誤差理論與實驗數據處理

1、誤差理論與測量不確定度 一. 測量誤差 1.基本概念 測量:通過實驗來求被測對象的量值. 真值:一個量在被測時,該量本身所具有的真實大小。在一定的時空條件下,真值是一個客觀存在的確定數值. 測量誤差:測量結果與真值的差別. 原因:,測量器具不準確,測量手段不完善，測量環(huán)境不理想,人為因素等.1計量標準有三類： 1)真值A。:用理論來定義計量標準的真值，實際不存在. 例：電流的計量標準-安培。 定義:流過真空中相距1m的兩條無限小圓截面的無限長平行導線而能在此兩導線間產生2X10-7N/m相互作用力的恒定電流。 所以絕對真值是不可知的，只能通過科學技術的不斷進步而無限地逼近。 2)指定值As:一

2、般由國家設立各種盡可能維持恒定不變的實物標準，以法令的形式指定以它所體現的量值作為計量單位的指定值。 例：如把銫原子兩個超精細能級躍遷所對應的輻射的9192631770個周期的持續(xù)時間指定為1秒。2 3)實際值A:國家設立量值傳遞網,通過逐級比對將國家基準傳遞到日常使用的儀器、量具中去。每級對比中以上一級標準為近似真值,即實際值。如省級計量以國家級計量值做為實際值. 2.測量誤差的定義 測量誤差:測量結果與被測量真值之差。 按表示方法分為絕對誤差和相對誤差兩種。 1）.絕對誤差（真誤差） x-測量值，A0-被測量的真值，實際中可用約定真值A來代替。約定真值可以是指定值、實際值、標稱值和最佳估計

3、值（算術平均值）。這時誤差可表示為：3 2）.相對誤差 絕對誤差的不足:不能確定反映測量的準確程度。 例：測二個頻率: f1=1000Hz,f1=1Hz ; f2=1000000Hz,f2=10Hz. 雖然f1f2，但 f2 測量值更準確。 相對誤差又叫相對真誤差，它是絕對誤差與被測量的真值之比. 相對誤差=4 3.測量誤差的分類 1).隨機誤差(偶然誤差) 定義：在一定條件下對被測量進行多次測量時,以不可預知的隨機方式變化的測量誤差. 隨機誤差的大小等于實驗結果減去重復條件下對同一被測量進行無限次測量的平均值。 產生隨機誤差的原因是,由多種原因同時作用，這些因素互不相關，沒有規(guī)律。如：熱騷動

4、、噪聲、電磁場微變、人為感官的微變等.5 單次的測量,隨機誤差的大小和方向是不可預知的,但當測量次數夠多時,其總體服從統(tǒng)計學規(guī)律,如果對測量產生隨機誤差的因素較多,且沒有哪一個因素占絕對支配作用,則隨機誤差接近正態(tài)分布. 隨機誤差的特點: 1)有界性:誤差的絕對值波動有一定的界限. 2)對稱性:正負誤差出現的幾率幾乎相同. 3)抵償性:隨機誤差的算術平均值趨于零. 4)單峰性:誤差只在某一區(qū)間出現的概率最大. 消除或減小隨機誤差的方法:進行多次測量,取測量統(tǒng)計平均值.6 2).系統(tǒng)誤差 定義:在一定條件下對同一被測量進行多次測量時,保持恒定或以預知方式變化的測量誤差. 重復條件下，對同一被測量

5、進行無限次測量，其測量結果的平均值減被測量真值的差值。 因為真值不能確定，且測量只能有限次重復進行，所以系統(tǒng)誤差不能完全確定。系統(tǒng)誤差產生的原因:1)儀器本身的缺陷;2)測量環(huán)境的變化;3)測量方法的近似;4)測量人員不正確的操作習慣. 消除或減小系統(tǒng)誤差的方法:修正和測量方法上的改進(如零示法,替代法,異號法,微差法等).7累進性系差恒定系差復雜規(guī)律系差 周期性系差t08例:測量電阻器的阻值電流表外接法 電流表內接法實際 系統(tǒng)誤差 測量 實際 系統(tǒng)誤差 測量9 3).粗大誤差 定義:明顯超出在規(guī)定條件下預期的誤差。 測量結果明顯偏離真值，為粗大誤差數據,即壞值，應剔除不用。 原因:讀數錯誤、

