空間中直線與直線之間的位置關系(附規(guī)范標準答案)

1、空間中直線與直線之間的位置關系學習目標1會判斷空間兩直線的位置關系.2理解兩異面直線的定義，會求兩異面直線所成的角.3能用公理4解決一些簡單的相關問題.戸知識梳理自主學習知識點一空間中兩條直線的位置關系1異面直線(1)定義：不同在任何一個平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線.要點分析：異面直線的定義表明：異面直線不具備確定平面的條件異面直線既不相交,也不平行.不能誤認為分別在不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線如圖中，雖然有aUa,bup,即a,b分別在兩個不同的平面內(nèi)，但是因為aHb=O,所以a與b不是異面直線.(2)畫法：畫異面直線時，為了充分顯示出它們既不平行也不相交，即不共面的特點，常常需要畫一個或

2、兩個輔助平面作為襯托，以加強直觀性、立體感如圖所示，a與b為異面直線.(3)判斷方法方法內(nèi)容定義法依據(jù)定義判斷兩直線不可能在同一平面內(nèi)定理法過平面外一點與平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點的直線為異面直線(此結論可作為定理使用)反證法假設這兩條直線不是異面直線，那么它們是共面直線(即假設兩條直線相交或平行)，結合原題中的條件，經(jīng)正確地推理，得出矛盾，從而判定假設“兩條直線不是異面直線”是錯誤的，進而得出結論：這兩條直線是異面直線2空間中兩條直線位置關系的分類(1)按兩條直線是否共面分類廠相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點丿共面直線平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點異面直線：不同在任何一個平

3、面內(nèi)，沒有公共點(2)按兩條直線是否有公共點分類有且僅有一個公共點相交直線無公共點有且僅有一個公共點相交直線無公共點平行直線異面直線思考(1)分別在兩個平面內(nèi)的兩條直線一定是異面直線嗎？(2)兩條垂直的直線必相交嗎？答(1)不一定.可能相交、平行或異面.(2)不一定.可能相交垂直，也可能異面垂直.知識點二公理4(平行公理)文字語言平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這一性質叫做空間平行線的傳遞性符號語言allcbileQab圖形語言知識點三空間等角定理1.定理文字語言空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.符號語言OAHOA,OBHOBZAOB=ZAOB或ZAOB+ZAOB

4、=180。圖形語言川erv/AB0上AO-A作用判斷或證明兩個角相等或互補2.推廣如果兩條相交直線與另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.思考如果兩條直線和第三條直線成等角，那么這兩條直線平行嗎？答不一定.這兩條直線可能相交、平行或異面知識點四異面直線所成的角1.概念：已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過空間任一點O作直線aHa,bb，我們把a與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).2異面直線所成的角0的取值范圍：OV0W9O.3如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直兩條互相垂直的異面直線a，b,記作a丄b.4異面直線所成的角的兩種求

5、法（1）在空間任取一點O,過點O分別作aa,bb,則a與b所成的銳角（或直角）為異面直線a與b所成的角，然后通過解三角形等方法求角.（2）在其中一條直線上任取一點（如在b上任取一點）O,過點O作另一條直線的平行線（如過點O作aa），則兩條直線相交所成的銳角（或直角）為異面直線所成的角（如b與a所成的角），然后通過解三角形等方法求角（如圖）.題型探究題型一空間兩條直線的位置關系的判定例1若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關系是（）A.平行B.異面C.相交D.平行、相交或異面答案D解析可借助長方體來判斷.如圖，在長方體ABCDABCD中，AD所在直線為a,AB所在直線為b,已知a

6、和b是異面直線,b和c是異面直線，則c可以是長方體ABCDABCD中的BC,CC,DD.故a和c可以平行、相交或異面.DfADfAbB跟蹤訓練1如圖所示，在正方體ABCDABCD中，判斷下列直線的位置關系：（1）直線AB與直線D1C的位置關系是；（2）直線AB與直線B1C的位置關系是；直線D1D與直線D1C的位置關系是直線AB與直線B1C的位置關系是.答案(1)平行(2)異面(2)相交(4)異面解析序號結論理由(1)平行因為AD綊BC,所以四邊形A1BCD1為平行四邊形，所以ABDC(2)異面AB與B1C不同在任何一個平面內(nèi)(3)相交D1DHD1C=D1(4)異面AB與BC不同在任何一個平面內(nèi)

7、題型二公理4、等角定理的應用例2E,F分別是長方體ABCD-A1B1C1D1的棱A/,C1C的中點，求證：四邊形B1EDF是平行四邊形.DCl證明設Q是DD1的中點，連接EQ,QC1.DCl因為E是AA1的中點，所以EQ/AD.11又因為在矩形ABCD.中，AD/BC,1111iiii所以EQ/BC.ii所以四邊形EQC1B1為平行四邊形所以BE/CQ.又因為Q,F分別是矩形DD1C1C兩邊D1D,C1C的中點，所以QD/CF.所以四邊形DQC1F為平行四邊形.所以CQ/FD.1又因為BE/CQ，所以BE/FD.所以四邊形BEDF為平行四邊形.跟蹤訓練2如圖，已知E,F,G,H分別是空間四邊形

