例談“一線三等角”課件

1、尋圖形之關(guān)聯(lián) 搭模型之框架例談“一線三等角”尋圖形之關(guān)聯(lián) 搭模型之框架例談“一線三等角”緣從何起 數(shù)學(xué)離不開解題，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。 著名數(shù)學(xué)大師華羅庚曾說：“學(xué)數(shù)學(xué)不做題目，等于入寶山而空返”；著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說：“掌握數(shù)學(xué)就意味著要善于解題”。毋庸諱言，初中三年的數(shù)學(xué)教學(xué)的成與敗，將直接體現(xiàn)在學(xué)生中考兩個(gè)小時(shí)的解題能力上。 因此，數(shù)學(xué)教師加強(qiáng)對(duì)中考數(shù)學(xué)解題的研究，有著極其重要的現(xiàn)實(shí)意義。緣從何起 數(shù)學(xué)離不開解題，解題教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的緣從何起 在近些年的數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)中，模型教學(xué)與滲透越來越受到廣大數(shù)學(xué)教師的關(guān)注，而在眾多的基本模型中，相似模型（含全等模型）因其種類多、圖形

2、美、內(nèi)涵豐富， 常常成為各類公開課和展示課上的“嘉賓”。而“一線三等角”模型作為其中的“翹楚”，更是受到了許多中考命題者的青睞，以其為基本框架而精心設(shè)計(jì)的試題，在近些年各省市的中考中，屢見不鮮，精彩紛呈（2018年連云港市中考數(shù)學(xué)就考到了兩題，且均為壓軸題）。其中有些試題，“一線三等角”直接躍然于紙上，讓人一目了然，茅塞頓開；另有部分試題，“一線三等角”并非直觀呈現(xiàn)，而是隱藏在所給的圖形中，這就需要我們通過觀察辨別和分析探究，合理地予以構(gòu)造，挖掘出圖中隱藏的“一線三等角”。 緣從何起 在近些年的數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)中，模型教學(xué)與滲透越來追根溯源追根溯源追根溯源你會(huì)證明勾股定理嗎？你能用至少三種方法證明

3、勾股定理嗎？追根溯源你會(huì)證明勾股定理嗎？你能用至少三種方法證明勾股定理嗎 “一線三等角”是一個(gè)常見的相似模型，指的是有三個(gè)等角的頂點(diǎn)在同一條直線上構(gòu)成的相似圖形（包含全等圖形）。這個(gè)角可以是直角，也可以是銳角或者鈍角。對(duì)于“一線三等角”，有的地區(qū)叫“K型圖”，也有的地區(qū)叫“M型圖”，在這里我們統(tǒng)一稱為“一線三等角”。 在連云港，主要考察的是“一線三直角”。追根溯源 “一線三等角”是一個(gè)常見的相似模型，指的是有三個(gè)等角一線三等角的呈現(xiàn)形式有三種：直角形、銳角形、鈍角形。一線三等角的呈現(xiàn)形式有三種：模型呈現(xiàn)直角形“一線三等角”結(jié)論：ADBCEA“一線三直角”模型呈現(xiàn)直角形“一線三等角”結(jié)論：ADB

4、CEA“一模型呈現(xiàn)銳角形“一線三等角”結(jié)論：ADBCEACAB模型呈現(xiàn)銳角形“一線三等角”結(jié)論：ADBCEACA模型呈現(xiàn)鈍角形“一線三等角”結(jié)論：ADBCEACAB模型呈現(xiàn)鈍角形“一線三等角”結(jié)論：ADBCEACA模型呈現(xiàn)一線三等角直角形“一線三等角”銳角形“一線三等角”鈍角形“一線三等角”ADBCEAADBCEAADBCEA最特殊考到幾率最大模型呈現(xiàn)一線三等角直角形“一線三等角”銳角形“一線三等角”鈍 下面我們一起研究“一線三等角”常見的四種類型。 下面我們一起研究“一線三等角”常見的四種類型。模型應(yīng)用類型一 三角齊見，模型自現(xiàn)（2018連云港16）如圖，E、F、G、H分別為矩形ABCD的邊

5、AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、HE、EC，GA，GF已知AGGF，AC= ，則AB的長(zhǎng)為 在RtDAC中，利用勾股定理可求DC模型應(yīng)用類型一 三角齊見，模型自現(xiàn)（2018連云港16模型應(yīng)用類型一 三角齊見，模型自現(xiàn)（2017四川綿陽17）將形狀、大小完全相同的兩個(gè)等腰三角形如圖所示放置，點(diǎn)D在AB邊上，DEF繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，腰DF和底邊DE分別交CAB的兩腰CA，CB于M，N兩點(diǎn)，若CA=5，AB=6，AD:AB=1:3，則 的最小值為 模型應(yīng)用類型一 三角齊見，模型自現(xiàn)（2017四川綿陽1 以上兩例都是典型的“一線三等角”試 題，由于模型的框架已搭建，因此降低了試題的難度 兩道題雖涉及

