豎直水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問題和周期性問題

1、水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題一、圓周運(yùn)動(dòng)問題的解題步驟：1、確定研究象2、畫出運(yùn)跡、找出心、求半徑3、解析研究象的受力情況，畫受力4、確定向心力的本源5、由牛第二定律Fnmanmv2rm2rm(2T)2r列方程求解二、界常型：1、按力的種分：（1）、與力有關(guān)的界：接觸面的力：從有到無,或從無到有子的拉力：從無到有，從有到最大，或從有到無（2）、與摩擦力有關(guān)的力：從靜到，從到靜，界狀下靜摩擦力達(dá)到最大靜摩擦2、按道所在平面分：1）、直面內(nèi)的周運(yùn)2）、水平面內(nèi)的周運(yùn)三、直面內(nèi)的周運(yùn)的界1、向束之、外道束下的直面內(nèi)周運(yùn)界：特點(diǎn)：小球，道小球只能生指向心的力mgmgOO軌道界條件：子或道小球沒有力的作

2、用：2mg=mv/Rv臨界=Rg（可理解恰好或恰好不的速度）即此小球所受重力全部供應(yīng)向心力能最高點(diǎn)的條件：vRg，當(dāng)vRg，球生拉力，道球生力不能夠最高點(diǎn)的條件：vV臨界（上球沒到最高點(diǎn)就走開了道做斜拋運(yùn)）1、子系著裝有水的木桶，在直面內(nèi)做周運(yùn)，水的量m=，子度l=60cm，求：（g取10m/s2）A、最高點(diǎn)水不留出的最小速度？B、水在最高點(diǎn)速度V=3m/s，求水桶底的力？答案：（1）6m/s（2）變式1、以下列圖，一質(zhì)量為m的小球，用長(zhǎng)為L(zhǎng)細(xì)繩系住，使其在豎直mg面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng).(1)若過小球恰好能經(jīng)過最高點(diǎn)，則小球在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)O的速度分別是多少？小球的受力情況分別如何？(2)若小球在最

3、低點(diǎn)碰到繩子的拉力為10mg，則小球在最高點(diǎn)的速度及碰到繩子的拉力是多少？2、單向拘束之內(nèi)軌道拘束下（拱橋模型）的豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題：汽車過拱形橋時(shí)會(huì)有限速，是由于當(dāng)汽車經(jīng)過半圓弧頂部時(shí)的速度vgr時(shí)，汽車對(duì)弧頂?shù)膲毫N=0，此時(shí)汽車將走開橋面做平拋運(yùn)動(dòng)，由于橋面不能夠?qū)ζ嚠a(chǎn)生拉力例2、半徑為R的圓滑半圓球固定在水平面上，頂部有一小物體，以下列圖。今給小物體一個(gè)水平初速度v0Rg，則小物體將（）A.沿球面下滑至M點(diǎn)先沿球面下滑至某點(diǎn)，爾后便走開斜面做斜下拋運(yùn)動(dòng).按半徑大于R的新的圓弧軌道做圓周運(yùn)動(dòng)D.馬上走開半圓球做平拋運(yùn)動(dòng)3、雙向拘束之輕桿、管道拘束下的豎直面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題

4、物體(如小球)在輕桿作用下的運(yùn)動(dòng)，或在管道中運(yùn)動(dòng)時(shí)，隨著速度的變化，桿或管道對(duì)其彈力發(fā)生變化這里的彈力能夠是支持力，也能夠是壓力，即物體所受的彈力能夠是雙向的，與輕繩的模型不相同由于繩子只能供應(yīng)拉力，不能夠供應(yīng)支持力；而桿、管道既能夠供應(yīng)拉力，又能夠供應(yīng)支持力；在管道中運(yùn)動(dòng)，物體速度較大時(shí)可對(duì)上壁產(chǎn)生壓力，而速度較小時(shí)可對(duì)下壁產(chǎn)生壓力在彈力為零時(shí)即出現(xiàn)臨界狀態(tài)（一）輕桿模型以下列圖，輕桿一端連一小球，在豎直面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)(1)能過最高點(diǎn)的臨界條件是：v0這可理解為恰好轉(zhuǎn)過或恰好不能夠轉(zhuǎn)過最高點(diǎn)的臨界條件，此時(shí)支持力(2)當(dāng)0vRg時(shí)，N仍為支持力，且N隨v的增大而減小，當(dāng)vRg時(shí)，N0，此為輕

