高中數(shù)學(xué)-直線與平面的夾角練習(xí)

1、高中數(shù)學(xué)-直線與平面的夾角練習(xí)課后導(dǎo)練基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.直線a與平面a內(nèi)任一條線所成最小的角為異面的任意直線，則a與b所成的角（ ）0, a是平面 e的斜線，b是平面 e內(nèi)與aA.最小值為。，最大值為 -0B.C.最小值為0 ,無最大值D.答案：B最小值為0,最大值為一2無最小值，最大值為 一22.如右圖所示，在正方體 ABCD-ABQD中，求直線AG與平面ABGDi所成的角 TOC o 1-5 h z A.30B.60C.45D.90答案：A.正方體 ABCD-ABQD中，AiB和面BBDD所成的角為（）A.15B.45C.60D.30答案：DABCD-ABCD中，E是CGABCD-ABCD中，E

2、是CG的中點，求BE與平面BiBD所成角的余弦值4.如左下圖，正方體.如右上圖，S是 ABC所在平面外一點，SA SB, SC兩兩垂直，判斷 ABC的形狀答案：銳角三角形.四面體 S-ABC中，SA SR SC兩兩垂直，/ SBA=45 , / SBC=60 , M為AB的中點，求：（1） BC與平面SAB所成的角；SC與平面ABC所成角的正弦值.解析：（1）如右圖，:SA SR SC兩兩垂直，.SQL面 SAB. / CBS是BC與平面SAB所成的角./ CBS=60 ,，BC與平面SAB所成的角為60 .(2)連結(jié) MC在 RtASB中，/SBA=45，貝U SMLAB. 又 SCL 面

3、SAB,.SCI AB,.AEJX面 SMC過 S 作 SQL MC于點 O,則 SQL AB,.SQL面 ABC,/ SCM是SC與平面 ABC所成的角.2設(shè) SB=a,貝U SC=J3 a,SM=a,在 RtCSM中,CM=在 RtCSM中,CM=2a,sin /SCM空五MC 77.在 RtABC中，/A=90 , AB=3, AC=4 PA是平面 ABC的斜線，/ PAB= PAC=60 ,(1)求PA與平面ABC所成角的大??；(2) PA的長等于多少時，點 P在平面ABC上的射影Q恰好在BC邊上？解：(1)如右圖，過P作PQL平面ABC于Q,則/ PAQ為PA與平面ABC所成的角，易

4、證AQ為/ BAC的平分線，貝U/ QAB=45 .由公式 cos 0 =cos 0 1 - cos 0 2可得cos / cos / PAQ=COsPABQABcos 60cos 45/ PAQ=45 .二.PA與平面ABC所成的角為45(2)若 OC BC,在4AOB 中,BO=15 ,sinB= 4,75由正弦定理可求得 AO=12 2 .7 -AO 24PA=f,sinB 7即PA=_24時，點P在平面ABC上的射影O恰好在BC邊上.7.如右圖，在棱長為1的正方體 ABCD-ABCDi中,P是側(cè)棱CC上的一點，CP=m.試確定m,使得直線AP與平面BDDBi所成角的正切值為 3 J2

5、.解：建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0), B(1,1,1),D 1(0,0,1)所以 BD =(-1,1,0),BB1 =(0,0,1),AP =(-1,1,m), AC =(-1,1,0),又由AC - BD=0, AC - BB1 =0知，AC為平面BBDD的一個法向量設(shè)AP與平面BBDD所成的角為0 ,貝U sin 0 =cos( 0 )|AP?AC| 2|AP|AC| 、2?2 m223.2依題意有23 2一2? .2 m2, 1 (3 2)2-，一 1解得m=-,3一， 1故當(dāng)m=_時，直線A

