時間序列分析講義第10章協(xié)方差平穩(wěn)向量過程

1、 第十章協(xié)方差平穩(wěn)向量過程在時間序列理論當(dāng)中，涉及到向量時間序列的主要有兩部分內(nèi)容，一部分是多元動態(tài)系統(tǒng)，另一部分是向量自回歸模型的估計和檢驗。在本章當(dāng)中，我們主要討論一些有關(guān)向量隨機(jī)過程的基本概念。10.1向量自回歸導(dǎo)論仍然利用小寫字母表示隨機(jī)變量或者觀測的實現(xiàn)，只是現(xiàn)在討論n1維隨機(jī)向量之間的動態(tài)交互作用。一個p階向量自回歸模型可以表示為VAR(p):Y，c+Y+Y+Y+t1t12t2pt-pt其中,是nn階系數(shù)矩陣，是白噪聲向量，滿足：1ptg,s，tE()斗s/0,s豐t其中Q是nn階正定矩陣?？梢岳梅至啃问綄⑸鲜龇匠探M的第一個方程表示為：1ty，c+6y+6y+61t1t1111,

2、t-1122,t-11nn,t-1+6(2)y+6(2)y+6(2)y+111,t-2122,t-21nn,t-2TOC o 1-5 h z+6(p)y+6(p)y+6(p)y+111,t-p122,t-p1nn,t-p1t由此可見，在VAR(p)模型當(dāng)中，每個變量都表示成為常數(shù)項和其他所有變量的p階自回歸形式。一個顯著的不同是，每個方程的殘差項之間可能是相關(guān)的。利用滯后算子形式，可以將VAR(p)模型表示成為：ILLi一Lpy，c+n12ptt其中滯后算子多項式的元素可以表示成為：(L)，6L6Li一6(p)Lpijijijijij其中.，1,i，j，.，0,i主jijij定義10.1如果一

3、個向量過程的一階矩和二階矩與時間無關(guān)，則稱其是協(xié)方差平穩(wěn)過程。此時下述變量與初始時間t無關(guān)：E(y)和E(yy.)tttj命題10.1如果一個向量過程滿足VAR(p)模型，則有：該過程的均值向量可以表示成為：卩，I1cTOC o 1-5 h zn12pVAR(p)模型可以表示成為中心化形式：(y耐,理(y1卩)+(y耐+(y卩)+t1t12t2ptpt類似于高階差分方程情形，我們也可以將向量VAR(p)模型表示成為VAR(1)過程。定義:y“y“一61626366-wt123p1pty-“I00000t1ny-“，F(xiàn)，0I000，v，0t2:n:t:“000I00t-p+11-nt則向量VAR

4、(p)模型可以表示成為VAR(1)過程:g=Fg1v1t與將高階線性差分方程表示為一階差分方程一樣，也可以將VAR(p)表示成為VAR(1)的形式。為此，定義更高階的向量：g1=(y卩,y1，,y1，)np1tt，1t，p1V=(,0,0)np1t_1231pI0000nF=0I000npxnp:n:000In0定義10.2如果一個向量過程的一階矩和二階矩與時間無關(guān)，則稱其是協(xié)方差平穩(wěn)過程。此時下10.2向量過程的自協(xié)方差和收斂結(jié)果與標(biāo)量過程類似，我們繼續(xù)討論向量過程的自協(xié)方差函數(shù)及其性質(zhì)。10.2.1j階自相關(guān)矩陣對一個協(xié)方差平穩(wěn)的n維向量過程，j階自協(xié)方差定義為下面的nxn維矩陣：r=E(y”)(y訥丿t丿我們需要注意的是，對于標(biāo)量過程而言，如果該過程是協(xié)方差平穩(wěn)的，則自協(xié)方差函數(shù)具有對稱性，即y.=y,.。但是對向量平穩(wěn)過程而言，卻有：r)豐r,)。例如，矩陣r.的(1,2)位置元素是cov(y,/)，而矩陣r的(1,2)位置元素是Cov(yy)，沒有理由認(rèn)為1t21，j，j1t21+j這兩者之間是相關(guān)的，因為y1對以前出現(xiàn)在y2的變化產(chǎn)生的反應(yīng)可能與y2對以前出現(xiàn)在y1的變化的反應(yīng)完全不同。但是，正確的關(guān)系式是：r=r為了推導(dǎo)出這個公式，注意到協(xié)方差平穩(wěn)性意味著時刻t可以替代為任意的tj，則有:r=E(yM)(ym)=E(yM)