是 第37頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四根據(jù)初始條件t=0, 得 解得 故 第38頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四二.質點相對地球的運動 例7 北京位于地球表面北緯=40處，在北京的上空h=100m處有

16、一質量為m的質點自由下落，求由于地球自轉的影響，落體到達地面時對于鉛垂線的偏離量。（落體偏東現(xiàn)象）第39頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四解：選取固結于地球的非慣性參考系為Oxyz，其中z軸近似通過地球中心，鉛直向上，x軸水平向東，y軸水平向北。質點的受力有：地球引力F；分析質點相對地球的運動時，應再加上牽連慣性力FIe和科氏慣性力FIC。其中地球引力F和牽連慣性力FIe之和，就是物體在地球表面表現(xiàn)出的重力P，即第40頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四科氏慣性力 質點的相對運動微分方程 投影形式為第41頁，共45頁，2022年，5月20日，17點8分，星期四采用逐次近似法解上述微分方程。初始條件為， 時由于地球自轉的角速度很小，在最初的計算中，可取則式(1)的零次近似方