5、桿不受彈力的臨界條件(4)當(dāng)vRg時(shí)，N隨v的增大而增大，且N為拉力指向圓心，例3、以下列圖，有一長(zhǎng)為L(zhǎng)的細(xì)線，細(xì)線的一端固定在O點(diǎn)，另一端拴一質(zhì)量為m的小球，現(xiàn)使小球恰好能在豎直面內(nèi)做完滿的圓周運(yùn)動(dòng)。已知水平川面上的C點(diǎn)位于O點(diǎn)正下方，且到O點(diǎn)的距離為1.9L。不計(jì)空氣阻力。(1)求小球經(jīng)過最高點(diǎn)A時(shí)的速度vA;(2)若小球經(jīng)過最低點(diǎn)B時(shí)，細(xì)線對(duì)小球的拉力T恰好為小球重力的6倍，且小球經(jīng)過B點(diǎn)的剎時(shí)讓細(xì)線斷裂，求小球落地址到C點(diǎn)的距離。解：(1)小球恰好能做完滿的圓周運(yùn)動(dòng)，則小球經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力恰好為零，依照向心力公式有：mg=解得:。小球在B點(diǎn)時(shí)依照牛頓第二定律有T-mg=m其中T=6

6、mg解得小球在B點(diǎn)的速度大小為vB=細(xì)線斷裂后，小球從B點(diǎn)開始做平拋運(yùn)動(dòng)，則由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律得:豎直方向上1.9L-L=(2分)水平方向上x=vBt(2分)解得:x=3L(2分)即小球落地址到C點(diǎn)的距離為3L。答案:(1)(2)3L管道模型質(zhì)點(diǎn)(小球)在圓滑、豎直面內(nèi)的圓管中作圓周運(yùn)動(dòng)(圓管截面半徑r遠(yuǎn)小于球的圓周運(yùn)動(dòng)的半徑R)，以下列圖小球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管壁的壓力有三種情況：恰好對(duì)管壁無壓力，此時(shí)重力為向心力，臨界速度為當(dāng)時(shí)，對(duì)下管壁有壓力，此時(shí)，故。當(dāng)時(shí)，對(duì)上管壁有壓力，此時(shí)。實(shí)質(zhì)上，輕桿和管道兩種拘束情況可化歸為同類的物理模型，即雙向拘束模型例4、一內(nèi)壁圓滑的環(huán)形細(xì)圓管，位于豎直平面內(nèi)，

7、環(huán)的半徑為R（比細(xì)管的半徑大得多），圓管中有兩個(gè)直徑與細(xì)管內(nèi)徑相同的小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）。A球的質(zhì)量為m1，B球的質(zhì)量為m2。它們沿環(huán)形圓管順時(shí)針運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過最低點(diǎn)時(shí)的速度都為v0。設(shè)A球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，球恰好運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)，若要此時(shí)兩球作用于圓管的合力為零，那么m，m，R與v應(yīng)滿足關(guān)系式是。120解：第一畫出小球運(yùn)動(dòng)達(dá)到最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的受力求，如圖4-1所示。A球在圓管最低點(diǎn)必受向上彈力N1，此時(shí)兩球?qū)A管的合力為零，m2必受圓管向下的彈力N2，且N1=N2。據(jù)牛頓第二定律A球在圓管的最低點(diǎn)有：N1mgm1v02同理m2在最高點(diǎn)有：Rv12N2mgm2R2m2gR1212N1N2m球由最高點(diǎn)到最低

8、點(diǎn)機(jī)械能守恒：2m2v12m2v02由上述方程可得：(5m2m1)gRv0m1m2【小結(jié)】比較復(fù)雜的物理過程，如能依照題意畫出草圖，確定好研究對(duì)象，逐一解析就會(huì)變?yōu)楹?jiǎn)單問題。找出其中的聯(lián)系就能很好地解決問題。四、水平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)中的臨界問題：解決圓周運(yùn)動(dòng)中臨界問題的一般方法1、對(duì)物體進(jìn)行受力解析2、找到其中能夠變化的力以及它的臨界值3、求出向心力（合力或沿半徑方向的合力）的臨界值4、用向心力公式求出運(yùn)動(dòng)學(xué)量（線速度、角速度、周期、半徑等）的臨界值5、水平轉(zhuǎn)盤上放有質(zhì)量為m的物快，當(dāng)物塊到轉(zhuǎn)軸的距離為r時(shí),若物塊向來相對(duì)轉(zhuǎn)盤靜止，物塊和轉(zhuǎn)盤間最大靜摩擦力是正壓力的倍，求轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度是多大

9、？解：由mgm2rAgO得：r議論：供應(yīng)的向心力的臨界值決定了圓周運(yùn)動(dòng)角速度的臨界值變式5、物體與圓筒壁的動(dòng)摩擦因數(shù)為，圓筒的半徑為R，若要物體不滑下，圓筒的角速度最少為多少？解：FNm2rg得FNmgr例6、以下列圖，兩繩系一質(zhì)量為m0.1kg的小球，上面繩長(zhǎng)L2m，兩端都拉直時(shí)與軸的夾角分別為30與45，問球的角速度在什么范圍內(nèi)，兩繩向來張緊，當(dāng)角速度為3rads時(shí)，上、下兩繩拉力分別為多大？A30B45解：當(dāng)漸大，AC繩與桿夾角變大，但BC繩還沒拉直。當(dāng)AC繩與桿夾角為30時(shí)，BC繩處在虛直狀態(tài)。此后再增大，BC繩上也會(huì)有拉力。因此BC繩虛直為臨界狀態(tài)。g1010032.4rad/so2