6、測量方法錯誤、測量儀器有缺陷。 對存在粗大誤差數據的處理方法是將其剔除. 判斷是否為粗大誤差數據的判斷準則有:萊特準則,肖維納準則,格拉布斯準則等.10 測量數據分布:正態(tài)分布,平均分布,三角函數分布等. 正態(tài)分布:當測量過程受到多個因素的影響,并且沒有任何因素占絕對決定作用時,進行大量等精度測量時,測得值在期望值上出現的概率最大,隨著與期望值的偏差增大,出現的概率急劇減小,其分布規(guī)律如圖.測得值分布-正態(tài)分布 隨機誤差分布-正態(tài)分布概率分布函數11 格拉布斯準則: 具體方法： 1)求被測量值 的算術平均值 和標準差 ; 2)求絕對值最大的偏差 ,即 ; 3)選定錯判概率 ,根據測量次數和置信

7、率從表0.4.1中查出格拉布斯準則的 值; 4）若 ，則 為壞值; 5）剔除粗大誤差數據后,應用同樣方法再檢測是否還存在壞數據.12格拉布斯準則 數值表13 例:下列一組數據（單位：s），請用格拉布斯準則判別T8是否為異常值，要求置信率為99，簡要寫出判斷依據。 T1=20.42 T2=20.42 T3=20.40 T4=20.43 T5=20.42 T6=20.42 T7=20.39 T8=20.29 T9=20.40 T10=20.4114 置信率為99時即a=0.01， 查表得 g(10,0.01)=2.41，T8為異常值 15 粗差判別準則應用注意事項: 這些判別準則都是正態(tài)分布為前提

8、，偏離正態(tài)分布時，可靠性受影響；測量次數少時也不太可靠。 若有多個可疑數據，應一一剔除，每次剔除后，要重新計算，再判別，直到無壞值。 一組測量數據中，可疑數據應極少，否則是不正常的，剔除數據要慎重，要分析異常數據，找出原因。16精密度高但系統(tǒng)誤差大正確度高但隨機誤差大精確(正確)度高系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小測量誤差對測量結果的影響17二. 測量不確定度 不確定度:測量誤差的數字指標，表示由于測量誤差的存在而對被測量不能肯定的程度。 即不確定度給出了測量結果的波動范圍. 完整的實驗結果應包括測量結果和不確定度。 測量值=最佳估計值 不確定度18 A類標準不確定度：按統(tǒng)計方法計算的不確定度標準不 B

9、類標準不確定度：以其他方法或其他信息估計確定度 出的不確定度,如查表. 合成標準 不確定度：若干個A、B類不確定度分量的合成 -完整的標準不確定度 擴展不確定度:由某個較大的置信概率所給出的不確定度， 一般等于合成標準不確定度的k（k與置信度有關）倍。19 3.測量數據 有效數字的處理 1.有效數字 誤差的存在造成測量值或由測量數據計算出來的算術平均值是近似值. 數據的末位是近似位,它包含的絕對誤差不大于末位單位值的0.5倍. 如最小刻度為1伏的電壓表測量U=12V, 實際值在11.512.4范圍. 有效數字:數據從左邊第一個不為零的數起,到右面最后一個數字止. 例如: 3.1416 五位有效

10、數字 8700 四位有效數字 0.087 二位有效數字 0.807 三位有效數字 有效數字反映了測量的準確度,例如: 20.8 表示結果準確到十分位,絕對誤差不大于0.05 20.80 表示結果準確到百分位,絕對誤差不大于0.00520 2.多余數字的舍入規(guī)則和有效數位的確定 小于5舍,大于5入,等于5時取偶 例:測量結果的有效位數可根據電表的最大誤差來判斷.電表的誤差造成測量結果個位數值不可靠達到個位的0.5倍沒有達到個位的0.5倍可靠一般,習慣上將測量記錄值的末位與絕對誤差對齊.量程100V,最小刻度1V,測量值84.3V84.3V21 3.有效數字的運算規(guī)則 正確反映精確度. 1)加法運算:以小數點后位數最少的數為準(整數則保留到效位數最少者的最低位)，其余各數均舍入至比該數多一位,運算結果應與有效位數最少的數據位數相同. 例: 2643.0+987.7+4.187+0.2354=? 2643.0+987.7+4.19+0.24=3635.13=3635.1 1256+982+1.368=? 1256+982+1.368=1256+982+1=2239 56102+129=? 56102+129= 56102+110222 2)乘除運算:以有效數字位數最少的那一