6、P與平面BDDBi所成角的正切值為 32.3.如右圖，已知正四棱柱 ABCD-AiBGDi中，AB=2, AA=4, E為BC的中點，F(xiàn)為直線 CG上的動點，設(shè) C1FFCCF=X FC.當(dāng)入=3時，求EF與平面ABC所成的角.解析：如右圖建立空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),E(1,2,0).當(dāng)入=3 時,F(0,2,1),EF =(-1,0,1).設(shè)平面ABCD勺法向量為n,貝U n=(0,0,1).設(shè)EF與n的夾角為。，則cos。= EF ？n |EF |n|2二.EF與平面ABC所成的角為45 .綜合運用10.如下圖所示，正四棱柱 ABCD-AB1C1D1中，對角線BD=8, BD與

7、側(cè)面BC所成的角為30 求：BD和底面ABC所成的角.解：正四棱柱AC中,CC底面AQ,CCXDiG,底面是正方形,.-D iCXBiG,.D1C1,側(cè)面 BC,.DiGXBG,，/DiBC就是BD與側(cè)面BC所成的角.ZDiBO=30 ,.DiB=8,DiG=4,BiD = 4 2 =BD.DiDL底面 AC,/ DBD就是BD與底面AC所成的角.DiBD中,cos/D iBDu-BD- 42- -.BD182，/DiBD=45 ,即BD和底面ABC所成的角為45 .ii .正三棱柱 ABC-ABiCi底面邊長為a,側(cè)棱長為 J2 a.(i)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并寫出點A、R A、C的坐標(biāo)；(2

8、)求AC與側(cè)面ABBAi所成的角.解：(i)以點A為坐標(biāo)原點O,以AB所在直線為Oy軸，以AA所在直線為Oz軸，以經(jīng)過原點且 與平面ABBA垂直的直線為 Ox軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由已知，得 A(0,0,0) 、B(0,a,0) 、Ai(0,0,2a) 、0(- - a, -, 72 a).22(2)坐標(biāo)系如右圖，取 AB的中點 Ml,于是有M (0, 1 , J2 a),連結(jié) AM MC,有MC1 =(3a,0,0)且 AB=(0,a,0),AA1 =(0,0, 72 a).由于 MC1 AB =0,MC： AA =0,. .MC，面 ABBA.AC與AM所成的角就是 AC與側(cè)面ABBAi

9、所成的角+2a2=9 a2.4- ACi =( - a,亙，、a AC| - AM +2a2=9 a2.4aAC| - AM =0+而|短尸樣目2a2 g,| AM | AM |=Ja-2a2 =3 a.42 TOC o 1-5 h z 9 2_-1a 3, , cos ACi , AM=,3a?3a22AG與AM所成白角，即AO與側(cè)面ABBA所成的角為30 .如下圖，正方體 ABCD-ABiGD中，求證：AC，平面 GBD.證明：因為ABCD-AB1C1D是正方體，所以AAL平面 ABCD.連結(jié)AC,則AC是AC在平面ABCg的射影.又BDLAC,故由三垂線定理知 BDLAC又A1B，平面B

10、BC,連結(jié)BC,則BC是AC在平面B1BCC內(nèi)的射影.因為 BCXB1C,所以由三垂線定理知BGXA1C.因為 BDH BO=B,所以AC平面GBD.拓展研究.如下圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面 ABCD正方形，側(cè)棱 PDL底面 ABCD PD=DC E是 PC的中點.(1)證明PA/平面EDB(2)求EB與底面ABCD成的角為正切值.分析：如下圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D是坐標(biāo)原點，設(shè)DC=a.證明：連結(jié)AC,AC交BD于G,連結(jié)EG.依題意得 A(a,0,0),P(0,0,a),E(0,因為底面ABCD正方形，所以a,-).2 2G是此正方形的中心.故點G的坐標(biāo)為(a, a ,0).所以PA =(a,0,-a).2 2eg =( a ,0,- a).所以 PA =2EG . 22這表明PA/ EG.而EG 平面EDBM PA 平面EDB因為 PA/平面 DEB.(2)解:依題意得 B(a,a,0),C(0,a,0).取DC的中點F(0, a,0),連結(jié)EF,BF.2因為FE =(0,0, ), FB =(a, ,0), DC =(0,a,0).所以FE F