8、ABCD的邊AB,BC,CD,DA的中點.求證：E,F,G,H四點共面；若四邊形EFGH是矩形，求證：AC丄BD.證明(1)在AABD中，TE,H分別是AB，AD的中點，:、EH/BD.同理FGBD,則EH/FG.故E,F,G,H四點共面.(2)由(1)知EH/BD,同理AC/GH.又J四邊形EFGH是矩形，.：EH1GH.故ACLBD.題型三異面直線所成的角A例3如圖所示，在空間四邊形ABCD中，AB=CD,AB丄CD,E,F分別為BC,AD的中點，求EF和AB所成的角.A解如圖，取BD的中點G,連接EG,FG.因為E,F分別為BC,AD的中點，AB=CD,所以EG/CD,GF/AB,且EG

9、=2CD,gf=1ab.所以ZGFE就是EF與AB所成的角或其補角，EG=GF.因為AB丄CD,所以EG丄GF.所以ZEGF=90.所以4EFG為等腰直角三角形.所以ZGFE=45,即EF與AB所成的角為45.跟蹤訓練3空間四邊形ABCD中,AB=CD且AB與CD所成的角為30,E,F分別為BC,AD的中點，求EF與AB所成角的大小.解取AC的中點G,連接EG,FG,則EG/*B,GF/2cD.故直線GE,EF所成的銳角即為AB與EF所成的角,直線GE,GF所成的銳角即為AB與CD所成的角.TAB與CD所成的角為30,:.ZEGF=30或150.由AB=CD，知EG=FG,.EFG為等腰三角形

10、.當ZEGF=30。時，ZGEF=75；當ZEGF=150時，ZGEF=15.故EF與AB所成的角為15或75.數(shù)學思想轉化與化歸思想例5在空間四邊形ABCD中，AD=BC=2a,E,F分別是AB,CD的中點，EF=*a，求異面直線AD,BC所成的角.分析要求異面直線AD,BC所成的角，可在空間中找一些特殊點，將AD,BC平移至一個三角形中此題已知E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，故可尋找一邊中點，如BD的中點M，則ZEMF（或其補角）為所求角.C解如圖，取BD的中點M.由題意，知EM為ABAD的中位線,所以EM/AD且EM=*D.C同理，MF/BC且MF=*BC.所以EM=a,MF=a,且ZEM

11、F（或其補角）為所求角.在等腰AMEF中，取EF的中點N，連接MN則MNLEF.又因為EF=/3a,3所以EN=2a.,ENV3故有smZEMN=EM=.所以ZEMN=60，所以ZEMF=2ZEMN=120.因為ZEMF=12090。，所以AD，BC所成的角為/EMF的補角，即AD和BC所成的角為60.解題技巧反證法的合理應用例6如圖，三棱錐P-ABC中，E是PC上異于點P的點求證：AE與PB是異面直線.分析利用定義直接證明，即從不同在任何一個平面內(nèi)中的“任何”開始入手，一個平面一個平面地尋找是不可能實現(xiàn)的，因此必須找到一個間接證法來證明，反證法即是一種行之有效的方法.證明假設AE與PB不是異

12、面直線，設AE與PB都在平面a內(nèi)，因為PGa,EWa，所以PEa.又因為CWPE，所以CWa.所以點P,A,B,C都在平面a內(nèi).這與P,A,B,C不共面（P-ABC是三棱錐）矛盾.于是假設不成立，所以AE與PB是異面直線.尹當堂檢測自晉自糾1若空間兩條直線Q和b沒有公共點，則Q與b的位置關系是（）共面B.平行C.異面D.平行或異面2.一條直線與兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條的位置關系是（）A.平行或異面B.相交或異面C.異面D.相交3設P是直線l外一定點，過點P且與l成30角的異面直線（）A.有無數(shù)條B.有兩條C.至多有兩條D.有一條4.如圖所示，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點或所

13、在棱的中點，則表示直線GH，MN5在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為C1D1的中點，則異面直線AE與A所成角的余弦值為戸課時精練一、選擇題1分別和兩條異面直線平行的兩條直線的位置關系是（）A.定平行B.定相交C.一定異面D.相交或異面TOC o 1-5 h z2已知空間兩個角a,B，a與B的兩邊對應平行，且a=60。，則“等于（）A.60。B.120。C.30。D.60?；?203在正方體ABCD-A1B1C1D1中，異面直線BA1與CC1所成的角為（）A.30。B.45。C.60。D.90。4下面四種說法：若直線a、b異面，b、c異面，則a、c異面；若直線a、b相交，b、c相交，則a

