計量經(jīng)濟學7多重共線性

1、第七章 多重共線性一、多重共線性問題二、多重共線性的后果三、多重共線的檢驗四、多重共線性的修正五、案例分析一、多重共線性問題基本假定： 1、u零均值。所有的ui均值為0，E（ui）=0。 2、u同方差。Var（ui）=2，i=1，2，n 如果假定6不成立，即解釋變量X1，X2，XP存在線性關系，即存在不全為零的常數(shù) 這種關系稱為完全多重共線性，實際上更多的情況是，解釋變量間存在不完全的線性關系：即存在不全為零的數(shù)：假定1 0，其中vi 為隨機項。我們把這種關系稱為不完全多重共線性。由于經(jīng)濟變量自身的性質(zhì)，多重共線性或強或弱，普遍存在的。多重共線：解釋變量之間存在完全的或近似的線性關系。解釋變量

2、存在完全的線性關系叫完全多重共線；解釋變量之間存在近似的線性關系叫不完全（近似）多重共線。多重共線性產(chǎn)生的原因： 1、經(jīng)濟變量之間的內(nèi)在聯(lián)系引起多重共線 2、經(jīng)濟變量在時間上有同方向變化的趨勢 3、模型中引入滯后變量引起多重共線。1.完全多重共線性： 以兩個解釋變量的回歸模型為例，假定回歸模型為：如果采用OLS估計，則有：二、多重共線性的后果根據(jù)最小平方和原則，并求解正規(guī)方程組，可得到： 如果X1與X2存在完全共線性，即 則：因此，存在完全共線性時，不能利用OLS估計參數(shù)，參數(shù)的方差變?yōu)闊o限大。2.不完全多重共線性 假定X1，X2 間存在不完全多重共線性， 以離差形式表示為： 其中vi 為隨機

3、項。則 顯然，當解釋變量X1、X2之間的相關系數(shù) r12 的絕對值越大，共線性程度就越高，參數(shù)估計值的方差就越大，越不準確，且隨著相關系數(shù)的增大，方差以更大的幅度增加。 VIF（Variance Inflation Factor）稱為方差膨脹因子，一般如果某變量的VIF大于50 以上，說明模型存在多重共線性。多重共線性的后果： 1、參數(shù)估計值的方差增大，估計量的精度大大降低。影響預測結(jié)果（準確度和置信區(qū)間）。 2、參數(shù)估計值的標準差增大，使得 t 檢驗值變小，增大了接受H0，舍棄對因變量有顯著影響的變量。 3、盡管t 檢驗不顯著，但是R2仍可能非常高。 4、OLS估計量對觀測值的輕微變化相當敏

4、感。三、多重共線的檢驗1、利用解釋變量之間的擬合優(yōu)度（判定系數(shù)）檢驗法每次以一個解釋變量對余下的P-1個解釋變量做回歸，即建立P個回歸方程：2、不含某個解釋變量Xj的擬合優(yōu)度（判定系數(shù)）檢驗法將Y對全部解釋變量X1，X2，XP做回歸，得回歸方程3、R2、F、t檢驗結(jié)果進行綜合分析檢驗法無多重共線性： R2、F、t檢驗均顯著存在多重共線性： R2、F檢驗很顯著，但t檢驗不全顯著（一般是不顯著的Xj與顯著的Xi存在共線性。）四、多重共線性的修正 如果發(fā)現(xiàn)解釋變量之間存在高度得多重共線性，就必須消除這種多重共線性的影響，保證模型的正確性和估計的有效性。有以下幾種解決方法。 1、剔除不重要的變量 把回