10、Lcos30o3mgtan30mLsin30o2020，BC繩上有拉力。解析小球，由牛頓第二定律：ATACcos30oTBCcos45omg30oo2oBTACsin30TBCsin45mLsin30453TAC2TBCmgTAC31N2210C1TAC2TBC1m2LgTBC1726N222L20變式6-1：如圖，長(zhǎng)為L(zhǎng)的繩子，下端連著質(zhì)量為m的小球，上端接于天花板上，當(dāng)把繩子拉直時(shí)，繩與豎直方向夾角=60。此時(shí)小球靜止于圓滑水平面上。g（1）當(dāng)小球以L做圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力多大？桌面支持力多大？4g（2）當(dāng)小球以L做圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，繩子張力多大？桌面碰到的壓力多大？FN1mg答案：（1）T=

11、mg2(2)T=4mgFN0變式6-2、以下列圖，一個(gè)圓滑的圓錐體固定在水平桌面上，其軸線沿豎直方向，母線與軸線之間的夾角為30，一條長(zhǎng)度為L(zhǎng)的繩（質(zhì)量不計(jì)），一端的地址固定在圓錐體的極點(diǎn)O處，另一端拴著一個(gè)質(zhì)量為m的小物體（物體可看質(zhì)點(diǎn)），物體以速率v繞圓錐體的軸線做水平勻速TN圓周運(yùn)動(dòng)。當(dāng)v16gL時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力；當(dāng)v32gL時(shí)，求繩對(duì)物體的拉力。解：物體在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力G、拉力T、支持力N供應(yīng)向心力，當(dāng)角速度很小時(shí)，物體在圓錐體上運(yùn)動(dòng)。TsinNcosmv2(1)LsinTcosNsinmg(2)TmgNsincos由（2）得：mgtanv2N(tansincos)

12、m代入（1）得：Lsin由此可得，當(dāng)v增大時(shí)，N減少。當(dāng)大到必然值時(shí)，物體將走開錐面，繩與豎直方向的夾角將變大。顯然當(dāng)球與錐面虛接觸（即N=0，=30）時(shí)的線速度值為物體的臨界速度。對(duì)球解析，由牛T2mv02(3)2L3Tmg(4)頓第二定律：2T23mgv03gL63TsinNcosmv12gL(1)v0Lsinv1TcosNsinmg(2)當(dāng)6，因此N0。NmgTcossin由（2）得：T(sincotcos)mgcotmv12Lsin代入（1）得：2mgLmg3mv0mgcot6L1331TLsin21.03mgsincotcos136mg322v23gLv0230當(dāng)，此時(shí)N=0，但夾角

13、變大，不為Tsinmv2(5)LsinTcosmg(6)Tmgmgsinmv2由（6）得：cos（7），代入（5）得：cosLsinsin2v23gL21.5cosgLgL60o代入（7）得：T2mg例7、以下列圖，細(xì)繩一端系著質(zhì)量M的物體，靜止在水平面上，另一端經(jīng)過圓滑的小孔吊著質(zhì)量m的物體，M的中與圓孔距離為，并知M和水平面的最大靜摩擦力為2N?，F(xiàn)使此平面繞中心軸線轉(zhuǎn)動(dòng)，問角速度在什么范圍m會(huì)處于靜止?fàn)顟B(tài)？（g10ms2）53rad/s515rad/s（的范圍是：33Mo即radsrads）m變式7：在以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)臺(tái)上放著一質(zhì)量為M的物體，經(jīng)過一條圓滑的細(xì)繩，由轉(zhuǎn)臺(tái)中央小孔穿下，連

14、接著一m的物體，以下列圖。設(shè)M與轉(zhuǎn)臺(tái)平面間的最大靜摩擦力為壓力的k倍，且轉(zhuǎn)臺(tái)不轉(zhuǎn)時(shí)M不能夠相對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)靜止。求：1）若是物體M離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的距離保持R不變，其他條件相同，則轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度滿足什么條件，物體M才能隨轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)？2）物體M隨轉(zhuǎn)臺(tái)一起以角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，物體離轉(zhuǎn)臺(tái)中心的最大距離和最小距離。230rad/sM答案：（1）3（2）25rad/sm例8、以下列圖，在水平轉(zhuǎn)臺(tái)上放有A、B兩個(gè)小物塊，它們距離軸心O分別為rA0.2m，rB0.3m，它們與臺(tái)面間相互作用的靜摩擦力的最大值為其重力的倍，取g10m/s2。1）當(dāng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，要使兩物塊都不發(fā)生相對(duì)于臺(tái)面的滑動(dòng)，求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度的范圍；2）