14、、c相交；若ab，則a、b與c所成的角相等；若alb,b丄c，則allc.其中正確的個數(shù)是（）A.4B.3C.2D.15空間四邊形的對角線互相垂直且相等，順次連接這個四邊形各邊中點，所組成的四邊形是（）A.梯形B.矩形C.平行四邊形D.正方形6若空間四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的長分別是8,12,則過AB的中點E且平行于BD，AC的截面四邊形的周長為（）A.10B.20C.8D.47如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中點，則下列敘CEB述正確的是（）CEBA.CC、與BE是異面直線CC與AE共面AE與BC是異面直線AE與B,C,所成的角為60

15、二、填空題8在四棱錐PABCD中，各棱所在的直線互相異面的有對.9.一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結論：AB丄EF；AB與CM所成的角為60。；EF與MN是異面直線；MNCD.以上結論中正確的序號為.E10如圖所示，在正方體ABCDABCD中，異面直線AB與AD所成的角為,三、解答題11.如圖所示，等腰直角三角形ABC中，ZBAC=90,BC=&,DA丄AC,DA丄AB,若DA=1,且E為DA的中點，求異面直線BE與CD所成角的余弦值.12如圖，E,F,G,H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點，且有AE:EB=AH：HD=m,CF:FB=CG:GD=n.證明：E,F,G,

16、H四點共面；m,n滿足什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形?在(2)的條件下，若/C丄BD,試證明：EG=FH.當堂檢測答案1.答案D解析若直線a和b共面，則由題意可知a/b；若a和b不共面，則由題意可知a與b是異面直線.2.答案B解析如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1與BC是異面直線，又AA/BB,A.A/DD,顯然BB1HBC=B,DD與BC是異面直線，故選B.CC3.答案A解析我們現(xiàn)在研究的平臺是錐空間如圖所示，過點p作直線廠1,以t為軸，與r成30角的圓錐面的所有母線都與l成30角.4.答案解析中，VG,M是中點，：AG綊BM,：GM綊AB綊HN,:GH/MN，即G,

17、H,M，N四點共面；中，VH,G,N三點共面，且都在平面HGN內(nèi)，而點M顯然不在平面HGN內(nèi)，：H,G，M，N四點不共面，即GH與MN異面；中，VG，M是中點，:GM2cD，-GM綊HN，即GMNH是梯形，則HG，MN必相交，:H，G，M，N四點共面;中，同，G,H,M,N四點不共面，即GH與MN異面.解析設棱長為1,因為ABJ/CD所以ZAED、就是異面直線AE與AB所成的角.在AED1中,cosZAEDcosZAED=DEAE1-3=1-2-3-2課時精練答案一、選擇題1.答案D解析可能相交也可能異面，但一定不平行（否則與條件矛盾）.C2答案DC解析由等角定理，知B與a相等或互補，故卩=6

18、0?；?20.3答案B解析如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BBJ/CC,故ZBA】就是異面直線BA1與CC1所成的角，故為45.4答案D解析若a、b異面，b、c異面，則a、c相交、平行、異面均有可能，故不對.若a、b相交，b、c相交，則a、c相交、平行、異面均有可能，故不對.若alb,b丄c,則a、c平行、相交、異面均有可能，故不對正確.5答案D解析如圖，因為BD丄AC,且BD=AC，又因為E，F(xiàn)，G，H分別為對應邊的中點，所以FG/EH/|bD，HGEF*C.所以FG丄HG,且FG=HG.所以四邊形EFGH為正方形.6答案B解析設截面四邊形為EFGH，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，B

19、C，CD，DA的中點，:EF=GH=2=2AC=4，F(xiàn)G=HE=BD=6,周長為2X(4+6)=20.7答案C解析由于CC1與B1E都在平面CBBC內(nèi)，故C1C與B1E是共面的，所以A錯誤；由于C1C在平面CBBC內(nèi)，而AE與平面C1B1BC相交于E點，點E不在C1C上,故C1C與AE是異面直線，B錯誤；同理AE與B1C1是異面直線，C正確；而AE與B1C1所成的角就是AE與BC所成的角，E為BC中點，AABC為正三角形，所以AE丄BC,D錯誤綜上所述,故選C.二、填空題8答案8解析以底邊所在直線為準進行考察，因為四邊形ABCD是平面圖形,4條邊在同一平面內(nèi)，不可能組成異面直線，而每一邊所在直線能與2條側棱組成2對異面直線，所以共有4X2=8（對）異面直線.9答案解析把正方體的平面展開圖還原成原來的正方體，如圖所示，AB丄EF,EF與MN是異面直線，AB/CM,MN丄CD,只有正確.10.答案10.答案60解析連