5、歸模型中引起多重共線性，而可以剔出對因變量的影響不大的變量。但是變量的剔除可能導致模型的設定偏誤。 已知X1和X2 之間高度共線。根據(jù)先驗信息，確定2=21，帶入模型后可得：2、利用先驗信息 假定對回歸模型： 例如：C-D生產(chǎn)函數(shù) ，K與L高度相關。已知規(guī)模收益不變，則+=1。生產(chǎn)函數(shù)的雙對數(shù)模型可變?yōu)椋嚎梢詫@一新回歸方程進行估計。3、變換模型的形式 如果作為解釋變量的某些經(jīng)濟變量間出現(xiàn)高度相關，而進行回歸分析的目的是為了預測，不是研究單個經(jīng)濟變量對因變量的影響時，可以根據(jù)實際問題，改變模型模型的形式。4、增加樣本容量 如果多重共線性是由樣本引起，增加樣本容量可以減少多重共線性的程度。以二元

6、回歸方程為例，根據(jù)前面的結(jié)果，參數(shù)估計值的方差為：當樣本容量增大時， 增大，方差將減小，可以提高參數(shù)估計的精度。5、橫截面數(shù)據(jù)與時間序列數(shù)據(jù)并用 如果時間序列數(shù)據(jù)中，解釋變量間存在高度相關，可以先使用橫截面數(shù)據(jù)估計出存在高度相關解釋變量中的一個或多個，然后再在時間序列數(shù)據(jù)中剔除這些變量，在消除多重共線性影響下估計因變量與剩余變量間的回歸式。 例如，為了估計汽車需求的價格彈性和收入彈性，得到銷售量、平均價格、消費者收入的時間序列數(shù)據(jù)。設定回歸式：新的回歸式中消除了多重共線性的影響。 由于在時間序列數(shù)據(jù)中價格Pt、收入It 一般都具有高度共線的趨勢。因此，直接估計上面的回歸式將存在問題。由于在同一

7、式點上，價格與收入的相關程度不高，可以先利用截面數(shù)據(jù)估計出收入彈性 ，再利用這一估計結(jié)果修改原回歸式，變?yōu)椋?、利用時間序列數(shù)據(jù)的差分或離差進行估計 如果時間序列數(shù)據(jù)中，解釋變量間存在高度相關，那么這些變量的差分之間不一定相關。因此利用差分進行回歸能降低多重共線性的程度。7、逐步分析估計法 先對設定的總體回歸模型用普通最小二乘法進行估計，并檢驗總體回歸模型的效果； 若經(jīng)檢驗后總體回歸方程顯著，再計算解釋變量之間的相關系數(shù)，分析多重共線的程度； 若多重共線相當嚴重，則進一步將被解釋變量對每一個解釋變量做回歸，并根據(jù)經(jīng)濟理論和實際經(jīng)驗及它們的判定系數(shù)，從中選擇一個最合理的作為基本回歸方程式； 在上

8、述這個最合理的基本回歸方程式中，逐步插入新的解釋變量進行回歸，并對其結(jié)果進行檢驗，直到變量插入完為止。五、案例分析隨機解釋變量問題Random Explanatory Variables一、隨機解釋變量問題二、隨機解釋變量的后果三、工具變量法四、解釋變量的內(nèi)生性檢驗五、案例 基本假設:解釋變量X1,X2,Xk是確定性變量。 如果存在一個或多個隨機變量作為解釋變量，則稱原模型出現(xiàn)隨機解釋變量問題。 假設X2為隨機解釋變量。對于隨機解釋變量問題，分三種不同情況： 1、隨機解釋變量問題 (2) 隨機解釋變量與隨機誤差項同期無關(contemporaneously uncorrelated)，但異期相

9、關。 (3) 隨機解釋變量與隨機誤差項同期相關(contemporaneously correlated)。 (1) 隨機解釋變量與隨機誤差項獨立(Independence)2、實際經(jīng)濟問題中的隨機解釋變量問題 在實際經(jīng)濟問題中，經(jīng)濟變量往往都具有隨機性。 但是在單方程計量經(jīng)濟學模型中，凡是外生變量都被認為是確定性的。 于是隨機解釋變量問題主要表現(xiàn)于：用滯后被解釋變量作為模型的解釋變量的情況。 例如：(1) 耐用品存量調(diào)整模型耐用品的存量Qt由前一個時期的存量Qt-1和當期收入It共同決定： Qt=0+1It+2Qt-1+t t=1,T如果模型不存在隨機誤差項的序列相關性，那么隨機解釋變量Qt