6、不同的圖形變換，但解法本質(zhì)一 致，均為利用模型構(gòu)建比例式解決問題 兩道題都著重考查學(xué)生在圖形變換過程中的觀察理解、直觀感知、推理轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)能力和思想 模型應(yīng)用類型一概述 以上兩例都是典型的“一線三等角”試 題，由于模模型應(yīng)用類型二 隱藏局部，小修小補(bǔ)（2017泰安14）如圖，在正方形ABCD中，M為BC上一點(diǎn)，MEAM，ME交AD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，若AB=12，BM=5，則DE的長(zhǎng)為（ ）F模型應(yīng)用類型二 隱藏局部，小修小補(bǔ)（2017泰安14）模型應(yīng)用類型二 隱藏局部，小修小補(bǔ)（2017麗水16）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=-x+m分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B，已知點(diǎn)C（2,0）。（2

7、）設(shè)點(diǎn)P為線段OB的中點(diǎn)，連接PA、PC，若CPA=ABO，則m的值是 。模型應(yīng)用類型二 隱藏局部，小修小補(bǔ)（2017麗水16）模型應(yīng)用類型二概述 上述兩道題雖分別以四邊形和一次函數(shù)為命題背景，但圖形的共性較明顯: 均將原有 “一線三等角”模型中的一角進(jìn)行了隱藏，而這就要求學(xué)生理性地從圖形的角度進(jìn)行思考與聯(lián)想，發(fā)現(xiàn)其中最本質(zhì)的特征，挖掘蘊(yùn)含在圖中的幾何模型兩道題均較好地體現(xiàn)了對(duì)“四基”的綜合考查， 提升了學(xué)生思維的層次性和靈活性 模型應(yīng)用類型二概述 上述兩道題雖分別以四邊形和一模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（2015連云港16）如圖，在ABC中，BAC=60，ABC=90，直線l1l2l3

8、， l1與l2之間的距離是1， l2與l3之間的距離是2， l1、l2、l3分別經(jīng)過點(diǎn)A、B、C，則邊AC的長(zhǎng)為 ?！熬匦未蠓ā痹赗tADB中，BD=1,可求AB,則AC=2AB模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（2015連云港16模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（變式題1）如圖， l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線， l1與l2之間的距離是1， l2與l3之間的距離是2，等邊ABC的三頂點(diǎn)分別在l1、l2、l3上，則ABC的邊長(zhǎng)a為 。BDF=60，BF=1CEG=60，CG=3AF已知，BF=1,利用勾股定理可求AB模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（變式題1）如圖， l1模型應(yīng)

9、用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（變式題1）如圖， l1、l2、l3是同一平面內(nèi)的三條平行直線， l1與l2之間的距離是1， l2與l3之間的距離是2，正三角形ABC的三頂點(diǎn)分別在l1、l2、l3上，則ABC的邊長(zhǎng)a為 。D為GF中點(diǎn)，DG=DF=GE=1,則ED=2.在RtDFC中，DF=1,FC已知，可求DC.模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（變式題1）如圖， l1模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（變式題2）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（0, ），點(diǎn)B（4,0），點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，若ABC為等邊三角形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 。模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（變式題2）如圖，在平面模型應(yīng)用類

10、型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（2018連云港8）如圖，菱形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B、D在反比例函數(shù) 的圖象上，對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)恰好是坐標(biāo)原點(diǎn)O，已知點(diǎn)A（1，1），ABC=60，則k的值是（）A5 B4 C3 D2 因?yàn)镺AF的面積為 所以BOE的面積為模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（2018連云港8）模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（2017株洲17）如圖，一塊30、60、90的直角三角板，直角頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn)，斜邊AB垂直于x軸，頂點(diǎn)A在函數(shù) （其中x0） 的圖像上，頂點(diǎn)B在函數(shù) （其中x0）的圖像上，ABO=30，則 = 。模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（2017株洲17）模型

11、應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（2017徐州27）如圖，已知二次函數(shù) 的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，C的半徑為 ，P 為C上一動(dòng)點(diǎn).（2）是否存在點(diǎn)P，使得PBC為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。直角三角形存在性問題模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ)（2017徐州27） （2015連云港27）如圖，已知一條直線過點(diǎn)（0,4），且與拋物線 交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A的橫坐標(biāo)是-2（2）在x軸上是否存在點(diǎn)C，使得ABC是直角三角形？若存在，求出點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；模型應(yīng)用類型三 一角獨(dú)處，兩側(cè)添補(bǔ) （2015連云港27）如圖，已知一條直線過點(diǎn)（0