15、要使兩物塊都對(duì)臺(tái)面發(fā)生滑動(dòng)，求轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)角度速度應(yīng)滿足的條件。OAB0210rad/s（2）25rad/s答案：（1）3變式8：如圖，勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的水平圓盤上，沿半徑方向放置用細(xì)線相連的質(zhì)量均為m的A、B兩個(gè)小物塊。A離軸心的距離r1=20cm，B離軸心的距離r2=30cm，A和B與盤面間相互作用的最大靜摩擦力均為重力的倍，求：（1）若細(xì)線上沒張力，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度應(yīng)該滿足什么條件？O（2）欲使A、B與盤間不發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，圓盤轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度為多少？（3）當(dāng)A馬上滑動(dòng)時(shí)，燒斷細(xì)線，A、B運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何？BA230rad/s（2）4rad/sO答案：（1）33）A連續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，B做離心運(yùn)動(dòng)五、圓周運(yùn)動(dòng)

16、的周期性問題：利用周運(yùn)的周期性把另一種運(yùn)（比方勻速直運(yùn)、平拋運(yùn)）系起來。周運(yùn)是一個(gè)獨(dú)立的運(yùn)，而另一個(gè)運(yùn)平時(shí)也是獨(dú)立的，分明確兩個(gè)運(yùn)程，注意用相等來系。在中，要注意找兩種運(yùn)之的系，常常是通相等來建立系的。同，要注意周運(yùn)擁有周期性，因此常常有多個(gè)答案。例9：如所示，半徑R的垂直于面的中心勻速，其正上方h沿OB方向水平拋出一個(gè)小球，要使球與只碰一次，且落點(diǎn)B，小球的初速度v_，的角速度_?！尽啃∏蜃龅氖瞧綊佭\(yùn)，在小球做平拋運(yùn)的段內(nèi)，做了必然角度的周運(yùn)。1解：小球做平拋運(yùn)，在直方向上：h2gt22h運(yùn)tgRg又因水平位移R，因此球的速度vt在t內(nèi)，的角度n2，又因Rt2hn2g角速度：t2n2h(n1

17、，2，3)【】上中涉及周運(yùn)和平拋運(yùn)兩種不相同的運(yùn)，兩種不相同運(yùn)律在解決同一，常常用“”一物理量把兩種運(yùn)系起來。式9-1：如所示，小球Q在直平面內(nèi)做勻速周運(yùn)，當(dāng)Q球到示地址，有另一小球P在距周最高點(diǎn)h開始自由下落.要使兩球在周最高點(diǎn)相碰，球的角速度足什么條件？【】下落的小球P做的是自由落體運(yùn)，小球Q做的是周運(yùn)，若要想碰，必足相等個(gè)條件。解：P球自由落體到周最高點(diǎn)的t，由自由落體可得Q12h2gt2=h求得t=gQ球由示地址至最高點(diǎn)的也是t，但做勻速周運(yùn)，周期T，有T222ht=(4n+1)4(n=0，1，2，3)兩式立再由T=得(4n+1)=gg因此=2(4n+1)2h(n=0，1，2，3)【】

18、由于周運(yùn)每個(gè)周期會(huì)重復(fù)同一個(gè)地址，故擁有重復(fù)性。在做目，考周運(yùn)的周期性六、周運(yùn)中的界：1、如所示，水平上放有量m的物，當(dāng)物到的距離r，r接物和的好被拉直（上力零）。物體和最大靜摩擦力o是其下力的倍。求：g當(dāng)角速度1，的拉力T1。2r當(dāng)角速度23gT2。2r，的拉力1mg答案：（1）0（2）22、ABD）3、(BD)4、在質(zhì)量為M的電動(dòng)機(jī)飛輪上，固定著一個(gè)質(zhì)量為m的重物，重物到軸的距離為R，以下列圖，為了使電動(dòng)機(jī)不從地面上跳起，電動(dòng)機(jī)飛輪轉(zhuǎn)動(dòng)的最大角速度不能夠高出（B）MmMmAgBgmRmRMmgMgCmRDmR5、在圓滑的水平面上釘有兩個(gè)釘子A和B.相距20cm.用一根長(zhǎng)度為1m的細(xì)繩.一端系一個(gè)質(zhì)量為0.4kg的小球.另一端栓在釘子A上.使小球開始位于A的左邊.并以2m/s的速率在水平AB面上繞A做勻速圓周運(yùn)動(dòng).若繩子承受4N的拉力就會(huì)斷.那么從開始運(yùn)動(dòng)到繩被拉斷.小球轉(zhuǎn)的半圓周數(shù)（B）