10、-1只與t-1相關，與t不相關，屬于上述的第2種情況。(2) 合理預期的消費函數(shù)模型Ct-1是一隨機解釋變量，且與 (t-t-1)高度相關（為什么?）。屬于上述第3種情況。二、隨機解釋變量的后果 計量經(jīng)濟學模型一旦出現(xiàn)隨機解釋變量，且與隨機擾動項相關的話，如果仍采用OLS法估計模型參數(shù)，不同性質(zhì)的隨機解釋變量會產(chǎn)生不同的后果。 下面以一元線性回歸模型為例進行說明。 1、隨機解釋變量與隨機誤差項相關圖 （a）正相關 （b）負相關 擬合的樣本回歸線可能低估截距項，而高估斜率項。 擬合的樣本回歸線高估截距項，而低估斜率項。2、如果X與相互獨立，OLS參數(shù)估計量仍然是無偏、一致估計量。 3、如果X與同

11、期不相關，異期相關，得到的參數(shù)估計量有偏、但卻是一致的。 kt的分母中包含不同期的X, kt與t相關4、如果X與同期相關，得到的參數(shù)估計量有偏、且非一致。 前面已經(jīng)證明。1、工具變量的選取工具變量：在模型估計過程中被作為工具使用，以替代模型中與隨機誤差項相關的隨機解釋變量。選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：與所替代的隨機解釋變量高度相關；Cov(X,Z)0與隨機誤差項不相關；與模型中其它解釋變量不相關，以避免出現(xiàn)多重共線性。三、工具變量法 Instrument variables2、工具變量的應用多元線性模型的正規(guī)方程組X2為與相關的隨機變量能否說“用工具變量代替了模型中的隨機解釋變量”？

12、(不能)能否說“其它解釋變量用自己作為工具變量”？(能)Z作為X2的工具變量 這種求模型參數(shù)估計量的方法稱為工具變量法(instrumental variable method)，相應的估計量稱為工具變量法估計量（instrumental variable (IV) estimator）。工具變量矩陣3、工具變量法估計量是一致估計量 一元回歸中，工具變量法估計量為(1)在小樣本下，工具變量法估計量仍是有偏的。 4、幾個重要的概念 (2)工具變量并沒有替代模型中的解釋變量，只是在估計過程中作為“工具”被使用。(3)如果模型中有兩個以上的隨機解釋變量與隨機誤差項相關，就必須找到兩個以上的工具變量。

13、但是，一旦工具變量選定，它們在估計過程被使用的次序不影響估計結(jié)果。(4)OLS可以看作工具變量法的一種特殊情況。 (5)如果1個隨機解釋變量可以找到多個互相獨立的工具變量，人們希望充分利用這些工具變量的信息，就形成了廣義矩方法（Generalized Method of Moments, GMM）。 在GMM中，矩條件大于待估參數(shù)的數(shù)量，于是如何求解成為它的核心問題。 工具變量法是GMM的一個特例。 (6)要找到與隨機擾動項不相關而又與隨機解釋變量相關的工具變量并不是一件很容易的事 可以用Xt-1作為原解釋變量Xt的工具變量。 5、工具變量IV 案例：居民總消費模型以居民消費總額JMXF為被解釋變量；以GDP和JMXF(-1)為解釋變量；進行OLS估計。JMXF(-1)為隨機解釋變量，且與隨機誤差項相關；以政府消費ZFXF作為工具變量，進行IV估計；以政府消費ZFXF和資本形成ZBXC作為工具變量，進行GMM估計。數(shù)據(jù)OLS估計IV估計GMM估計估計結(jié)果OLS: JMXF = 1001.1648 + 0.1368*GDP + 0.7239*JMXF(-1)IV