12、 上述幾道題雖呈現(xiàn)的背景不同，但都蘊(yùn)含 知識(shí)技能、思想方法、數(shù)學(xué)模型于圖形之中，題中的 “特殊角”是解題的關(guān)鍵，也是搭建模型框架的基礎(chǔ)，更是學(xué)生解題思路的來源與“腳手架” 這幾道題實(shí)質(zhì)上都是考查學(xué)生利用模型進(jìn)行數(shù)學(xué)思考的能力，同時(shí)也有效地檢測(cè)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的把握情況 模型應(yīng)用類型三概述 上述幾道題雖呈現(xiàn)的背景不同，但都蘊(yùn)含 知識(shí)技能模型應(yīng)用類型四 線角齊藏，經(jīng)驗(yàn)來幫（2017金華15）如圖 ，已知點(diǎn) A( 2,3) 和點(diǎn) B( 0,2) ,點(diǎn) A 在反比例函數(shù) 的圖像上作射線 AB，再將射線AB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 45,交反比例函數(shù)圖像于點(diǎn) C，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為 把D點(diǎn)坐標(biāo)代入直線AB

13、的解析式模型應(yīng)用類型四 線角齊藏，經(jīng)驗(yàn)來幫（2017金華15）模型應(yīng)用類型四概述 本題實(shí)質(zhì)上以圖形的旋轉(zhuǎn)為問題的切入點(diǎn)，較好地激發(fā)學(xué)生探索的意愿，促使學(xué)生在模擬圖形運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，自發(fā)地利用題中所蘊(yùn)含的特殊角，展開適當(dāng)?shù)穆?lián)想，尋找圖形間的聯(lián)系，利用數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)，搭建模型框架。本題意在尋求突破，體現(xiàn)分層考查，有著較好的考試信度與效度 模型應(yīng)用類型四概述 本題實(shí)質(zhì)上以圖形的旋轉(zhuǎn)為問題 通過上述四種應(yīng)用類型的后三種，我們不難發(fā)現(xiàn)：對(duì)于有些中考試題，“一線三等角”并非直觀、完整地呈現(xiàn)，而是在原圖中隱藏了局部或全部結(jié)構(gòu)，因此思維層次隨之提升。若我們能充分利用題中所給的已知角或挖掘圖中隱藏的特殊角，通過“找角

14、，定線，搭框架”，讓模型“現(xiàn)出原形”，則解題思路便會(huì)油然而生，豁然開朗。 應(yīng)用綜述 通過上述四種應(yīng)用類型的后三種，我們不難發(fā)現(xiàn)：教學(xué)啟示 在近幾年的各地中考試卷中，逐漸涌現(xiàn)出由同一類基本模型延伸而來的試題，這些試題雖呈現(xiàn)的背景不盡相同，但解決問題的方法和思想相通，這就要求教師在平時(shí)的解題教學(xué)中，充分挖掘習(xí)題的內(nèi)在價(jià)值，鼓勵(lì)學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行深入研究，引導(dǎo)并總結(jié)出一般化的方法，同時(shí)要讓學(xué)生嘗試?yán)迷诮忸}過程中所積累的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)試題中所蘊(yùn)藏的基本模型進(jìn)行挖掘與提煉只有讓學(xué)生學(xué)會(huì)自主地反思、推進(jìn)、提煉，才能做到“掌握模型，舉一反三，通一類題”，同時(shí)通過對(duì)一些基本模型和結(jié)論的挖掘，能更好地弄清問題的本質(zhì)，為

15、解決問題搭建好思維的“腳手架”，進(jìn)而切實(shí)有效地提升學(xué)生的解題能力，發(fā)展學(xué)生的思維水平教學(xué)啟示 在近幾年的各地中考試卷中，逐漸涌現(xiàn)出由 當(dāng)基本模型經(jīng)過提煉并熟練應(yīng)用后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)該模型的變式與拓展進(jìn)行更深層次地探究，通過讓學(xué)生在拓展基本模型的過程中，感悟模型的本質(zhì)，從而做到化題為型、串題成鏈、結(jié)題成網(wǎng)，真正實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)的提升 教學(xué)啟示 當(dāng)基本模型經(jīng)過提煉并熟練應(yīng)用后，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生一點(diǎn)想法 利用已有的數(shù)學(xué)模型來解決數(shù)學(xué)問題確實(shí)有效，但是我們的教學(xué)過程中不能“泛模型化”，要更多地關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)建構(gòu) ，少一點(diǎn)教師先入為主的機(jī)械灌輸；要順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知邏輯，避開“模型”陷阱 如何進(jìn)行數(shù)學(xué)模型教學(xué)的問題 ，說到底是教學(xué)觀念的問題 ，即